XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
От архимедова числа к числу π
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Уже много веков люди понимают важность и ценность для науки математической постоянной, равной отношению длины окружности к ее же диаметру. В учебнике мы сталкиваемся со следующим объяснением: «Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Это число обозначают греческой буквой π (читается «пи»),формула, выражающая длину окружности через её радиус C=2πR и площади круга S=πR2». Возникает много вопросов, связанных с числом Пи: когда возник интерес к этому загадочному числу, кто и когда впервые нашел значение отношения длины окружности к ее диаметру, какие математики внесли свой вклад в вычисление значения этого числа, какими способами находили значение числа Пи, как измерить диаметр окружности, как измерить длину окружности , когда было введено обозначение этого числа, сколько знаков после запятой у числа, как запомнить знаки числа. Школьные учебники такой информации для учеников не дают. Но такую информацию дают и энциклопедии по математике, и книги для внеклассного чтения, и интернет-ресурсы. «Вычисление точного значения π во все века неизменно оказывалось тем блуждающим огоньком, который увлек за собой сотни, если не тысячи, несчастных математиков, затративших бесценные годы в тщетной надежде решить задачу, не поддававшуюся усилиям предшественников, и тем самым снискать себе бессмертие.» Л. Кэрролл (Чарльз Лютвидж До́джсон) .
Актуальность исследования заключается в том, что до сих пор так и неясно, кто открыл число Пи, кто впервые задумался над этой проблемой и произвел первые расчеты этого, по-настоящему мистического числа, несмотря на то, что к нему имели отношение самые лучшие математики на протяжении всей нашей истории. Кроме того актуальность выбранной темы в том, что многие технические специальности требуют прежде умения использовать формулы, таблицы, константы и т. д., но все они в том или ином виде содержат число Пи.
Объект исследования: число p (Пи).
Предмет исследования: Периоды в истории развития числа p (Пи) и вычисление значения ПИ экспериментальным путем.
Гипотеза: выполнив работу, мы установим историю числа p (Пи): что знали об этом числе в доисторические времена, в древние времена, вклад Архимеда в вычислении значения p, знания о числе число Пи в Средние века, кто ввел обозначение отношения длины окружности к диаметру буквой p, какие ученые занимались в ИГС GeoGebra, воссоздадим исторические способы вычисления значения вычислением Пи в более поздние времена. Выполнив эксперименты и моделирование Пи и установим некоторые интересные факты, связанные с числом ПИ.
Цель работы: установить историю вычисления числа Пи, провести эксперименты по нахождению значения ПИ, выполнив моделирование в ИГС GeoGebra? и найти значение ПИ методом Архимеда.
Задачи исследования:
1.Изучить информацию по теме в школьных учебниках, справочниках, Интернет – ресурсах.
2. Установить:
Истоки изучения вопроса об отношении длины окружности к ее диаметру
Значение работ Архимеда в поисках значения отношения длины окружности (L) к длине ее диаметр(d).
Выполнить компьютерное моделирование нахождения отношения L к d по способу Архимеда в ИГС GEOGEBRA.
Сравнить результаты и сделать вывод.
3. Установить историю дальнейшего изучения отношения L к d.
4. Способы запоминания этого волшебного числа.
5. Найти интересные факты, связанные с этим загадочным числом.
Методы исследования:
Анализ учебников, справочной математической литературы.
Построения с помощью циркуля и линейки.
Компьютерное моделирование математических объектов с помощью ИГС GeoGebra.
Анализ, сравнение, сопоставление и обобщение объектов, полученных в результате моделирования.
Обобщение найденных с помощью компьютерного моделирования закономерностей.
Проверка выдвинутых гипотез.
Аналитические рассуждения.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
От архимедова числа к числу π
1. Число Пи в доисторические времена
Число Пи обратило на себя внимание людей ещё в первобытном обществе, когда они не умели записывать ни своих знаний, ни своих переживаний, ни своих воспоминаний. Открывателями числа вполне можно считать людей доисторического времени, которые заметили, что при плетении корзин нужного диаметра необходимо брать прутья в 3 раза длиннее диаметра.Уже тогда люди заинтересовались соотношением длины окружности и её диаметра. Сначала по невежеству это отношение считали равным трём. Древнейшие известные попытки нахождения длины окружности и площади круга принадлежат Антифонту и Бризону (V в. до н. э.). Антифонт последовательно вписывал в круг правильные многоугольники, каждый раз удваивая количество сторон, и полагал, что в конце концов многоугольник совпадет с окружностью. Бризон строил два квадрата – вписанный в окружность и описанный вокруг нее – и считал, что площадь квадрата, лежащего между ними, равна площади круга. Письменная история числа начинается с египетского папируса, датируемого примерно 2000 годом до нашей эры, но оно было известно еще древним людям. Кто и когда впервые открыл число пи, до сих пор остается загадкой. Строители в Вавилоне уже пользовались им при проектировании различных сооружений. На клинописных табличках, которым тысячи лет, сохранились даже задачи, в решении которых использовали самую популярную ныне математическую константу. Правда, вавилоняне ее считали равной трем и одной восьмой. Античные математики не отличались такой точностью, как нынешние. В Древнем Египте пи было равно 3,16, в Древней Индии — 3,088, в Римской империи на рубеже двух эр — 3,125. Одним из первых заметил и вычислил интересную зависимость между длиной окружности и ее диаметром Архимед в III в. до н.э.. Одно из первых упоминаний о числе Пи можно встретить в текстах египетского писца Ахмес (около 1700-2000 г. до н. э), известный сейчас как папирус Ахмеса (Ринда) «Наставление к приобретению всех тайных вещей». Птолемей, использовав правильный 720-угольник, нашел, что отношение длины окружности к ее диаметру ≈ 377/120, что составляет приблизительно 3,14167 (ошибка меньше 0,003).Вавилонское царство возникло в начале II тысячелетия до н. э.. на территории современного Ирака. Вавилонские ученые изучали свойства окружности Учились измерять длину окружности. Они поступали так: чертили окружность и два квадрата: один т ак, чтобы его углы упирались в окружность изнутри, второй квадрат побольше рисовали так, чтобы окружность помещалась в нем.Потом измеряли стороны большого и меньшего квадратов (это легко сделать с помощью линейки).Получившиеся числа складывали и делили пополам, и это число считалось длиной окружности.
L =(P1 + P2)/2, L- длина окружности, Р1 – периметр большого квадрата
Р2 –периметр малого квадрата
2.Математический метод Архимеда
В III веке до н.э. египетский математик Архимед написал свою первую небольшую работу «Измерение круга»В ней он обосновал три положения:
Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и ее радиусу.
П лощади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14.
Отношение длины любой окружности к ее диаметру.
Архимед из Сиракуз первым предложил использовать математический метод вычисления. Он построил вписанный и описанный вокруг окружности многоугольники по 96 сторон каждый, вычислил их периметры и справедливо отметил, что число пи «сидит где-то м ежду». По мнению древнегреческого ученого, достаточно было разделить 22 на 7.(22/7 -называется архимедовым числом) При вычислении такой дроби ошибка обнаруживается уже на третьем знаке после запятой (22:7 ≈3,1428571429, истинное 3,141). Примерно в 220 году до н.э. он вывел формулу площади круга путём приближения области окружности, основанной на области многоугольника, вписанного в окружность, и области многоугольника, вокруг которого была описана окружность. Архимед доказал, что площадь круга равна половине произведения длины окружности на ее радиус. Кроме того, с помощью вычисленных им периметров вписанных и описанных правильных многоугольников (от 6-угольника до 96-угольника) Архимед нашел в десятичных дробях, 3,1409... < π < 3,1428... (подлинное значение π = 3,14159...). Таким образом, он не только нашел приближенные значения π, но и оценил точность этих приближений. Уже найденная Архимедом верхняя оценка, равная 22/7, дает приближение π с точностью 0,04 %. Эту дробь часто называют «архимедовым числом». «Архимедово число»
В V веке до н. э. знаменитый астроном Цзу Чунчжи предложил простой способ вычисления. Надо было дважды написать нечетные числа 1, 3 и 5: 113355, а потом, разделив их пополам (113 и 355) , поместить первое в знаменатель дроби, а второе — в числитель: 355/113. Результат совпадает с современными вычислениями вплоть до седьмого знака. Найти точное число "пи" (отношение длины окружности к диаметру) является очень важной и очень трудной темой в математике. Многие древнекитайские математики прилагали усилия по вычислению числа "пи". В 5 веке до н.э. успехи китайского математика Цзу Чучжи, можно сказать, символизировали скачок в этом отношении. Чунчжи – великий математик и астроном. Когда Цзу Чунчжи было 35 лет, он начал заниматься вычислением числа "пи" вычислил значение числа пи с точностью до седьмого знака после запятой, им было найдено более точное значение этого числа: 377/120 ≈ 3,1415927.
Поиском значения отношения длины окружности к её диаметру занимались многие ученые - математики: индийский астроном и математик Ариабхаты , среднеазиатский учёный , математик, астроном, географ и историк аль Хорезми, в XIII в. вычислил 3 знака после запятой Леонардо Фибоначчи, в XIVв. – 9 знаков после запятой Франсуа Виет. К концу 1999 года количество верных знаков после запятой превысило 206 миллиардов.
3 .Собственные исследования по вычислению значения числа Пи
Для проведения собственных вычислений значения числа Пи мы применили ИГС GeoGebra. Использованы инструменты ИГС GeoGebra: Окружность по центру и точке, Расстояние или длина, Текст, Правильные многоугольники.
Эксперимент 1. Нахождение отношения периметра правильного многоугольника (an=2), вписанного в окружность к ее диаметру
|
n |
Pn |
d |
P n /d |
|
3 |
6 |
2,31 |
2,597 |
|
4 |
8 |
2,83 |
2,829 |
|
5 |
10 |
3,4 |
2,940 |
|
6 |
12 |
4,0 |
3,0 |
|
7 |
14 |
4,38 |
3,196 |
|
12 |
24 |
7,73 |
3,105 |
|
20 |
40 |
12,78 |
3,129 |
При увеличении числа сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность, число, выражающее отношение длины окружности к длине диаметра приближается к 3,14.
Эксперимент 2. Нахождение отношения периметров правильных многоугольников, описанных около окружности одного и того же диаметра (по идеи Архимеда)
О писываем около данной окружность правильные многоугольники при n=3, n=6, n=12. При увеличении числа сторон отношение периметра многоугольника к диаметру окружности увеличивается (5,18; 3,48; 3,20) и приближается к значению π=3,14.;
Эксперимент 3. По следам Архимеда(n=5)
О дин правильный пятиугольник вписывали в окружность, другой - описывали около этой окружности. В результате вычислений установили π ≈3 ,19.
У двоили число сторон многоугольников, выполнив вычисления получили π ≈ 3,17.
Удвоим еще раз число сторон многоугольника (n=40) и выполним вычисление числа ПИ: π ≈ 3,148.
Вывод. Повторив вычисление значения отношения длины периметра правильных вписанного и описанного многоугольников методом древних , убедились, что с увеличением числа сторон правильных многоугольников, значение ПИ приближается к классическому значению π ≈ 3,1415.
4.Интересные факты с числом ПИ.
Возникает вопрос: число π выражается бесконечной десятичной дробью. Как запомнить хотя бы несколько цифр после запятой. Оказалось, что есть фразы, с помощью которых можно запомнить до 10 знаков после запятой. Вот эти фразы:
- Что я знаю о круге (3,1415).
- Вот и Миши и Анюта прибежали, Пи узнать число они желали (3,1415926536)
-Учи и знай в числе известном за цифрой цифру как удачу примечать.
(3,14159265359).
В штате Юта (США) был принят закон с очень короткой формулировкой "Пи равно трем", а в штате Индиана властями было официально назначено, что Пи равно 4.
Сегодня проводятся мировые чемпионаты по запоминанию числа П и фиксируются мировые рекорды, последний принадлежит китайцу Лю Чао, за сутки с небольшим, назвал 67 890 знаков.
По данным на 2011 год уже установлено 10 триллионов цифр периода числа. В 2014 году компьютеры рассчитали 13,3 триллионов знаков после запятой.
Самое удивительное, что отмечается праздник числа Пи, который отмечается 14 марта - «День рождения числа Пи».
В США и в Англии установлены памятники числу π.
На Теле - шоу «Удивительные люди» проводились конкурсу по запоминанию десятичных знаков числа π.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате исследования наша гипотеза подтвердилась и цель работы была достигнута.
Приобретен опыт работы с новой информацией.
В ходе выполнения работы мы ознакомились с историей и развитием одного из самых удивительных чисел. История числа π - это череда усилий величайших умов человечества по уточнению его знаков и поисков алгоритмов для их нахождения.
Значение числа π в современном мире представляет собой не только научную ценность, но и используется для точных вычислений.
С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.
Совершенствовался опыт работы в ИГС GeoGebra.
Узнали, как запомнить несколько цифр после запятой в записи значения числа π.
Установили интересные факты, связанные с числом π.
ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ
Жуков А.В. Вездесущее число ПИ.- М.: Едиториал УРСС, 2004;
Жуков А.В. О числе ПИ. - М:МЦНМО, 2002;
Звонкин А. Что такое π / Квант,1978 №11;
Кыпман Ф. История числа π.- М.: Наука, Гл. ред. Физ-мат лит.,1971;
Мир математики: в 40т. Т7.Хоакин Наварро. Секреты числа π. Почему неразрешима задача о квадратуре круга.- М.:Де Агостини,2014
Перельман Я. И. Занимательная геометрия. Глава «Старое и новое о круге».- М.: Наука, Гл. ред. Физ-мат лит.,1955;
Райк Ф.Е. Очерки по истории математики в древности. -Саранск, 1987;
Сергей Бобров. Волшебный двурог. - М.: Детская литература,1967;
Сергей Бобров. Архимедово лето. - М.:Детгиз, 1962;
«Энциклопедическом словаре юного математика», сост. Савин А.П .// М., «Педагогика»,1989г.-352с.
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРС. Как вычислить число ПИ. ru.wikinon.com (дата обращения: 12.01.22).
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРС. Чему равно число ПИ? История, открытие, тайны, загадки.uchitelskaia.ru (дата обращения: 12.01.2022)
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРС.Что такое число ПИ. Что значит число Пи… .kakprosto.ru (дата обращения: 12.01.2022)
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРС.Кто открыл число ПИ? История вычислений. vseonauke.com (дата обращения 12.01.20122)
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРС. Число ПИ. Интересное о математике. Siterid.ru (дата обращения12.01.2022)
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРС.Число ПИ – значение, история, кто придумал.calcukator888.ru (дата обращения: 12.01.2022)
Интересные факты о числе ПИ. facty.by (дата обращения: 12.01.2022).
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Буклет "От архимедова числа к числу π"