XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Окружность и круг в школьном учебнике и в окружающем мире
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Окружность и круг – это геометрические фигуры, которые с древних времен до настоящего времени нашли широкое применение в жизни людей. Формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и велосипеда, и монеты, и диск Луны. На первый взгляд, кажется, что круг - очень обычная и простая фигура, но это далеко не так. На самом деле окружность и круг таят в себе множество загадок и тайн, имеют увлекательную историю их изучения. Математики стали активно заниматься изучением этих геометрических фигур очень давно.
Окружность и круг – это понятия, которые изучаются в школьном курсе математики с начальных классов, но тем не менее нас заинтересовали некоторые вопросы, связанные с этими понятиями. Мы обнаружили , что в учебниках разных авторов одно и то же понятие окружности определяются по разному, нам неизвестна история появления понятий окружность и круг, интересно было узнать как велико применение окружности и круга.
Гипотеза: выполнив работу, мы уточним понятие окружности, установим разные способы построения окружности, способы нахождения центра и измерения диаметра окружности.
Объект исследования: окружность.
Предмет исследования: обобщение сведений об окружности.
Задачи исследования:
1). Изучить историю возникновения понятия окружности и циркуля.
2). Проанализировать и обобщить информацию об окружности.
3).Проверить экспериментальным путем способы: построения окружности, нахождения центра и диаметра окружности.
4). Проанализировать информацию о применении окружности в окружающей жизни.
Методы исследования:
- анализ учебников по геометрии и справочной литературы;
- компьютерное моделирование в ИГС GEOGEBRA
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Окружность и круг в школьном учебнике и в окружающем мире
1.1. Истории возникновения окружности.
Круг и окружность – одни из самых древнейших фигур в геометрии. Первобытным людям очень важна была форма предметов, которые их окружали. Свои названия круг и окружность получили только в Древней Греции, хотя были известны задолго до Античности. Философы древнего мира придавали окружности большое значение. Древние греки видели в ней венец совершенства. Античные ученые рассматривали прямые и окружности как единственный пример «совершенных» фигур, потому что в геометрии считались допустимыми только построения с помощью циркуля и линейки, а движение планет моделировалось как наложение вращений по окружностям. Теории окружностей посвящена III книга «Начал» Евклида. Изучением и применением окружностей занимался Архимед. Архимед в III веке до н.э. обосновал в свое небольшой работе «Измерение круг» следующее положение: отношение любой окружности к ее диаметру меньше 3 целых 1/7 и больше 3 целых 10/71. Он доказал, что площадь круга площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади вписанного; что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников равна нулю; при неограниченном удвоении его сторон. Для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится значение площади правильного многоугольника. Пифагор считал круг воплощением нескончаемого Времени и Пространства, символом всего сущего, Вселенной. “Из всех фигур прекраснейшая – круг”, – считал Пифагор.
Окружность, наряду с прямой, является самой распространённой фигурой практически во всех областях человеческой деятельности. Еще с самых давних времен люди пользовались для перевозки тяжестей круглыми бревнами. История исследования и применения окружности уходит в глубокую древность; особенную важность придало этой теме изобретение колеса. Окружность уникальна тем, что каждая ее точка равноудалена от центра. Именно благодаря этому свойству стало возможным изобретение колеса, потому что все точки обода колеса должны быть на одинаковом расстоянии от оси. Достоверно известно, что тележное колесо существовало в Месопотамии еще в 3500-3000 гг. до н. э.
Вывод. Изучив информацию из различных источников мы сделали вывод, что окружность и круг люди в своей жизни используют с незапамятных времен.
1.2. Истории возникновения циркуля.
Латинское слово «circulus» означает «окружность, круг». В русский язык слово «циркуль», вероятно, пришло через польский или немецкий языки – от слов «cyrkul» или «Zirkel».
Ци́ркуль (от лат. circulus — круг, окружность) — инструмент для черчения окружностей и дуг, также может быть использован для измерения расстояний, в частности, на картах. Может быть использован в геометрии, черчении, для других целей в жизни человека.
История циркуля началась еще несколько тысячелетий назад. Легенды и мифы Древней Греции повествуют нам о том, что этот прибор был изобретен Талосом – племянником Дедала. Талос изобрел устройство, позволяющее рисовать абсолютно идеальный круг, соединив два одинаковых по длине стержня. В ходе раскопок древнего кургана во Франции археологами был найден циркуль, возраст которого составляет около двух тысяч лет. Чуть меньше возраст бронзовых циркулей, найденных во время археологических раскопок древнегреческого города Помпеи. Их возраст насчитывает около 1900 лет. В древней Руси для вычерчивания окружности тоже применялся циркуль. С его помощью наши предки создавали геометрические узоры. В древности на Руси циркуль называли «кружало». Стальные циркули (конец VIII века - середина XI в.) археологи нашли при раскопках в Новгороде и в Ленском районе Архангельской области в урочище около д. Тохта на берегу реки Яренга (1928г. А.С. Сидоров).
2.1.Сравнение понятий окружности в различных источниках.
В учебной литературе приведены следующие понятия окружности.
Анатасян Л.С. окружностью называет геометрическую фигуру, состоящую из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки [1].
А.Г.Мерзляк окружностью считает геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки [7].
Глейзер Г.Д. окружностью называет геометрическую фигуру, состоящую из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки этой же плоскости [ 3].
Приведем пример: электрическая лампочка на столбе освещает круг, ограниченный окружностью, все точки которой удалены от лампочки на одно и то же расстояние. По первому определению центром окружности может быть лампочка и радиусом – отрезок, соединяющий лампочку и любую точку окружности. С другой стороны: центром может быть основание столба и радиусом – отрезок, соединяющий основание столба и любую точку окружности. Следовательно, окружность имеет два центра и два радиуса, чего не может быть.
Первое определение неточное. Видимо авторы предполагают, что ученик помнит, что все фигуры в планиметрии, которая изучается в 7 классе, принадлежат одной плоскости.
Мы провели несколько экспериментов.
1. На поверхности шара провели замкнутую линию. Все ее точки равноудалены от одной точки - центра сферы, но линия не является окружностью, т. к, точки линии и центр сферы не лежат в одной плоскости.
2 . Построили сферу, цилиндр, конус и сечения их плоскостями в ИГС GeoGebra .
Сечения сферы – это круги, они ограничены окружностями. Таким образом, на сфере можно изобразить окружность – это линия пересечения поверхности шара (сферы) с плоскостью, которая пересекает шар.
Е сли построить секущую плоскость цилиндра перпендикулярно его оси, то в сечении получаются равные круги, на боковой поверхности – равные окружности, центры которых находятся на оси цилиндра.
Е сли построить секущую плоскость конуса перпендикулярно его оси, то в сечении получаются круги, на боковой поверхности – окружности разных радиусов, центры которых находятся на оси конуса.
Итак, можно сделать вывод, что все точки окружности и ее центр должны находиться в одной плоскости, в противном случае эта линия не будет окружностью.
2 .2. Точки, отрезки, связанные с понятием окружность.
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой, называется радиусом окружности.
О трезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса. Радиусы одной окружности равны между собой, следовательно, и диаметры одной окружности равны между собой. Две окружности равны, если равны их радиусы (диаметры).Центр окружности является серединой любого диаметра.
Взаимное расположение точек:
- Все точки окружности удалены от центра на одно и то же расстояние; например АС=r.
- Все точки, расположенные внутри окружности, удалены от центра меньше, чем на радиус; например, ОD<r.
- Все точки, расположенные вне окружности, удалены от центра больше, чем на радиус; например, ОH>r.
Возник проблемный вопрос: сколько точек надо выбрать, чтобы построить единственную окружность, проходящую через эту точку?
П остроив в ИГС GeoGebra окружности, мы пришли к следующим выводам:
-Через одну точку можно провести множество окружностей: центр и радиус выбираются произвольно.
- Через две точки можно провести множество окружностей, их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющего выбранные точки, радиус определяется точкой на серединном перпендикуляре и одной из выбранных точек.
- Окружность однозначно определяется тремя точками.
Также, при построении окружности в ИГС GeoGebra, мы подтвердили следующие свойства окружности:
- Когда точка движется по плоскости - расстояние между этой точкой и некоторой неподвижной точкой остается постоянным, она описывает окружность.
- Окружность не имеет конца. Мы можем двигать сколько угодно острие карандаша по окружности и все же конца окружности не найдем.
- Окружность может скользить сама по себе. Если начертим на бумаге вокруг монеты окружность, то края монеты и окружность на бумаге будут представлять собой одну и ту же окружность. Можем медленно вращать монету таким образом, чтобы края ее все время совпадали с окружностью, начерченной на бумаге. Другие кривые (эллипс, парабола, гипербола) не могут скользить вдоль самих себя.
Выводы. 1. Окружность определяется тремя точками плоскости.
2.Окружность обладает очень важным, замечательным свойством: все точки окружности удалены от центра на одно и то же расстояние, поэтому при вращении вокруг центра окружность будет скользить по самой себе (т. е. копия окружности скользит по самой окружности).
2.3. Способы изображения окружности.
В древности, для того, чтобы очертить круг, брали колышек и веревку. К веревке прикрепляли уголек , кусочек мела, заостренную палочку и чертили окружность. Позже веревку заменили тонкой веточкой или дощечкой. Это позволило очертить окружности только заданного радиуса, Наконец, и эта проблема была решена – к одной дощечке прикрепили другую и скрепили их между собой. Таким образом, был изобретен циркуль.
Все мы использовали циркуль в школе на уроках геометрии и черчения для рисования окружностей и дуг. Как правило, циркуль изготавливают из металла. Он представляет собой две одинаковые по длине «ножки», на конце одной их них находится игла, а другой – грифель. Есть также циркули с одной ножкой с иглой на конце, а в качестве второй выступает карандаш. Однако циркуль применяется не только для рисования окружностей, но и для измерения расстояний, например на картах. В таком случае используют циркуль с иглами на концах, без грифеля. В измерительном циркуле на концах обеих ножек находятся иглы.
Алгоритм построения окружности с помощью циркуля.
1) Отметили в тетради точку и назвали ее буквой О (это будет центр окружности).
2) Взяли циркуль и линейку, отмерили нужное расстояние (например, 4см) между «ножками» циркуля.
3) Поставили иголку циркуля в точку О, одной рукой придерживая лист, а другой чертили окружность «ножкой» циркуля, касаясь бумаги грифелем, провели замкнутую линию.
4) Все время контролировали сохранение нужного радиуса, удерживали циркуль за головку. Наклон делали в сторону движения.
Правила работы с циркулем. Циркуль – это чертежный инструмент. На одном конце у него находится игла, на другом грифель или карандаш. С ним надо обращаться осторожно, чтобы не уколоться и не поломать грифель карандаша.
Изображая окружность, мы придерживались правил работы с циркулем: циркуль готов к работе, когда иголка циркуля и грифель находятся на одном уровне. Взять нужный размер и затянуть винт. При проведении окружности нужно циркуль держать за головку.
НЕЛЬЗЯ:
- при работе с циркулем оставлять циркуль в раскрытом виде;
- подносить циркуль иглой к лицу;
- передавать циркуль соседу «иглой вперед»;
- держать циркуль вверх концами;
Окончив, работу циркуль надо положить в футляр.
Чтобы построить окружность на местности (например, при разметке ф утбольного поля, площадки для игры в баскетбол, для разметки круглой клумбы, круглого бассейна) применяют веревку, на одном конце которой закреплен стержень, а на другом мел или острый предмет, которыми чертят окружность.
2.4. Способы нахождения центра окружности.
Начертив окружность с помощью циркуля, мы легко определим её центр по точке иглы в центе. Но бывают случаи, когда есть окружность, но не обозначен центр. Для того, чтобы найти центр окружности, мы провели несколько экспериментов.
Первый эксперимент: «Как найти центр круга (окружности), если круг вырезан из бумаги?»
Наша окружность была начерчена на листе бумаги. Мы обвели её по периметру, положив на лист бумаги, затем вырезали по начерченной линии круг. Затем согнули его вчетверо и нашли центр. Он находился точно на линии пересечения сгибов.
Второй эксперимент: «Как найти центр окружности с помощью прямоугольного треугольника». Мы действовали по следующему алгоритму.
1.Приложили прямоугольный треугольник вершиной к любой точке окружности во внутренней части окружности так, чтобы вершина прямого угла была на окружности, а катеты пересекали окружность в двух точках.
2. Провели прямую через эти две точки (линию по гипотенузе треугольника).
3. Изменили положение треугольника, вершина должна быть на окружности, а катеты пересекать окружность. Через точки пересечения катетов с окружностью провели прямую (треугольник повернули на некоторый угол и операции 1 и 2 повторили).
4.Получили точку пересечения полученных отрезков. Она и является центром окружности.
Таким образом, оказалось, что какой-бы прямой угол с помощью прямоугольного треугольника не вписать в окружность – гипотенуза полученного треугольника является диаметром окружности.
Т ретий эксперимент: «Нахождение центра окружности (круга) с помощью угольника – центроискателя».
2.5. Способы нахождения диаметра окружности.
Диа́метр — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр равен двум радиусам. Обобщённо диаметром фигуры называется максимальное расстояние между точками этой фигуры, или точная верхняя грань всевозможных расстояний, если максимальное не существует.
К ак же измерить диаметр круга? Мы провели эксперимент по измерению диаметра круга с помощью линейки и двух чертежных треугольников.
На производстве диаметр можно вычислить несколькими способами.
1 . С помощью специального инструмента – штангенциркулем. Штангенци́ркуль — это универсальный измерительный прибор, предназначенный для высокоточных измерений наружных и внутренних линейных размеров, а также глубин отверстий. Штангенциркуль — один из самых распространённых приборов измерения, благодаря простой конструкции, удобству в обращении и быстроте в работе.
2. С помощью мерной вилки (например измерить диаметр ствола)
3 . С помощью центроискателя.
4. С помощью рулетки измерить длину окружности (обхват ствола) и вычислить по формуле: L=2πr; 2r=d; L=πd.d=L/π.
5. В тетради в клеточку окружность можно нарисовать по числовым заклинаниям (Приложение 1)
3. Применение окружности в разных сферах жизни.
Круг и окружность в жизни человека имеют очень важную роль, и в жизни без круглых предметов обойтись невозможно. Рассмотрим поподробнее применение свойств окружности.
1. Применение свойства окружности в технике и быту: колеса телег, вагонов, автомобилей делаются круглые, точки их окружности равноудалены от центра, поэтому, когда колеса катятся, высота оси не меняется и телега, вагон, повозка движутся плавно.
2. Применение кругов и окружностей в промышленности:
- В промышленности, для того чтобы сделать какую- либо деталь круглой формы, обрабатывают ее на станке. Обрабатываемая деталь укрепляется специальным механизмом, который вращается вместе с осью станка. Нож станка приближается по мере надобности к обрабатываемой детали при помощи другого механизма. Когда деталь вращается, нож срезает выступающие части. Все точки детали, через которые прошел нож, находятся от центра на расстоянии, равном расстоянию от центра до верхушки ножа. Части детали, находящиеся ближе к центру, остаются незатронутыми ножом. После некоторого числа оборотов, во время которых деталь продолжает обрабатываться, нож пройдет через всю наружную часть детали. Край детали становится окружностью, потому что все точки ее находятся на одинаковом расстоянии от центра, равном расстоянию от центра до верхушки ножа.
- Шкивы машин также круглые. Если бы шкивы не были совершенно круглыми, приводной ремень не был бы все время одинаково натянут и благодаря этому мог бы порваться.
- Точильный камень – пример применения круга для заточки ножей и топоров.
- Круглая пила употребляется для пилки дров, а также в столярных мастерских.
3. Применение окружности и круга в повседневной жизни: круг и окружность используется не только в средствах передвижения (в автомобилях, велосипедах, самокатах мотоциклах, в роликовых коньках), но и в различных станках, спортивных сооружениях, и в спортивных залах, и на детских площадках и в парке аттракционов. Форму круга имеют монеты, часы, дорожные знаки, диск луны, солнечный круг, праздничный пирог, пуговицы, клумба, спортивные кольца, арена цирка, стол, диск для компьютера.
Проанализировав варианты применения окружности, мы поняли, что знания о круге и окружности позволяют человеку решать многие практические задачи в повседневной жизни: разбить клумбу или фонтан, сделать круглую крышу, окно или крышку, сшить головной убор, связать салфетку, сделать елочную игрушку, сделать выкройку платья или юбки, нарисовать узор и т.п.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Цель и задачи исследования выполнены. Наша гипотеза подтвердилась: мы уточним понятие окружности, установим разные способы построения окружности, способы нахождения центра и измерения диаметра окружности.
Изучив материалы школьных учебников и, проделав собственные измерительные исследования с окружностью, мы пришли к следующим выводам:
- с незапамятных времен люди используют в своей жизни круг и окружность;
- все точки окружности и ее центр должны находиться в одной плоскости, в противном случае эта линия не будет окружностью;
- все точки окружности удалены от центра на одно и то же расстояние, поэтому при вращении вокруг центра окружность будет скользить по самой себе;
- чтобы построить окружность надо воспользоваться циркулем;
- центр окружности можно найти разными способами.
- мы поняли, что знания о круге и окружности позволяют человеку решать многие практические задачи в повседневной жизни.
Окружность – это единственная кривая, которая может “скользить сама по себе”, вращаясь вокруг центра. Это свойство окружности дает ответ на вопросы, почему для ее вычерчивания используют циркуль, и почему колеса делают круглыми, а не квадратными или треугольными. Круг в жизни человека имеет очень важную роль, и без использования круглых предметов обойтись невозможно.
ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ
1. Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений //М., «Просвещение», 2005- 384с.;
2. Барыбин К.С. Геометрия для 6-8 классов средней школы //М.,»Просвещение», 1966-318с.;
3. Глейзер Г.Д., Геометрия. Учебное пособие для 6-9 классов сменной школы. Под редакцией Скопец З.А.//М., «Просвещение», 1978-120с.;
4. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы //М.,»Просвещение», 1989-287с.;
5. Ершова А. П. Голобородько В.В. Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии по учебнику Л.С. Атанасяна и др. для 7класса //М., «Илекса»,2003-96с.;
6. Карпушина Н.М., Развивающие задачи по геометрии, 7 класс //М., «Школьная пресса», 2004-76с.;
7. Мерзляк А.Г. Геометрия. 7 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2019. – 192с.
8. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989. – 352с.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Как начертить окружность по точкам
Идёт урок геометрии. Нужно начертить в тетради окружность, а циркуля с собой нет. Что делать? Есть простой и эффективный способ нарисовать такую окружность. Вам понадобится лишь тетрадь в клетку и следующее числовое заклинание: “три - один, один - один, один - три”.
Второе числовое заклинание : "Один – пять – один- - два – четыре – четыре - два – один - пять - один"
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Буклеты