XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Целью моей исследовательской работы является: найти связь между астрономией и геометрией .

Задачи исследовательской работы: с помощью наблюдения выяснить, какие геометрические фигуры можно увидеть в созвездиях?

Актуальность С началом учебного года, у нас появился новый предмет – геометрия. Геометрия- это раздел математики, изучающий пространственные фигуры и формы, которые окружают нас по всюду. Геометрия окружает нас по всюду – на земле, в воде и даже в небе.

Методика исследования: аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой, поиск информации в интернет - ресурсах, поиск литературы о звездах, , наблюдение за расположением звезд на звездном небе и на звездных картах, подведение итогов.

Практическое значение и применение: своей работой мне хотелось бы показать, как связаны науки астрономия и геометрия. Мою работу можно использовать как дополнительный материал к урокам геометрии, астрономии.

1.1Что такое «астрономия»?

Слово «астрономия» происходит от двух греческих слов: астро - звезда и номос – закон. Астрономия – это наука о Вселенной. Астрономия – одна из древнейших наук. Она возникла из потребности человека в ориентировании в пространстве и во времени. У древнего человека не было приборов для определения расстояния и времени, но зато были Луна, Солнце и звезды. Они-то и служили долгое время человеку ориентирами. Поэтому человек вел наблюдения за небесными телами. Кроме того, люди всегда интересовались тем, как устроен мир, в котором они живут, и задавались вопросами: какую форму имеет Земля? На чем она держится? Как движутся Солнце, Луна и звезды? Что такое небо? Какое место человек занимает во Вселенной? Кеплер установил, что наилучшим образом положение Марса на орбите совпадают с кривой, которая называется эллипсом.

Понятие эллипса

Эллипс – самая замечательная из всех кривых во Вселенной уже потому, что все планеты движутся вокруг Солнца по орбитам, имеющим форму эллипса. Нужно сказать, что эллипс – это «сплюснутая» окружность.

В результате был сформулирован Первый закон – закон движения небесных тел: «Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце».

Как известно, эллипсом называется кривая, у которой сумма расстояний от любой точки P до его фокусов есть величина постоянная.

рисунок 2

На рисунка 1, 2 обозначены: O – центр эллипса; – фокусы эллипса; АВ – его большая ось. Половина этой величины, которую обычно называют большая полуось, характеризует размер орбиты планеты.

Кстати, ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием (около Солнца), а наиболее удаленная точка – афелием (вдали от Солнца).

В дальнейшем было доказано, что этот закон применим не только к планетам, но и их спутникам, а также к двойным звездам. Кометы же и метеориты могут двигаться по параболическим и гиперболическим траекториям. Это позволяет дать более общую, современную трактовку закона движения небесных тел:

“Все небесные тела движутся по траекториям, которые являются коническими сечениями”.

Оба этих закона, опубликованные в 1609 году, раскрывают характер движения каждой планеты в отдельности, что не удовлетворило Кеплера. Он продолжил поиски «гармони» в движении всех планет, и спустя 10 лет ему удалось сформулировать третий закон – «Квадраты звёздных периодов обращения планет относятся между собой как кубы больших полуосей их орбит».

 

Где – периоды обращения двух планет; - большие полуоси их орбит.

Если начальная скорость тела, брошенного горизонтально, – 7,9 км/с, то тело начнет двигаться по окружности – 1. Такая скорость называется первой космической скоростью. Тело становится ИСЗ.
Если скорость тела превышает первую космическую скорость, то его орбита представляет собой эллипс. Тело движется по эллипсу, в одном из фокусов которого расположена Земля.
Чем больше скорость, тем более вытянутой будет эллиптическая орбита.
При скорости, равной 11,2 км/с, которая называется второй космической скоростью, тело преодолевает притяжение Земли и уходит в космическое пространство. Тело становится спутником Солнца. Орбита тела – парабола 6 – гиперболическая (12,0 км/с).
При скорости, равной 16,67 км/с, которая называется третьей космической скоростью, тело преодолевает притяжение Солнца и, двигаясь по гиперболе, уходит за пределы Солнечной системы.

О солнечных и лунных затмениях

В момент полного затмения центр Луны оказывается на прямой, проходящей через центр Солнца и глаза, находящегося на Земле наблюдателя. Стороны угла зрения глаза наблюдателя “касаются” поверхности луны и Солнца, то есть оба тела наблюдатель видит под одним углом зрения.

1.2 Что такое «геометрия»?

Геометрия — одна из самых древ­них наук, она возникла очень давно, еще до нашей эры. В переводе с греческого сло­во «геометрия» означает «землемерие» («гео» — по-гречески земля, а «метрео» — ме­рить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с раз­личными измерительными работами, кото­рые приходилось выполнять при разметке зе­мельных участков, проведении дорог, строи­тельстве зданий и других сооружений. В ре­зультате этой деятельности появились и по­степенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельно­сти людей и в начале своего развития слу­жила преимущественно практическим це­лям. В дальнейшем геометрия сформирова­лась как самостоятельная наука, занимаю­щаяся изучением геометрических фигур.

На звездных картах можно увидеть,что звезды соединены между собой линиями. Вершинами этих линий являются сами звезды, поэтому можно сказать, что созвездия составлены из отрезков.

Все эти отрезки образуют единую фигуру – созвездие. Чаще всего созвездие представляет собой многоугольник. Но можно в этих многоугольниках увидеть треугольники, прямоугольники и даже квадраты. Все эти фигуры, без сомнения, принадлежат геометрии.

Определение расстояний до тел Солнечной системы

В решение прямоугольных треугольников, следует обратить внимание на использование приближений, связанных с заменой тригонометрических функций синуса и тангенса малых углов значениями самих углов, выраженных в радиальной мере.

Небесные светила являются недоступными для точного измерения, а человеку всегда хотелось знать о том, каково расстояние между планетами. Как быть? На этот вопрос готова ответить математика.

 

Допустим, надо измерить расстояние от Земли до недоступной точки другого небесного тела.

Далее точки из точек А и В угломерным геодезическим инструментом измеряют углы. Расстояние АВ тоже можно измерить. Таким образом, в треугольнике АВС известны углы и сторона АВ.

Отрезок АС, длина которого тщательно измерена, называется базисом.
Угол АВС, под которым из недоступного места виден базис, называется параллаксом и обозначается – р.

При определении расстояний до тел солнечной системы в качестве базиса используют радиус Земли, т.е. АC = Rз = 6378 км. Параллакс – угол, под которым со светила, находящегося на горизонте, виден радиус Земли. Параллакс определяют из двух точек земной поверхности, находящихся на одном географическом меридиане и имеющих известные географические широты.

r = АС : sin p = R : sin p = R : р = R * 206265" : р (км)

При определении расстояний до ближайших звезд за базис принимают большую полуось земной орбиты, т.е.

АС = 150 000 000 км = 1 а.е. (1 астрономическая единица)

Параллакс – угол, под которым со звезды была бы видна большая полуось земной орбиты, развернутая перпендикулярно направлению на звезду. Параллакс определяют, наблюдая положение звезды из двух диаметрально расположенных точек земной орбиты.

Чем меньше параллакс, тем дальше находится звезда.

r = АС : sin р = 1 : sin р = 1 : р = 206265" :  р (а.е.)

Поскольку углы р малы (параллаксы планет и Солнца составляют всего лишь несколько секунд), то их синусы можно заменить самими углами, т.е. sin p, если величина угла выражена в радианах. Но р обычно выражен в секундах дуги, так как

1 радиан = 57,3о = 3438" = 206265", поэтому р радиан = 1 : 206265".

1.3Созвездия

Путь, совершаемый солнцем среди звезд в течении года, называется эклептикой, а созвездия, по которым оно проходит –зодиакальными. Все они за исключением одного составляют круг животных – зодиак. С древних времен каждому из этих созвездий приписывали месяц года. Знаки зодиака часто служили символами, сюжетами зля орнаментов, для оформления циферблата часов.

Наблюдая звезды, вы, вероятно, замечали, что они образуют знакомые нам буквы, треугольники, квадраты. С давних пор в различных частях света человек давал имена таким группам звезд. В пе­реводе с латыни «созвездие» означает «группа звезд».

Современные названия созвездий пришли к нам от древних римлян, а к ним - из древней Греции. Часть сведений о звездах древние греки позаимствовали у жителей Вавилона.

В Вавилоне группам звезд присваивались на­звания животных, имена королей, королев, героев мифов. Позже древние греки заменили многие названия, данные в Вавилоне, на свои, используя имена своих героев — Геркулеса, Ориона, Персея. Древний Рим внес свои изменения. В наши дни мы используем старые наименования, но не всег­да просто вообразить те образы, которые стоят за названиями. Например, созвездия Орла, Малой и Большой Медведицы, созвездие Весов не очень соответствуют своим именам.

Примерно в 150 году нашей эры известный ас­троном Птолемей отметил 48 созвездий, которые были ему известны. Этот список не включал со­звездий всего звездного неба, имелось много про­пусков. Поэтому позднее астрономы расширили перечень, составленный Птолемеем. Некоторые из этих последних созвездий носят названия на­учных инструментов, например, Секстант, Ком­пас, Микроскоп. Сегодня астрономам известно 88 созвездий звездного неба.

Созвездие занимает определенный участок не­ба. Это означает, что каждая звезда располагается в своем созвездии, так же, как каждый город в Соединенных Штатах, к примеру, располагается в определенном штате. В свое время границы со­звездий были непостоянными, зачастую изломан­ными. В 1928 году астрономы решили спрямить их так, чтобы границы созвездий образовывали только прямые линии.

1.4 Звезды .

О, жители боль­ших городов Вы даже не догады­ваетесь, сколько на небе звезд! Лишь геологи и горные пастухи знают, что такое настоящее звездное небо, как восходит Млеч­ный Путь и насколько лунная ночь светлее безлунной, Тот, кому хоть раз в жизни посчастливилось уви­деть звездное небо на пустынном берегу моря, в горах или в дикой степи, уже никогда не забудет этого зрелища. Кажется, что миллиарды звезд усеяли черный бархатный ку­пол неба, что звездам тесно, они тол­кают друг друга и вот-вот одна из них, не удержавшись, сорвется вниз... Ах! И правда! Вон стреми­тельно летит маленькая звездочка! Куда же она упадет?.. Пропала, так и не долетев до Земли. Как жаль, на­верное, теперь на небе стало меньше звезд? Надо бы их пересчитать.

Впрочем, похоже, наша фантазия не в меру разыгралась. Ну кто же не знает, что звезды вовсе не падают на Землю. Ведь каждая из них гораздо больше нашей планеты. И расстоя­ния до них... ох как велики. А «пада­ющие звезды», или метеоры, — это мелкие космические песчинки, кото­рые влетают в атмосферу Земли и сгорают от трения о воздух. Но все же мысль пересчитать звезды не оставляет нас. Наверное, для это­го понадобятся тысячи лет? Ничего подобного: астрономы давно уже сосчитали все звезды, видимые невооруженным глазом. Оказалось, что на всем небосводе, включая и недоступные нам, жителям Северного по­лушария, южные его части, всего около 5000 таких звезд. Значит, на ночной полусфере - около 2500.

Следовательно, их можно пересчи­тать всего за полчаса. А на светлом городском небе горит лишь несколь­ко сотен самых ярких звезд. Их со­считаете минут за пять. Теперь возьмем бинокль. Вот так сюрприз! Там, где небо казалось совершенно пустынным, заискри­лись целые россыпи слабых звезд, В театральный бинокль мы увидим десятки тысяч звезд, а в хороший полевой — сотни тысяч! Даже небольшой телескоп позволяет разгля­деть более миллиона звезд. С помо­щью хорошего любительского теле­скопа, который можно купить или даже изготовить своими руками, об­наружим почти 10 млн. звезд! Вряд ли вы сможете их пересчитать. Но профессиональные астрономы смогли. Положения на небе и яркости этих звезд занесены в специаль­ные каталоги, так что теперь каждая звезда на учете.

1.5 Млечный путь

Самым загадочным и прекрасным на небе, по-видимому, является Млечный Путь, протянув­шийся подобно ожерелью из драгоценных камней от одного края неба до другого. В древности лю­ди, глядя на эту картину, как и мы, удивлялись и восторгались этой красотой. Не зная, что это мо­жет быть, они давали необычные и порой краси­вые объяснения Млечному Пути.

Например, при зарождении христианства люди считали, что это дорога ангелов, по которой те могли подниматься на небеса. Они также думали, что это отверстие в небе, которое позволяет жи­вущим на Земле увидеть, что находится за небес­ным сводом.

Наши сегодняшние знания о Млечном Пути не мешают нам восторгаться им. Действительность так же удивительна, как и древние легенды о его якобы создании.

Наша галактика, округлая и плоская, по фор­ме напоминает часы. Если бы мы смогли посмот­реть на нее сверху, мы увидели бы, что галактика действительно похожа на часы. Но мы находимся внутри галактики, и, глядя вверх, мы как бы

Aсмотрим на край часов изнутри. Мы наблюдаем, что их край изгибается вокруг нас. Эти миллионы звезд и составляют Млечный Путь.

Известно ли тебе, что галактика состоит из 3 миллиардов звезд? И мы имеем представление о ее размере. Свет от Солнца доходит до Земли за 8 минут. А расстояние от центра галактики до Солнца луч света пройдет за 27 тысяч лет. Галактика вращается вокруг своей оси подобно колесу. Один полный оборот совершается за 200 000 000 лет.

1.6 Звездная величина

О существовании звезд первой и не первой величины знают даже люди весьма далекие от астрономии и математики. Но о звездах ярче первой величины: нулевой и даже отрицательной величины наверное, слышал не каждый. Например, Солнце есть звезда минус 27-й величины. Это еще один наглядный пример последовательного учения об отрицательных числах.

Когда говорят о звездной величине, имеют в виду не геометрические размеры звезд, а ее видимый блеск. Уже в древности выделены были наиболее яркие звезды, раньше всех загорающихся на вечернем небе, и отнесены к звездам первой величены. За ними следовали звезды второй величины, третьей и т. д. до звезд шестой величины, едва различимых невооруженным глазом. Самая яркая звезда нашего неба – Сириус. Найдено, что звезды первой величины в среднем ярче средней звезды 6-ой величины ровно в 100 раз.

Шкала звездного блеска установлена так, что отношение блеска звезд двух смежных величин остается постоянными. Обозначим это «световое отношение» через n, получим:

Звезды 2-й величины слабее звезд 1-й в n раз.

3-й 2-ой n

4-й 3-й n и т. д.

Размеры небесных тел

Пролетающая мимо Земли на расстоянии 1 а.е. комета имеет хвост с угловым размером 0◦.5. Оцените длину хвоста кометы в километрах.

Решение:

Предположим, что хвост кометы направлен перпендикулярно к лучу зрения. Тогда его длину можно оценить так. Обозначим угловой размер хвоста α. Половину этого угла α/2 можно найти (см. рисунок) из прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является половина длины хвоста кометы p/2, а другим - расстояние от Земли до кометы L.

Тогда tg α/2 =

Угол 0◦.5 мал, поэтому можно приближенно считать, что его тангенс равен самому углу (выраженному в радианах). Тогда мы можем записать, что α≈p/L. Отсюда, вспоминая, что астрономическая единица составляет 150км, получаем

p ≈ L · α ≈ 150 · · (0.5/57) ≈ 1.3 · км.

Есть и другой вариант оценки. Можно заметить, что комета пролетает от Земли на расстоянии, равном расстоянию от Земли до Солнца, а ее хвост имеет угловой размер, равный видимому угловому диаметру Солнца на земном небе. Следовательно, линейный размер хвоста равен диаметру Солнца, величина которого близка к полученному выше результату.

Однако у нас нет информации о том, как ориентирован хвост кометы в пространстве. Поэтому следует заключить, что полученная выше оценка длины хвоста - это минимальное возможное значение. Таким образом, итоговый ответ выглядит так: длина хвоста кометы составляет не менее 1.3 миллиона километров.

1.7 Звездная алгебра

А теперь попытаемся сравнить блеск звезд всех прочих величин с блеском звезды первой величины.

Обозначим звездную величину – m , тогда

m_{2 =} m₁ n;

m₃= m₁ n²;

m₄= m₁ n³;

m₅ = m₁ n⁴;

m₆ = m₁ n⁵ и т. д.

Это легко доказать:

;

m₃ m₁ =m₂ m₂

Разделим обе стороны равенства на m₁².

Получим:

n²

Аналогично, можно доказать, что

n³; n⁴;n⁵

Эту закономерность можно выразить формулой:

m_a =m₁^.n^a-1

Из наблюдений было найдено, что n⁵=100 n==2,5.

Вывод.

Звезды каждой следующей звездной величины светят в 2,5 раза слабее звезд предыдущей звездной величины. Иными словами: блеск звезд убывает в геометрической прогрессии.

Познакомившись со шкалой блеска, займемся некоторыми подсчетами.

1)Сколько звезд 3-й величины, вместе взятых, светят так же, как одна звезда 1-й величины.

n²;2,5² _~̃ 6,3

Значит, для замены одной звезды 1-й величины понадобится 6,3 звезд 3-й величины

n³=2,5³_~̃16.

В результате таких вычислений получим таблицу:

Для замены одной звезды первой величины необходимо взять звезд:

Звездная величина	Число звезд	Звездная величина	Число звезд
2-й	2,5	7-й	250
3-й	6,3	10-й	4000
4-й	16	11-й	10000
5-й	40	16-й	1000000
6-й	100

Эффективная температура звёзд

Эту задачу я взял из сборника для подготовки к ЕГЭ:

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: = S, где = 5,7 - числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура – в градусах Кельвина, а мощность – в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь , а излучаемая ею мощность не менее 0,57 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды в градусах Кельвина.

Глава 2.

2.1 Созвездия Треугольник, Южный Треугольник.

Из древних «геометрических» созвездий известен лишь один Треугольник — небольшое созвездие, расположенное по соседству с созвездием Андромеды. Все другие «геометрические» фигуры, а также связанные с геометрией угломерные приборы были «помещены» на небесную сферу сравнительно недавно — в XVI—XVII вв. Это созвездия Южного Треугольника, Наугольника, Секстанта и Октанта. Все четыре созвездия расположены в южном полушарии. Звезды Треугольника не ярки: даже α всего лишь третьей звездной величины. Всего в созвездии можно насчитать 15 звезд. Но главную достопримечательность Треугольника — красивую спиральную туманность, разглядеть невооруженным глазом не удастся. Для этого нужен довольно сильный телескоп. В телескоп можно полюбоваться и красивой двойной звездой , компоненты которой окрашены в золотисто-желтый и зелено-голубой цвета.

«Напарник» этого созвездия — созвездие Южного Треугольника — находится в южном полушарии небесной сферы. Открытое в эпоху Возрождения, это созвездие удивило мореплавателей тремя своими звездами, действительно образующими четкий, хотя и небольшой треугольник, близкий по своей форме к равностороннему. Его нетрудно отыскать, так как созвездие раскинулось симметрично созвездию Южного Креста, лежащему по другую сторону от Центавра. Южный Треугольник стал надежным ориентиром для мореплавателей, а позднее — для летчиков и космонавтов.

2.2 Созвездие Близнецы.

Созвездие Близнецов — подлинное украшение зимнего неба. Это Зодиакальное созвездие, геометрической фигурой которого является вытянутый прямоугольник, контур которого действительно напоминает две человеческие фигуры. Близнецы занимают на небе площадь в 513.8 квадратного градуса и содержат 121 звезду, видимую невооруженным глазом. Главные звезды этого созвездия, столь близко расположенные друг к другу, с древности наводили на мысль о братьях-близнецах, объединенных бескорыстной дружбой. В средние века эти звезды называли также Аполлоном и Геркулесом. Однако в более употребительном варианте это дети Зевса — Диоскуры, родившиеся от прекрасной нимфы Леды. Они были прославлены своими подвигами, одним из которых явилось освобождение сестры Елены, похищенной Тезеем.

2.3 Созвездие Пегаса.

Созвездие северного полушария звёздного неба. Расположен к юго-западу от Андромеды. Занимает на небе площадь в 1120,8 квадратного градуса и содержит 166 звёзд, видимых невооружённым глазом. Геометрической фигурой является большой квадрат.

Древнее созвездие. Включено в каталог звёздного неба Клавдия Птолемея «Альмагест» под названием «Конь». В греческой мифологии Пегас — крылатый конь, родившийся из капель крови Медузы Горгоны. У вавилонян это созвездие называлось просто «конём», у древних греков — Большим Конём.

2.4 Созвездие Орион

Созвездие в области небесного экватора. Названо в честь охотника Ориона из древнегреческой мифологии. Представляющее собой большой четырёхугольник, который как бы стянут поясом из трёх ярких голубых звёзд. В расположении звёзд созвездия легко угадывается фигура человека. В Древней Греции в созвездии видели великого охотника Ориона, согласно греческому мифу, — сына Посейдона и Эвриалы . Помещёно на небо отцом Посейдоном после гибели Ориона от стрел богини Артемиды (по другому варианту мифа — от укуса Скорпиона).

Созвездие включено в каталог звёздного неба Клавдия Птолемея «Альмагест».

Заключение.

Проведя свое исследование, я пришел к выводу, что науки астрономия и геометрия тесно связаны между собой.

Следовательно, их можно пересчи­тать всего за полчаса. А на светлом городском небе горит лишь несколь­ко сотен самых ярких звезд. Их со­считаете минут за пять. Теперь возьмем бинокль. Вот так сюрприз! Там, где небо казалось совершенно пустынным, заискри­лись целые россыпи слабых звезд, В театральный бинокль мы увидим десятки тысяч звезд, а в хороший полевой — сотни тысяч! Даже небольшой телескоп позволяет разгля­деть более миллиона звезд. С помо­щью хорошего любительского теле­скопа, который можно купить или даже изготовить своими руками, об­наружим почти 10 млн. звезд! Вряд ли вы сможете их пересчитать. Но профессиональные астрономы смогли. Положения на небе и яркости этих звезд занесены в специаль­ные каталоги, так что теперь каждая звезда на учете.

Приложение

1 . Старинная карта звездного неба

2 . Современная карта звездного неба

Список Литературы.

1.Я. И. Перельман «Занимательная геометрия». М.-Л. Гос. изд-во технико-теоретической литературы.

2.В.Ю. Протасов «Геометрия звездного неба» - статья журнала «Квант»

3.Газета «Математика», приложение к газете «Первое сентября»

4.Журнал «Вокруг света» № 11, 2001

5.Цесевич В.П. Что и как наблюдать на небе.  6-е изд., перераб. - М.: Наука, 1984.

6.Нейгебауер О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968.

7.Интернет – ресурсы