XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Некоторые приёмы решения диофантовых уравнений

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Никулина К.А. 1Иода В.С. 1

---

1ГБОУ СОШ № 573

Ганзера А.А. 1

---

1ГБОУ СОШ № 573

Работа в формате PDF

139.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение.

Решение алгебраических уравнений в целых числах представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач и не достаточно глубоко представлено в школьном курсе математики. Однако такие задания, как правило, представлены в олимпиадах различных уровней, в вариантах вступительных работ в математические классы. Что и обуславливает актуальность темы исследования. В своей работе мы рассмотрели различные виды уравнений с целыми коэффициентами и с более чем одним неизвестным, классифицировали их по способам решений, описали алгоритмы их решения, и привели практические примеры применения каждого способа для решения уравнений в целых числах.

Объектом исследования являются уравнения в целых числах.

Предметом исследования– различные способы решения этих уравнений

Цель работы – познакомиться со способами решения уравнений в целых числах и классифицировать уравнения по способам их решения.

Задачи:

Изучить учебную и справочную литературу по теме исследования;

Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

Разобрать алгоритмы решения уравнений данного вида;

Описать способы решения;

Рассмотреть примеры решения уравнений с применением данных способов.

Гипотеза: анализ методов решения уравнений в целых числах и их классификация способствуют конструктивному подходу к решению уравнений данного вида и не только.

Методы исследования

Теоретический анализ и обобщение сведений научной литературы об уравнениях в целых числах.

Классификация уравнений в целых числах по методам их решения.

Анализ и обобщение методов решения уравнений в целых числах.

1. История уравнений в целых числах

Диофант – ученый – алгебраист Древней Греции, по некоторым данным он жил до 364 года н. э. Диофант специализировался на решении задач в целых числах. Отсюда и пошло название Диофантовы уравнения. Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения. «Арифметика» Диофанта — это сборник задач, каждая включает в себя решение и необходимое пояснение. В собрание входят разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофанта интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения.

2. Линейные уравнения в целых числах с двумя переменными

Уравнения вида где – некоторые числа, а – переменные, - называется линейным уравнением с двумя переменными.

2.1. Метод перебора.

Пример 1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решением уравнения49x+69y=602

Решение: выразим

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение 170х+190у=3000 в натуральных числах.

Решение: после сокращения на 10 уравнение выглядит так,

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются

Ответ:

Очевидно, метод перебора становится неэффективным при большом количестве вариантов и невозможным, в случае, когда количество корней не ограничивается конечным числом вариантов.

2.2. Метод спуска.

Пример 3. Решить уравнение в целых числах 2x-7y=3

Решение: выразим из данного уравнения

Пусть тогда

Ответ:

Данный метод решения уравнения называется методом спуска.

Пример 5. Решить уравнение в целых числах 4x+3y=13

Решение: выразим из данного уравнения

Пусть тогда

Ответ:

3. Нелинейные уравнения с двумя переменными

3.1. Метод перебора.

Пример 1.(Задача из материалов вступительных экзаменов в 8 математический класс). Сколько пар целых положительных решений имеет уравнение . Перечислить эти пары.

Решение: перепишем уравнение в виде

Раскладывая на множители число 500, и учитывая, что один из множителей является точным квадратом, находим подходящие пары:

Имеем 4 пары решений в целых положительных числах .

Ответ:

3.2. Метод разложения на множители

Метод разложения на множители очень интересный прием и встречается он, как в элементарной математике, так и в высшей. Напомним, что разложить на множители – значит представить это выражение в виде произведения более простых множителей. Рассмотрим примеры применения данного метода.

Пример 1. Решить уравнение х – у = ху в целых числах:

Решение: запишем уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители, получим

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

или

Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .

Ответ:

Можно привести целый ряд таких уравнений, решение которых основывается на разложении на множители.

Пример 2. Решить уравнения в целых числах

Решение: разложим левую часть уравнения на множители, получим

Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

или

Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .

Ответ:

Пример 3. Найдите все пары целых чисел x и y, удовлетворяющих уравнению x² – 6xy + 5y²=11

Решение: разложим левую часть уравнения на множители, получим

Уравнение имеет целые решения, если множители целые, 11 можно двумя способами разложить на целые множители .

Получим четыре системы уравнений:

Системы не имеют решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах уравнение не имеет.

Пример 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению х² – у²= 69

Решение: разложим левую часть уравнения на множители:

.

Т.к. корни уравнения – натуральные числа, то тогда , при этом сумма корней больше их разности. Число 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Получим совокупность двух систем уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

Выразив одну переменную и подставив ее во второе уравнение, находим корни уравнений. Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение в целых числах y³ – x³ = 91.

Решение: используя формулы сокращенного умножения, разложим левую часть уравнения на множители:

Выпишем все делители числа

Для любых целых x и y выражение . Докажем это. Умножим на 2 левую и правую часть неравенства и преобразуем его левую часть

(неравенство носит название – неравенство трех квадратов). Следовательно, оба множителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности систем уравнений:

Решив системы, отбираем те корни, которые являются целыми числами.

Получаем решения исходного уравнения:

Ответ:

Пример 6. Доказать, что уравнение (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 30 не имеет решений в целых числах.

Доказательство:

Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

Делителями 10 являются числа Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Доказано.

3.3. Выделение полных квадратов

Пример 1.Решить в целых числах уравнение 5х²+5у² + 8ху+2у-2х +2=0

Решение: Данное уравнение можно решить методом разложения на множители, однако этот способ применительно к данному уравнению достаточно трудоёмкий. Рассмотрим более рациональный способ.

Выделим полные квадраты двучленов

Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно 0, значит единственная пара решений

Ответ:

3.4. Свойства делимости

Пример 1. Решить уравнение в натуральных числах: mn +25 = 4m.

Решение: выразим переменную через

Поскольку натуральное число, то является натуральным делителем числа . Натуральные делители числа

Если

если (посторонние корни),

если (посторонние корни).

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение 2х² -2ху+9х+у=2 в целых числах:

Решение: выразим из уравнения ту переменную, которая входит в него только в первой степени, то есть переменную у:

, откуда

Выделим целую часть дроби

Получим:

Поскольку – целые, то 3 нацело делится на выражение , т.е. – делитель числа 3, значит, может принимать только значения

Выполняем проверку получившихся значений и получаем решения:

Ответ: .

Помимо задания решить уравнение в целых числах, встречаются задания на доказательство того факта, что уравнение не имеет целых корней.

При решении таких задач, необходимо помнить следующие свойства делимости:

1)

2)

3)

4)

6)

7)

3.5. Метод остатков

Основная задача метода – находить остаток от деления обоих частей уравнения на целое число, на основе полученных результатов делать выводы. Часто полученная информация уменьшает возможности множеств решений уравнения. Рассмотрим примеры:

Пример 1. Решите уравнение в натуральных числах:

Решение: перенесем вправо, разложим на множители и рассмотрим делимость на 2 и 3.

Левая часть уравнения делится на 2, значит и правая часть делится на 2. 3 на 2 не делится, значит , значит при этом , значит , тогда

Ответ: .

Пример 2. Доказать, что уравнение 2x+6y=23 не имеет решений в целых числах

Доказательство: покажем, что левая часть уравнения делится на 2, а правая – не делится.

выражение делится на 2, так как один из множителей делится на 2. А 23 не делится на 2, значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример 3. Доказать, что уравнение x² = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда . Рассмотрим остатки от деления каждой части уравнения на 3.

Правая часть уравнения дает остаток 2 при делении на 3 при любом значении

Левая часть, которая является квадратом натурального числа, при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1. Докажем это.

Все числа можно объединить в три группы по остаткам при делении на 3:

при делении на 3 дает остаток 0,

при делении на 3 дают остатки 1.

Исходя из этого, получаем, что решения данного уравнения в натуральных числах нет.

Рассмотрим случай, когда одно из чисел равно 0. Тогда очевидно, решений в целых числах нет.

Случай, когда y – целое отрицательное не имеет решений, т.к. правая часть будет отрицательна, а левая – положительна.

Случай, когда x – целое отрицательное, также не имеет решений, т.к. попадает под один из рассмотренных ранее случаев ввиду того, что

Получается, что указанное уравнение не имеет решений в целых числах.

Доказано.

Пример 4. Доказать, что уравнение x²– 3у = 17 не имеет целых решений.

Доказательство:

Рассмотрим остатки от деления на 3 каждой части уравнения. В предыдущем примере мы уже доказали, что квадрат целого числа при делении на 3 дает остатки только 0 или 1, 3у кратно 3, значит, левая часть при делении на 3 дает остатки 0 или 1, а правая при делении на 3 дает остаток 2. Значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

Доказано.

Пример 5. Может ли сумма кубов трех последовательных целых чисел быть равной сумме квадратов двух последовательных целых чисел.

Решение: Запишем данное утверждение в виде уравнения:

Раскроем скобки, упростим выражение и рассмотрим делимость на 3 левой и правой части уравнения:

Левая часть уравнения делится на 3, рассмотрим правую часть:

Если дает остаток 1 при делении на 3;

Если

дает остаток 2 при делении на 3;

Если

дает остаток 1 при делении на 3;

Значит, правая часть уравнения, не делится на 3 ни при каком значении .

Уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: сумма кубов трех последовательных целых чисел не может быть равной сумме квадратов двух последовательных целых чисел.

4. Задачи для самостоятельного решения

Определите количество натуральных решений уравнения: