XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Магия простых чисел
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
«Настоящие знания мы получаем тогда,
когда ищем ответ на вопрос,а не когда узнаём сам ответ»
Ллойд Александр
В нашей жизни особое место занимают числа, магия которых с древних времен не дает покоя людям. Многих интересует их происхождение и влияние на человека. Неудивительно, ведь мы на каждом шагу сталкиваемся с числами. Они сопровождают людей от самого рождения и до смерти. Без чисел мы сегодня уже не мыслим нашей жизни.
Чисел существует огромное множество. Но особое внимание привлекают простые числа, в чем заключается их «простота», какая загадка в них содержится. Так, наше внимание привлекает магия, которой обладают простые числа.
Значимость простых чисел, как в повседневном применении, так и во всех отраслях математики, невозможно переоценить. Мы спокойно полагаемся на их особые свойства, используя их как фундамент бесчисленного количества элементов нашего общества, ведь они являются неделимой частью самой ткани природы. Простые числа, устойчивые к любому делению на множители, часто называют «атомами» мира математики.
Карл Саган сказал о них так: «Очень важен статус простых чисел как фундаментальных строительных блоков всех чисел, которые сами являются строительными блоками нашего понимания Вселенной» [1].
В природе и в нашей жизни простые числа используются повсюду: цикады выстраивают по ним свои жизненные циклы, часовщики применяют их для вычисления тиканья, а в авиационных двигателях с их помощью балансируется частота воздушных импульсов. Однако все эти области применения бледнеют на фоне факта, знакомого каждому криптографу: простые числа находятся в самом сердце современной компьютерной безопасности, то есть, они напрямую несут ответственность за защиту всего.
Актуальность выбранной темы в том, что многие проблемы, касающиеся простых чисел, остаются открытыми. Уже на протяжении многих лет, великие математики пытаются разгадать «загадку» простых чисел, которые легко поддаются закону, в котором все числа следуют друг за другом в определенном порядке.
Цель научно-исследовательского проекта: проанализировать материал по данной теме, ответить на вопрос: «В чём же заключается магия простых чисел?»
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
-собрать материал о простых числах, о магии простых чисел;
- изучить и проанализировать отобранную информацию.
Объект исследования: простые числа.
Предмет исследования: магия простых чисел.
Методы исследования: наблюдение, поиск и изучение литературы, описание, анализ, синтез.
Гипотеза: простые числа обладают некой магией, которая на первый взгляд является несуществующей.
ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
1.1 История появления простых чисел
Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древности. И вызван он был не только практической необходимостью. Привлекала их необычайная магическая сила. Числа, которыми можно выразить количество любых предметов. Неожиданные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками, удивляли их своей замечательной красотой и вдохновляли на новые исследования.
Свойства простых чисел впервые начали изучать математики Древней Греции. Математики пифагорейской школы (500 – 300 до н.э.) в первую очередь интересовались мистическими и нумерологическими свойствами простых чисел. Они первыми пришли к идеям о совершенных и дружественных числах.
У совершенного числа сумма его собственных делителей равна ему самому. Например, собственные делители числа 6: 1, 2 и 3. 1 + 2 + 3 = 6. У числа 28 делители – это 1, 2, 4, 7 и 14. При этом, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Числа называются дружественными, если сумма собственных делителей одного числа равна другому, и наоборот – например, 220 и 284. Можно сказать, что совершенное число является дружественным для самого себя.
Ко времени появления работы Евклида «Начала» в 300 году до н.э. уже было доказано несколько важных фактов касательно простых чисел. В книге IX «Начал» Эвклид доказал, что простых чисел бесконечное количество. Это, кстати, один из первых примеров использования доказательства от противного. Также он доказывает Основную теорему арифметики – каждое целое число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел.
В году 200 году до н.э. грек Эратосфен придумал алгоритм для поиска простых чисел под названием «Решето Эратосфена».
А затем случился большой перерыв в истории исследования простых чисел, связанный со Средними веками.
Следующие открытия были сделаны уже в начале 17-го века математиком Ферма. Он доказал гипотезу Альбера Жирара, что любое простое число вида 4n+1 можно записать уникальным образом в виде суммы двух квадратов, и также сформулировал теорему о том, что любое число можно представить в виде суммы четырёх квадратов [3].
В XVII в. числами вида занимался французский монах Марен Мерсенн, который привел полный список простых n от 2 до 257, для которых эти числа являются простыми, в котором он предвосхитил указанный выше результат Эйлера, но и этот список содержал ошибки, и одну из них нашел спустя два с половиной века, в 1883 г., русский сельский священник-учитель Иван Михеевич Первушин. Это событие отмечено мемориальной доской на его доме в Зауралье – в г. Шадринске Курганской области. А ошибочно указанные Мерсенном n=67 и n=257 были исключены из его списка лишь в XX в.
1.2 Нумерология Пифагора и судьба человека
Пифагор – не только популярный математик из далекого прошлого. Числа притягивали его и как ученого, и как нумеролога. О таинственном воздействии цифр на судьбу человека Пифагору поведали египтяне. Ученый связал полученные знания и составил таблицу, впоследствии она получила название психоматрица Пифагора или, проще говоря, квадрат Пифагора.
Составить «квадрат», который представляется ключом к разгадке личности, несложно, необходимо всего лишь знать дату рождения человека, после чего произвести элементарные математические подсчеты. Для примера возьмем 17 октября 1991 года.
Для получения результата в собственных расчетах, поможет таблица, рисунок 1.
Рисунок 1. Таблица значений чисел в системе квадрата Пифагора
Пишем цифры без нулей. В нашем случае это 1711991: затем складываем все цифры: 1+7+1+1+9+9+1, получаем 29 – это первое число. Для расчета второго числа складываем цифры первого числа. В нашем случае это 2+9, получаем 11. Далее – расчет третьего числа. Берем первую цифру из пункта 1 (общая дата рождения) и умножаем ее на 2 (у нас это 1х2). дальше вычитаем получившуюся цифру из суммы пункта два. И, наконец, расчет четвертого числа. Для этого складываем цифры третьего числа [2].
В нашем примере это 2+7, получаем 9. Мы получили все необходимые нам цифры. Для удобства выпишем их в отдельной строке. 1711991, 29, 11, 27, 9. Далее составляем таблицу, благодаря которой будет видно, сколько у нас единиц, двоек, троек и так далее. Так, к примеру, разберем одну цифру, которая есть в нашем заданном условии. Цифра 7 – это везение и удача. Нет цифры семь. Жизнь будет сложной, всего придется добиваться собственным трудом, учиться на своих ошибках. Не исключено отрешение от мирской жизни и уход в религию 7. Жизнь протекает легко. Но ярких ее проявлений и крутых поворотов в судьбе ждать не стоит 77. Они талантливы. Есть возможность стать известным художником или музыкантом. Однако, если не развиваться в профессии или творчестве, плюс может легко поменяться на минус. Ведь этим людям с легкостью дается не только хорошее, но и плохое 777. Насыщенная яркими событиями жизнь. Нередко увлекаются экстремальными видами спорта. Риск не пугает их, а скорее манит. Однако есть смысл периодически сбавлять обороты и давать себе передышку 7777. Чаще всего обладатели четырех семерок не приспособлены к жизни. Увы, их жизненный путь недолог. И даже если они остаются на земле, их постоянно преследуют болезни.
ГЛАВА 2. МАГИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
2.1. Скатерть Улама
Одно из величайших доказательств того, что расположение простых чисел не является чистым совпадением, появилось самым маловероятным образом.
Как гласит история, польский математик Станислав Улам обнаружил этот графический паттерн во время семинара в 1963 году. Рисуя сетку из линий, он решил пронумеровать пересечения по квадратно-спиральному паттерну и начал обводить те числа в спирали, которые были простыми. К его удивлению, обведённые простые числа приходились на диагональные прямые линии, или, как чуть строже сформулировал Улам, «проявляли сильно неслучайное поведение» [5].
Скатерть Улама, или спираль простых чисел – это получившееся в результате графическое отображение размеченных в квадратной спирали множества простых чисел. Изначально скатерть была опубликована и получила широкую известность в рубрике «Математические игры» Мартина Гарднера в Scientific American, рисунок 2.
Рисунок 2. Скатерть Улама размером 377*377
Визуализация очевидно выявляет примечательные паттерны, особенно по диагоналям.Скатерть Улама содержит потрясающие паттерны, особенно вдоль диагональных осей; кроме того, в ней почти нет скоплений точек.
Визуальное сравнение указывает на наличие паттернов, а логический анализ подтверждает существование ожидаемых паттернов. Разумеется, мы ещё далеки от универсальной формулы для нахождения всех простых чисел, но скатерть Улама без сомнений прекрасна, и как символ нашего знания, и как шедевр природного искусства.
2.2 Самое большое простое число сегодня
Американский инженер-электрик вычислил самое большое простое число. Оно состоит из 23 миллионов цифр.
Исследование проводилось в рамках проекта Great Internet Mersenne Prime Search, направленного как раз на поиск новых простых чисел. Это онлайн-проект, в котором принимают участие математики из различных научных центров. Они фиксируют и проверяют простые числа с использованием специального программного обеспечения.
Открытие нового чемпиона чисел было сделано 26 декабря 2017 года Джонатаном Пейсом (Jonathan Pace). Самое большое простое число, открытое им, было названо M77232917. Оно может быть записано как 277232917-1 (читается: два в степени 77232917 минус один).
Большие простые числа играют важную роль в теории чисел, криптографии и генерации псевдослучайных чисел. Считается, что существует бесконечное количество простых чисел Мерсенна, но это ещё предстоит доказать [4].
Исследователи отмечают, что подтверждение простоты самого большого числа заняло шесть дней непрерывных вычислений. Чтобы доказать отсутствие ошибок в процессе первичного обнаружения, число M77232917 проверялось независимо четырьмя различными программами. При этом каждая
В настоящее время продолжается поиск самого большого простого числа. Для того, чтобы представить размер самого большого известного простого числа, можно привести следующий пример. В романе Л.Н. Толстого «Война и мир» содержится 2521613 знака (без пробелов), что примерно в 9 раз меньше количества цифр в простом числе. Разве это не магия простых чисел?
2.3. Влияние простых чисел на судьбу человека
Как отмечалось выше, простые числа являются «атомами» математики и всех процессов, происходящих в мире, в целом. Рассмотрим влияние простых чисел на судьбу человека. С помощью простых чисел можно найти объяснения многих конфликтов и разногласий, найти подход к человеку, который вам дорог.
Номер дома и квартиры, номер телефона и машины, номер паспорта и дата рождения... Сколько чисел в нашей жизни! Нумерология - мистика чисел - утверждает, что эти цифры даются судьбой неслучайно. У каждого есть «свое» число, данное при рождении.
В нумерологии есть числа с особенным значением и смыслом. Они могут представляться датой рождения человека или получаться в результате расчетов Числа души, Числа судьбы или Числа имени. Это числа 11, 22 и 33. Они называются Мастер-числа и проявляют мощнейшее воздействие на жизнь человека. Те люди, которые родились 11 и 22 числа, являются счастливыми обладателями Мастер-числа в первую очередь. Кроме этого, в ряде нумерологических учений рекомендуется при расчете важных Чисел (души, судьбы или имени) приобретенные значения 11, 22 и 33 не сворачивать до простого числа, а брать на заметку. Эти числа считаются более значимыми, нежели простые и подлежат персональной трактовке.
Например, Число судьбы для человека, рожденного 2. 2013, будет рассчитываться следующим образом: Прежде чем совершить последнее действие и упростить полученный результат, обратите внимание на Мастер-число 11. Кроме Мастер-чисел существует еще один ряд особых чисел, которые носят менее позитивный характер для своих обладателей. Речь идет о числах 13, 14, 16 и 19. Если человек родился 13, 14, 16 и 19 числа, или они получаются при сложении чисел в дате рождения, то воплощение считается кармическим, а судьба человека будет находиться под их влиянием. Они называются Числа кармы. Знание и представление их сущности поможет найти свой путь и исключить в жизни массы проблем.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе написания работы нами была изучена и проанализирована историческая литература, использованы Интернет ресурсы и проведено исследование магии простых чисел, а также влияние простых чисел на судьбу человека.
При работе над исследованием мы пришли к следующим выводам:
Изучив литературу по теме исследования, мы отметили, что многие математики искали практические инструменты для работы с числами. Это в некоторой степени подрывало становление строгой теории. Доказательства едва упоминались, но результаты продолжали использоваться.
Тем не менее, с простыми числами мы снова, казалось бы, опираемся на эмпирический подход. Мы используем недоказанные теоремы и полагаемся на результаты, если знаем, что вероятность ошибки очень мала. Мы можем не прятать гипотетические доказательства, потому что, во-первых, имеем огромные возможности благодаря компьютерным алгоритмам, а во-вторых – огромную потребность в больших простых числах.
В чисто теоретическом смысле можно сказать, что простые числа продолжают сопротивляться усилиям математиков, что еще раз убеждает нас в их «магии».
Математики уже давно пытаются найти закономерности в последовательности простых чисел, но у нас есть основания полагать, что это тайна, в которую человеческий разум никогда не сможет проникнуть.
Числа играют огромную роль в жизни человека. Многое можно объяснить с помощью цифр. Мы поняли, что без знания математики обойтись невозможно. Поэтому математику и называют королевой наук.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
Василенко О. Н. Современные способы проверки простоты чисел // Кибернетический сборник. – 1988. – № 25. – С. 162–187.
Дикарев, С. С. Исследование алгоритмов генерации простых чисел / С. С. Дикарев, Е. Н. Рябухо, Т. В. Турка. – Текст : непосредственный // Молодой ученый. – 2015. – № 10 (90). – С. 6-9. — URL: https://moluch.ru/archive/90/18929/ (дата обращения: 12.03.2022).
Колосов, В.А. Введение в алгебру, теорию чисел и комбинаторику / В.А. Колосов. - М., 2001. - 679 c.
Росанова, К. А. Эти сложные простые числа! / К. А. Росанова, Я. О. Воронцова, А. М. Гаврилова, О. В. Шмелева. – Текст : непосредственный // Юный ученый. – 2016. – № 6.1 (9.1). – С. 40-41. – URL: https://moluch.ru/young/archive/9/625/ (дата обращения: 12.03.2022).
Сгибнев, А.И. Делимость и простые числа / А.И. Сгибнев. – М.: Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО), 2017. – 843 c.