XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Развитие познавательных математических способностей учащихся посредством шахматного образования
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Шахматы и математика:
Давно известно, что шахматы развивают и тренируют мысль. Благодаря этой игре, решать задачи на смекалку, задачи повышенной сложности, математические кроссворды, головоломки становится легче. В математике изучаются различные аспекты шахматной игры (например, классические: «Задача о ходе коня» и «Задача о восьми ферзях»), в том числе с помощью компьютерного моделирования.
Что такое шахматы:
Ша́хматы — настольная логическая игра со специальными фигурами на 64-клеточной доске для двух соперников, сочетающая в себе элементы искусства (в части шахматной композиции), науки и спорта. Название берётся из персидского языка: шах мат, что значит буквально: «шах умер»
История шахмат.
Шахматы - одна из самых древних и мудрых игр на Земле. Она существует уже многие века. Ей увлекается и стар и млад. Однако шахматная доска сама по себе также представляет достаточно интересный математический объект. Поэтому рассказ о шахматной математике я начну с задач о шахматной доске. Прежде всего, вспомним одну старинную легенду. Индусский царь Шерам узнал, что его подданный - мудрец изобрел новую игру. Царь познакомился с нею. Он был восхищён её остроумием и разнообразием возможных в ней положений, обилием красивых комбинаций. Царь чтобы лично наградить за гениальную выдумку позвал мудреца. Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца, и был удивлён его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зёрна. На первое поле шахматной доски – одно зерно, на второе – два, и так далее, на каждое последующее вдвое больше, чем на предыдущее. Царь приказал по - быстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что не в состоянии исполнить желание хитроумного мудреца. Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира. Мудрец скромно потребовал число, которое записывается двадцатью цифрами и является фантастически большим. Подсчёт показывает, что амбар для хранения необходимого зерна должен простираться от Земли до Солнца. Конечно, связь с математикой здесь несколько условна, однако неожиданная развязка истории наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.
Математические свойства шахматной доски.
На шахматной доске можно провести прямую, разделяющую левый и правый фланги доски (граница между вертикалями «d» и «e») или нижнюю и верхнюю части (граница между четвертой и пятой горизонталями). Если, скажем, белый конь стоит на с2, а черный на с7, то мы говорим, что эти кони расположены симметрично. В данном случае мы можем говорить о таком математическом явлении, как осевая симметрия, где осями будут являться прямые, разделяющие фланги и горизонтали. Осями являются и большие диагонали.
Симметрией обладает и исходное расположение шахматных фигур.
Чётность и нечётность.
На шахматной доске так же есть и чётность и нечётность. Числа, которые оканчиваются цифрами 0, 2, 4, 6, 8 называются четными, а те, которые оканчиваются цифрами 1, 3, 5, 7, 9 - нечетными. Из признака делимости на 2 следует, что натуральные числа, которые делятся на 2, называются четными, остальные – нечетными. На шахматной доске так же есть чётность и нечётность. Тут они связаны с номером хода. При каждом ходе король меняет четность хода. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д. Чётность, нечётность на шахматной доске ещё раз подтверждают прямое отношение шахмат к математике. Тут она связана с номером хода. При каждом ходе конь меняет четность клетки, на которой он стоит. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д. Одновременно с этим конь меняет цвет клетки, на которой он стоит.
Математические задачи в шахматах.
Шахматная доска, фигуры и сама игра часто используются для иллюстрации разнообразных математических понятий и задач. Ещё одна точка соприкосновения шахмат и математики – это один из популярных жанров занимательной математики, к которому относятся математические игры, задачи и развлечения на шахматной доске. Этот жанр называется шахматной математикой. Почти в каждом сборнике олимпиадных математических задач или книге головоломок и математических досугов можно найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Первая из них также связана с легендой.
Задача 1.
Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза — на те поля, на которых был заматован его король (см. рис., где вместо алмазов изображены кони). После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу.Одно из решений задачи представлено на рисунке. Располагая четырех коней на различных полях доски, мы получаем множество математических задач о разрезании. Интерес в них представляет не только нахождение одного необходимого разреза, но и подсчет числа всех способов разрезать доску на четыре одинаковые части, содержащие по одному коню. Установлено, что наибольшее число решений — 800 — задана имеет при расположении коней в углах доски. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно их убил.
Правило квадрата.
При этой композиции неопытные шахматисты рассуждают так: пешка идет сюда, король туда, пешка сюда, король туда и т.д. и при этом они часто путаются и, в конце концов, просчитываются. Однако исход игры легко оценить при помощи «правила квадрата». Достаточно выяснить, может ли король при своем ходе попасть в квадрат пешки? В данном случае, изображенном на рисунке. И так в нашей композиции черные при ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника - проигрывают.
Полимино.
Играя в шахматы, я не устаю удивляться возможностям не только шахматных фигур, но и шахматной доски. Недавно я открыл для себя новую головоломку на шахматной доске – Полимино. Термин «полимино» ввел в употребление известный математик Соломон В. Голомб в своей статье «Шахматные доски и полимино». Голомб определил 11 полимино, как «односвязную» фигуру, составленную из квадратов. Шахматист, добавляет Голомб, сказал бы, что квадраты составлены «ходом ладьи», потому что ладья могла бы обойти все квадраты полимино за конечное число ходов.
ЧАСТИ ПОЛИМИНО.
Основная задача головоломки «Полимино», которая позволяет игрокам раскрыть весь творческий потенциал, состоит в том, что нужно собрать квадрат 8x8 из 13 элементов так, чтобы белые и черные клетки при этом чередовались в шахматном порядке. Головоломку можно решить многими способами. В нее можно добавить дополнительное ограничение, чтобы сделать ее еще интереснее: квадратный элемент должен располагаться по центру доски.
В двух следующих задачах требуется разрезать шахматную доску на самые мелкие части, т. е. на отдельные поля. Пусть разрезанные части доски разрешается прикладывать друг к другу так, чтобы следующий разрез мог рассечь не одну, а несколько частей. Сколько разрезов надо произвести, чтобы получить 64 отдельных поля доски? Сначала разрежем доску пополам. Затем положим обе половины рядом и проведем второй разрез, получая четыре одинаковые части и т. д. Так как каждый разрез увеличивает число частей вдвое, то после шестого разреза доска распадается на 64 поля (64=26).Пусть теперь каждую часть доски разрешается разрезать только в отдельности. Сколько разрезов понадобится в этом случае, чтобы получить 64 отдельных поля? Обычно эта задача, особенно, если она предлагается сразу после предыдущей, вызывает определенные трудности. Вероятно, у решающих задачу, в какой-то мере проявляется инерционность мышления. Ведь сразу видно, что придется произвести 63 разреза. Действительно, каждый разрез увеличивает число частей на единицу, но перед тем, как произвести первый разрез, мы имели одну часть (саму доску), а в результате их должно стать 64 (все поля доски).
До сих пор мы считали, что разрезы обязательно проходят между вертикалями и горизонталями доски, т. е. ровно по границам полей. В следующих двух задачах это условие не принимается во внимание.
Какое максимальное число полей доски можно пересечь одним разрезом? Произвести разрез доски — это то же самое, что провести на ней прямую. Другими словами, нам нужно определить максимальное число полей, которое может пересечь прямая, проведенная на доске. Поля доски образуются в результате пересечения 18 прямых — девяти вертикальных и девяти горизонтальных. С каждой из них прямая - разрез может пересечься лишь в одной точке, но из четырех прямых, образующих края доски, она пересекается лишь с двумя. Отсюда следует, что наша прямая пересекает прямые, образующие поля доски, самое большее в 16 точках. Эти точки разбивают прямую не более чем на 15 отрезков, каждый из которых заключен внутри какого-нибудь поля. Таким образом, любой разрез доски пересекает не более 15 полей. Из рис. 5 следует, что ровно столько полей пересекает разрез, проведенный параллельно диагонали доски и проходящий через середины сторон двух угловых клеток.
Пятнадцать полей пересечены одной прямой.
Сколько нужно провести разрезов (прямых) на доске, чтобы пересечь все ее поля?
Разумеется, восьми разрезов вполне достаточно — по одному вдоль каждой вертикали или каждой горизонтали. Однако, оказывается, что и семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр доски, а шесть других — в направлениях почти параллельных второй диагонали доски.
Семь прямых пересекают все поля доски.
В книге мы будем часто встречаться не только с обычной шахматной доской размером 8´8, но и с досками других размеров. В частности, многие из рассматриваемых задач легко обобщаются для прямоугольной доски m´n, имеющей m вертикалей и n горизонталей, или квадратной доски n´n (при тех или иных значениях m и n). Мы говорим, что доска четна, если число ее полей четно, и доска нечетна — в противном случае. Всюду, где размеры доски не указаны, имеется в виду стандартная шахматная доска, для которой m = n = 8.
Последние две задачи нетрудно сформулировать для произвольной квадратной доски. При этом нетрудно убедиться, что существует разрез, пересекающий (2n-1) поле доски n´n, и достаточно провести (n-1) разрез (при n > 3), чтобы пересечь все поля доски n´n.
Обсуждая математические свойства доски, нельзя не упомянуть об одном старинном доказательстве на шахматной доске... теоремы Пифагора.
Теорема Пифагора на шахматной доске.
Разобьем доску на квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника. На рисунке изображены те же четыре треугольника и два квадрата. Треугольники в обоих случаях занимают одну и ту же площадь, и, следовательно, одну и ту же площадь занимают оставшиеся части доски без треугольников. Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие — на его катетах, то знаменитая теорема Пифагора доказана!
На полях доски расставлены числа так, что сумма любых четырех из них, расположенных “буквой Г” (ходом коня), одна и та же. Сколько чисел может быть использовано при таком заполнении?
Рассмотримфрагментдоски 3´3.Изравенства (a4+a5+a6)+a3=(a4+a5+a6)+a9=a1+(a4+a5+a6)=a7+(a4+a5+a6) следует, что a1=a3=a7=a9, аизравенства a7+a4+a1+a2=a9+a6+a3+a2, что a4=a6. Аналогично, a4=a6=a2=a8, и a5=a1.
Итак, любой квадрат 3´3 устроен так: на полях одного цвета стоит некоторое число a, а на полях другого цвета — число b. Из этого следует, что при заполнении всей доски указанным способом может быть использовано либо одно число (a=b), либо два (a ¹ b).
С точки зрения шахматиста наиболее интересное свойство доски заключается в необычном измерении расстояний на ней. Расстояние между двумя полями доски можно определить как число ходов, за которое король (самая медленная фигура) переходит с одного из них на другое. Свойства шахматных расстояний отличаются от обычных. Так, в евклидовой геометрии расстояние от поля a1 до h8 больше, чем до a8, однако на шахматной доске эти расстояния равны — оба пути король преодолевает за семь ходов.
Выводы:
Математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою очередь помогают нам решать простейшие и даже самые сложные математические задачи, помогают ребятам развивать логику, внимание. А в жизни шахматы учат нас планировать свои действия и поступки наперёд. Я стал усидчивее, самостоятельнее и могу составить план действий на день и на неделю. В самом начале своей работы я поставил себе цель найти связь между шахматами и математикой, и считаю, что выполнил поставленную задачу. На примерах я подробно разобрал эту связь.
Список литературы:
1. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., Наука, 1978. – 127 с.
2. Гик Е. Я. Занимательные математические игры. – М., Знание,1982. – 143 с.
3. Гик Е.Я. Шахматы и математика. - М., Наука, 1983. - 173 с.
4.Гусев В. А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах/ В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь – М., Просвещение, 1984. – 164 с.
5. Гусев В.А. Математика – справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович – М., Просвещение, 1986. - 271с.
6.Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М., Наука, 1984. – 189 с.
7. Лойд С. Математическая мозаика. – М., Мир, 1984. – 311 с.
8. Лангин В. Легенда о шахматном автомате. СПб., 1993.- 118 с.