XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Замечательные свойства квадрата или как Пахом землю покупал
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Поводом к созданию данной работы стал рассказ Л.Н.Толстого « Много ли человеку земли нужно»[2, 3, 4] В ходе рассуждений над рассказом возникли вопросы: Какова длина пути Пахома? Сколько земли купил себе Пахом? Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом? Мог ли Пахом выбрать другой путь, чтобы получить наибольшую площадь земли при том же периметре?
При математическом анализе текста было установлено, что участок Земли, который обежал Пазом , имеет вид прямоугольной трапеции с периметром 40 верст. По данным длин сторон была вычислена площадь участка -78 квадратных верст.
Для того, чтобы найти ответы на два последующих вопроса, было проведено исследование зависимости площади прямоугольник от длин сторон при постоянном периметре и зависимости периметра от длин сторон при постоянной площади прямоугольников.
Актуальность работы состоит в том, что замечательные свойства квадрата — заключать в своих границах наибольшую площадь по сравнению со всеми другими четырехугольниками того же периметра и то, что из четырехугольников с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр. — многим не известно. В то же время при решении практических задач по выбору вида многоугольника в зависимости от условия задачи , надо уметь выбрать такой многоугольник, который имеет наибольшую площадь при данном периметре, или наименьший периметр при нужной площади.
Гипотеза. Площадь и периметр прямоугольника имеют определенные соотношения: с изменением длины одной из сторон прямоугольника при заданном периметре изменится и площадь прямоугольника, при заданной площади прямоугольника при изменении его сторон изменится и его периметр.
Цель работы: Выявить, как связаны периметры и площади четырехугольников, какой четырехугольник имеет наибольшую площадь при заданном периметре и какой четырехугольник имеет наименьший периметр при заданной площади.
Объект исследования: отношения между периметром и площадью различных четырехугольников
Предмет исследования: прямоугольники с одинаковым периметром и прямоугольники с равными площадями.
Задачи исследования
1.Сделать анализ различных источников по теме работы.
2.Обобщить теоретический материал, необходимый для выполнения работы.
3.Установить можно ли найти площадь прямоугольника, зная только его периметр.
4. Сделать анализ решения задачи Л.Н. Толстого о том, как Пахом землю покупал.
5. Найти разные способы решения задач о зависимости площади и периметра прямоугольников.
6.Выполнить компьютерное моделирование зависимости между периметром и площадью прямоугольника.
7. Установить практическую значимость выводов по работе.
Методы исследования
Анализ учебников, справочной математической литературы.
Компьютерное моделирование математических объектов в .
Анализ, сравнение, сопоставление и обобщение объектов, полученных в результате моделирования. Проверка выдвинутых гипотез.
Решение задач на нахождение периметра и площади прямоугольников..
Аналитические рассуждения.
Сбор первичной информации со слов опрашиваемых по выявлению мнения о зависимости площади и периметра четырехугольников, о значимости исследования для практических нужд.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Замечательные свойства квадрата или как Пахом землю покупал
1. Основные сведения о площади и периметре прямоугольников
Прямоугольник – это геометрическая фигура, относящаяся к категории четырехугольников. Ее отличительная особенность в том, что противоположные стороны лежат на параллельных прямых (то есть параллельны друг другу) и равны, и углы равны.
Частным случаем прямоугольника, если у него все стороны равны между собой, является квадрат.
Периметр фигуры - это общее расстояние вокруг нее, а площадь - это количество поверхности, которую фигура использует или покрывает.
Можно ли найти площадь прямоугольника, зная только его периметр?
При решении, необходимо принять во внимание, что решить задачу о нахождении площади прямоугольника только из периметра нельзя. Убедимся в этом.
Пусть периметр прямоугольника будет равен 20 см. Это будет верно, если его стороны 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7, 4,5 и 5,5см. Все эти четыре прямоугольника будут иметь одинаковый периметр, равный 20см. Как видно, мы можем подобрать бесконечное количество вариантов размеров сторон прямоугольника, периметр которого будет равен заданному значению.
Длины сторон 1см и 9см, периметр 20см. S1 = 1 * 9 = 9 см2
Длины сторон 2см и 8см, периметр 20см. S1 = 2 * 8 = 16см2
Длины сторон 3см и 7см, периметр 20см. S1 = 3* 7 = 921 см2
Длины сторон 4см и 6см, периметр 20см. S1 = 4 * 6 = 24 см2
Площадь прямоугольников с заданным периметром 20 см, но с различными сторонами будет различна.
Вывод. Таким образом, для того, чтобы вычислить площадь прямоугольника по его периметру, нужно обязательно знать либо соотношение его сторон, либо длину одной из них.
2. Как Пахом покупал землю (по рассказу Л.Н. Толстого)
Крестьянин Пахом мечтал о собственной земле и собрав, наконец, желанную сумму, предстал перед старшиной.
«Какой хочешь круг забирай. Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 рублей. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои денежки» – сказал старшина.
Выбежал утром Пахом, прибежал вечером на место упал без чувств, обежав четырехугольник, имеющий форму прямоугольной трапеции [2, 3], периметр которого 40 верст.
ПРОБЛЕМНЫЕ ВОПРОСЫ: Сколько же земли купил себе Пахом? Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом? Какой путь должен выбрать Пахом, чтобы получить наибольшую площадь земли при том же периметре?
Найдем ответы на поставленные вопросы
1 .Сколько земли купил себе Пахом?
2.Преобразование четырехугольников в равновеликие прямоугольники
Была выполнена практическая экспериментальная работа в ИГС GEOGEBRA. В результате пришли к выводу: параллелограмм, ромб и трапецию можно преобразовать в равновеликий прямоугольник (Приложение1). 3.Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом? (Приложение 2)
3а.Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом?
Выполнив построения в ИГС приходим к выводу: если бы Пахом обежал участок в виде квадрата, то он приобрел бы участок наибольшей площади.
3 б. Преобразование четырехугольника (трапеции) Пахома в равновеликий прямоугольник.
Трапеция со сторонами 2, 13, 10 и 15 верст преобразована в равновеликий прямоугольник со сторонами 6 и 13 верст, Р = 38(в.) и S= 78 (в2).
Пахом мог купить участок той же площади с меньшим периметром.
3в. Какой путь должен выбрать Пахом,чтобы получить наибольшую площадь земли при том же периметре (Р = 40 верст)? (Приложение 2).
Вывод. Чтобы получить наибольшую площадь земли путь должен быть иметь вид квадрата со стороной 10 верст.
4. Проблемный геометрический вопрос: можно ли установить зависимость между периметром и площадью разных прямоугольников? [1]
4а. Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь? Решение этой задачи было известно еще в Древней Греции. Оно изложено в книге древнегреческого математика Евклида.
Задача. Периметр прямоугольника равен 24см, а его основание х см. Задайте формулой зависимость площади от длины основания прямоугольника. S(x) = (12- x)· x =12x – x2 S(x)=x·(12 – x) (кв.см) a = x (см)b =12 –x (см).
|
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
b |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
S |
11 |
29 |
27 |
32 |
35 |
36 |
35 |
32 |
27 |
12 |
11 |
Вывод. Наибольшую площадь с периметром 24 см имеет квадрат при а = 6см.
4 б. Зависимость площади прямоугольника при постоянном периметре и с разными длинами сторон
Вывод. Наибольшую площадь с одним и тем же периметром имеет квадрат .
Выводы из экспериментов. Квадрат имеет два замечательных свойства: 1. Наибольшую площадь с одним и тем же периметром имеет квадрат .
2. Наименьший периметр с одной и той же площадью имеет квадрат.
5 . Практическая значимость
1. Просьба бабушки.
Бабушка попросила внука Диму сделать для клумбы бордюр из12 секций длиной по 50см так, чтобы площадь клумбы была наибольшей.
Решение задачи внуком.
Дима вспомнил, что наибольшую площадь с одним и тем же периметром имеет квадрат. Из 12 секций можно сделать квадратное ограждение со стороной по 3 секции - 150см. Площадь клумбы : 1,5 2 =2,25 (м 2 )
2. Задание папы
Папа поручил Диме сделать оградку площадки для спортивных занятий в виде прямоугольника площадью 36м2 так, чтобы для ее ограждение ушло наименьшее количество декоративного забора из секций длиной по 1м.
Решение задачи Димой.
Диме пригодились знания по вычислению наименьшего периметра прямоугольника данной площади: наименьший периметр с одной и той же площадью имеет квадрат, в данном случае со стороной 6м, периметр 24м. Учитывая длину секции, для ограждения спортивной площадки нужно 24 секции по 1м.
3. Какая планировка комнаты лучше: квадратная или прямоугольная?
Квадратная планировка комнаты - самый любимый вариант у дизайнеров интерьеров. Почему:
1.Такая планировка позволяет дать волю фантазии в планировке.
2. Если взять квадрат и прямоугольник равного периметра, то внутри квадрата - будет просторнее, так как наибольшую площадь с одним и тем же периметром имеет квадрат.
3. Более экономичны расходы при ремонте: такая комната имеет наименьший периметр, значит потребуется меньшее количество материалов для оклейки стен, для покраски потолка и пола.
Еще мнения 2 – х жителей квадратных комнат
1. У нас в квартире кухня прямоугольная (7кв.м), у мамы квадратная и чуть меньше площадью(6,5кв.м). Свободного места больше визуально и фактически в квадратной. У нас гостиная квадратная меньшей площади (16,5кв.м), чем мамина прямоугольная (18кв.м), но кажется места больше в нашей квадратной. Прямоугольное помещение с мебелью ещё больше вытягивается. Квадратная комната выглядит более просторной и гармоничной, при этом хлопот с подбором мебели гораздо меньше, чем в прямоугольной.
2. Габаритная мебель в прямоугольном помещении нередко нарушает баланс, так как обладает неприятным свойством визуально сужать и без того суженное пространство. В этом отношении у квадратной комнаты имеется большой плюс — можно использовать площадь с максимальной пользой, не опасаясь подобного эффекта. ПРИЛОЖЕНИЕ 3.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выполнив анализ учебников, справочной математической литературы, книг для внеклассного чтения [2,3], компьютерное моделирование математических объектов в ИГС GeoGebra, анализ, сравнение, сопоставление и обобщение объектов, полученных в результате моделирования, решение задач на нахождение периметра и площади прямоугольников, в результате сбора первичной информации со слов опрашиваемых по выявлению мнения о зависимости площади и периметра четырехугольников, о значимости исследования для практических нужд, о выборе лучшей планировке различных объектов, поиска примеров применения зависимости между площадью и периметром прямоугольников, на основании аналитических рассуждений мы пришли к следующим выводам:
Гипотеза работы подтвердилась, цель и задачи выполнены.
Если периметры прямоугольников равны, то площади могут быть различными.
Из всех прямоугольников с равными периметрами наибольшую площадь имеет квадрат.
Если площади прямоугольников равны, то периметры могут быть различными.
Из всех прямоугольников с равными площадями квадрат имеет наименьший периметр.
Знакомство с этими свойствами квадрата помогло бы Пахому правильно рассчитать свои силы и получить прямоугольный участок наибольшей площади.
Результаты исследования имеют практическое применение в планировке различных участков земли, площадок, комнат.
ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ
1.Муравин К.С., Муравин Г.К., Дорофеев Г.В. Алгебра 7 класс: учебник для общеобразовательных школ.- М.: Дрофа, 1997;
2. Перельман Я. И. Как Пахом землю покупал. Задача Льва Толстого (Я.И. Перельман Занимательная геометрия» – М.: АО Столетие, 1994);
3. Толстой Л. Н. «Много ли человеку земли надо»; vsebasni.ru (Дата обращения 17.09.2021);
4. Задача, которую задавал Лев Толстой крестьянам; zadacha – lva – tolstogo (дата обращения 17.09.2021);
5. Результат опроса и сбора первичной информации со слов опрашиваемых по выявлению мнения о зависимости площади и периметра четырехугольников, о значимости исследования для практических нужд, о выборе лучшей планировке различных объектов.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Преобразование четырехугольников в равновеликие прямоугольники (выполнен в ИГС GEOGEBRA)
Преобразование трапеции в равновелики прямоугольник (2 способа)
Преобразование ромба в равновеликий прямоугольник (2 способа)
Преобразование параллелограмма в равновеликий прямоугольник
1- способ
2-й способ
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом
|
Вид четырехугольника |
Периметр четырехугольника |
Площадь четырехугольника |
|
|
Трапеция (путь Пахома) |
13 +10+15+2 (верст) |
78 кв. верст |
≈ 89 га |
|
Ромб |
10+10+10+10 (верст) |
83,5 |
≈ 95 га |
|
Квадрат |
10+10+10+10 (верст) |
100 |
≈ 114 га |
|
Параллелограмм |
5+15+5+15(верст) |
60 |
≈ 68 га |
|
Прямоугольник |
2+18+2+18(верст) |
36 |
≈ 41га |
|
Прямоугольник |
4+16+4+16(верст) |
64 |
≈ 73 га |
|
Прямоугольник |
8+12+8+12(верст) |
96 |
≈ 109 га |
Пахом обежал четырехугольник в виде трапеции, периметр которой 40 верст, площадь трапеции - 78 кв. верст (≈ 89 га). Преобразовав трапецию в четырехугольники с таким же периметром, установили, что он мог бы получить участок и большей площади: ромб -95 кв. верст, прямоугольник со сторонами 8верст и 12верст - 96 кв. верст. Самую большую площадь при данном периметр имеет квадрат со стороной 10 верст.
Вывод. Пахом получил не наибольшую ли площадь земли при данном периметре.
Справка. 1верста ≈ 1,066 км; 1 кв. верста ≈1,138 км2 ;
78 кв. верст ≈ 89км 2 ≈ 8,9 га
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Задачи для самостоятельного решения, составленные автором работы.
Задача 1. Хозяину дачи необходимо огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры участка, чтобы площадь была наибольшей?
Задача 2. На дачном участке решили построить бассейн прямоугольно формы периметром 20м. Какие размеры прямоугольника надо выбрать, чтобы площадь бассейна был наибольшей.
Задача 3. Для построения детской площадки прямоугольной формы закупили 60 секций декоративного забора, длина секции 0,8м. Выберите размеры прямоугольника, чтобы площадь детской площадки была наибольшей.
Задача 4. Ребятнашего дворарешили оградитьплощадку прямоугольной формы для спортивных игр. Управдом разрешил сделать площадку площадью 64м2 . Какие размеры площадки нужно выбрать чтобы для ее ограждение ушло наименьшее количество секций длиной 1,6м?
Задача 5. При покупке семян моркови маме сказали, что ими можно засеять 64м2. Хватит ли семян, если родители сделали грядку прямоугольной формы длиной 9 м и шириной 7 м. Если не хватит, то каких размеров должна быть грядка при том же периметре?
Задача 6.Какую площадь огорода при наименьшем периметре необходимо выделить для посадки капусты, чтобы обеспечить нашу семью капустой в течение года, если необходимо заготовить 324кг капусты, урожайность капусты 36 кг с 1 сотки.?
Задача 7.Какую площадь огорода при наименьшем периметре необходимо выделить для посадки картофеля, чтобы обеспечить им семью из 6 человек в течение года, если по нормативам на одного человека необходимо заготовить 100кг при урожайности картофеля 150 кг с 1 сотки?
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Буклет "Замечательные свойства квадрата или как Пахом землю покупал "