XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математические хитрости при возведении в квадрат двузначных чисел
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Я учусь в 7 классе. По математике у меня оценка «4». Недавно мы проходили тему «Натуральный показатель степени» по этой теме у меня вышло удовлетворительно. Я задумался: Почему? Я знаю все формулы, умею их применять, но за контрольные и самостоятельные работы не получаю оценку выше «4». Наверно, потому, что мне не хватает времени доделать ее до конца. Проанализировав эту ситуацию, я понял, что много времени трачу на вычисления. Тогда я начал искать в интернете ответ на вопрос: Как научиться быстро возводить в степень двузначные числа? И наткнулся на книгу Ингве Фогта «Математические трюки для быстрого счета».
Умение выполнять расчеты необходимо каждому человеку. Без умения считать невозможно, жить в современном мире. Конечно, есть калькулятор, но он не всегда под рукой.
Устный счет – математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств (компьютер, калькулятор, счёты и т.п.). [Википедия]
Цель : Изучить и научиться применять некоторые способы быстрого возведения в степень двузначных чисел, для производства которых, достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.
Объект исследования: возведение в степень чисел начинающихся и заканчивающихся на 5; возведение в квадрат числа методом «Обратной пирамиды»
Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:
используя литературу;
рассмотреть основной прием возведения двузначных чисел в квадрат;
научиться возведению в степень числа начинающихся и заканчивающихся на 5; возведение в квадрат числа методом «Обратной пирамиды»;
изучить метод возведения в квадрат трехзначного числа
Методы исследования: изучение теории по выбранной теме, анализ литературы, практическое применение знаний, умений и навыков.
Этапы проекта: выбор темы исследования; определение цели, задач, методов исследования; изучение литературы; сбор материала; анализ и обобщение полученной информации; текстовое оформление исследования; практическая работа; формулировка выводов; представление результатов исследовательской работы.
Актуальность выбранной темы.
Мой интерес к теме возник на уроках математики, при изучении темы «Степень с натуральным показателем». При этом я заметил, что не только у меня, но и у моих одноклассников возникали трудности при возведении двузначных чисел в степень. Современная жизнь делает эти задачи актуальными, так как сфера практического применения быстрого счета безгранична. Без умения считать современном обществе просто трудно было бы существовать.
Гипотеза. Научиться быстро считать легко.
Все умеют считать, но считать быстро умеют единицы
Обзор литературы
1.1 История возникновения степени числа
Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней.
В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский описывает первые натуральные степени чисел так:
«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».
Немецкие математики Средневековья стремились ввести единое обозначение и сократить число символов. Книга Михеля Штифеля «Полная арифметика» (1544 г.) сыграла в этом значительную роль.
«Сумма знаний…» Луки Пачоли была одним из первых опубликованных сочинений. Но математики продолжали искать более простую систему обозначений так как его обозначения были не удобны.
Француз, бакалавр медицины Никола Шюке смело ввёл в свою символику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента.
В XVI в. итальянец Раффаэле Бомбелли в своей «Алгебре» использовал ту же идею. Он обозначал неизвестное специальным символом 1, а символами 2, 3, - его степени. Обозначения Бомбелли также оказали влияние и на символику нидерландского математика Симона Стевина (1548—1620). Он обозначал неизвестную величину кружком О, внутри которого указывал показатели степени. Стевин предложил называть степени по их показателям - четвёртой, пятой и т. Д. и отверг Диофантовы составные выражения «квадрато-квадрат», «квадрато-куб».
У Рене Декарта в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а2, а3,... Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а2 и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей. Немецкий ученый Лейбниц считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей и применял знак а2.[3, Википедия]
2.Собственные исследования
Одни из многих методов научиться возведению в степень чисел начинающихся и заканчивающихся на 5; возведение в квадрат числа методом «Обратной пирамиды» всего за несколько секунд, проверять верность полученного ответа и, что немаловажно, находить столбец, в котором прячется ошибка, если таковая имеется.
Я решил научиться этим методам.
2.1 Возведение в квадрат двузначных чисел заканчивающиеся на 5:
Чтобы возвести в квадрат: число десятков умножаем на следующие число стоящее, а натуральном ряду и приписываем 25[1,36]
Пример 1
2 52=625
(2*3)=625
Пример 2
7 52=5625
(7*5)=5625
2.2 Возведение в квадрат двузначных чисел начинающегося на 5
Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5 нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать квадрат второй цифры, причём если квадрат второй цифры однозначное число ,то перед ним надо приписать цифру 0.[1,35]
Пример 3
|
562=3136 (25+6)=31 62=36 |
512=2601 (25+1)=26 12=1 |
2.3 Метод «Обратной пирамиды»
В первой строке в ряд записываются квадраты цифр возводимого в квадрат числа по порядку. Следующая строка представляет собой удвоенное произведение цифр числа. Умножение на 2 фигурирует во всех последующих примерах. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат.[2,c12]
Пример 1
|
6 |
4 |
4 |
9 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
7 |
5 |
6 |
9 |
8 7*87=7569
8 *8=64 7*7=49
8*7*2=112
|
4 |
9 |
3 |
6 |
|
8 |
4 |
||
|
5 |
7 |
7 |
6 |
Пример 2
7 6*76=5776
7 *7=49 6*6=36
2.4 Возведение трёхзначных чисел в квадрат
Для того чтобы возвести в квадрат трёхзначное число необходимо:
1.Последовательно возвести каждую цифру в квадрат (если получается однозначное число добавляем 0
2.Перемножаем первую и вторую цифру и на число 2 и вторую на третью и на число 2
3. Перемножаю первую и третью и на 2
4. Складываем полученный результат
7562=571536
1.7*5*2=70
2. 2*5*6=60
3 .6*7*2=84
-
7
5
6
4
9
2
5
3
6
7
0
6
0
8
4
5
7
1
5
3
6
2.5 Результаты и обсуждение
У многих моих одноклассников, также проблемы с быстротой вычислений. Я решил научить их быстрому возведению в квадрат двузначных чисел. Я пригласил своих друзей и дал им решить карточки с примерами на возведение чисел в степень. Самым быстрым из 6 человек оказался Ваня С, который посчитал за 3 минуты 20 секунд. Никто из ребят не решил пример правильно. Дольше всех считал Алексей С. – 9 минут.
752 452
462 952
642 5442
872 6092
Результаты вычисления представлены в таблице
|
Ваня С. |
3мин 20сек |
|
Алексей С. |
9 мин |
|
Владимир Ч. |
5мин 10 сек |
|
Юля Я. |
7мин 30 сек |
|
Даша М. |
5 мин |
|
Виика М. |
6 мин 10 сек |
После этого я показал ребятам все методы возведения в квадрат.. Две недели мы отрабатывали этот прием, и снова проверили быстроту счета, но уже по швейцарскому методу.
Результаты вычисления после изучения швейцарского метода представлены в таблице
|
Ваня С. |
1мин 50сек |
|
Алексей С. |
6мин 30 сек |
|
Владимир Ч. |
2 мин 10сек |
|
Юля Я. |
3 мин 30 сек |
|
Даша М. |
2 мин 10сек |
|
Виика М. |
3мин 20 сек |
Вывод
Владение приёмами быстрого возведения двузначного числа в квадрат даёт возможность выбрать в каждом отдельном случае наиболее рациональные и эффективные пути вычислений, что приводит:
к сокращению времени на вычисления;
к защите от массы вычислительных ошибок;
к ведению записи в строчку и отказа от традиционного письменного умножения.
Считаю, что возводить двузначные числа в квадрат легко и просто. Гипотеза доказана.
Умение считать в уме остаётся полезным навыком для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.
Возможность обходиться без калькулятора и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это здоров
Литература
Ингеве Фогт, Математические трюки для быстрого счета // ООО «Альпина Паблишер», 2020 – С. 170
Билл Хэндли, Считать в уме, как компьютер // Попурри, Минск, 2006 – С. 351
https://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница