ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ РАЗЛИЧНОГО ВИДА ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОГЭ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Акишина С.А. 1

---

1МБОУ Одинцовская СОШ №17 с УИОП

Трифоненкова И.В. 1Лашина Т.С. 1

---

1МБОУ Одинцовская СОШ №17 с УИОП

Работа в формате PDF

260.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителяСвидетельство руководителя

ПАСПОРТ ПРОЕКТА

ВВЕДЕНИЕ

Цель: создать пособие по решению уравнений и неравенств различного вида, встречающихся в ОГЭ.

Задачи: 1) изучить теоретический материал по решению уравнений и неравенств;

2) подобрать уравнения и неравенства, встречающиеся в ОГЭ;

3) решить их;

4) собрать уравнения, неравенства и их решения в сборник.

Актуальность: Экзамен по математике является обязательным при прохождении государственной итоговой аттестации по программам основного общего образования, а в текстах ОГЭ в заданиях 1-ой и 2-ой частей присутствуют уравнения и неравенства различных степеней.

Проблема: решение уравнений и неравенств не всем даётся легко, но для написания ОГЭ оно обязательно.

Методы: анализ, сравнение.

Разработанность проблемы: проблема разработана в сборнике по подготовке к ОГЭ по математике Ф.Ф. Лысенко. Мой сборник будет отличаться, тем, что, во-первых, имеет более узкую направленность, а во-вторых, в нём описаны нестандартные способы решения уравнений и неравенств, которые не встречаются в школьной программе, но значительно упрощают работу над некоторыми выражениями.

Этапы работы:

Первый этап – исследовательский. (октябрь-декабрь 2020 г)

Результатом этого этапа является сбор, анализ и обобщение теоретического материала по решению уравнений и неравенств

Второй этап – практический (декабрь 2020-июнь 2021 гг)

Результатом этого этапа является поиск уравнений и неравенств, встречающихся в ОГЭ, и их решение.

Третий этап – организационный (июль 2021 г)

Результатом этого этапа является составление сборника по решению уравнений и неравенств, встречающихся в ОГЭ.

Четвёртый этап – подведение итогов (август 2021 г)

Результатом этого этапа является создание письменной работы и презентация проекта.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Стандартные и нестандартные способы решения уравнений и неравенств

Решение уравнений. Стандартные способы.

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречаемые виды и способы решения уравнений.

Со стандартными способами решения уравнений многие из нас знакомы. Главный их принцип – это перенос слагаемых с переменной в одну часть уравнения, без переменной – в другую (прим.: для уравнений первой степени); или разложение уравнения на множители (прим.: уравнения степени больше 1).

Пример №1. Решим уравнение:

3-x=4x+1

Перед нами уравнение первой степени, отсюда следует, что надо произвести некоторого рода сортировку: перенести переменные в левую часть, а оставшиеся выражения в правую:

-x-4x=-3+1

Далее приводим подобные слагаемые:

-5x=-2

Части выражения получились с отрицательным знаком, поэтому уравнение можно домножить на (-1):

-5x=-2 |*(-1)

5x=2

Теперь нам остаётся только посчитать x (разделить произведение выражения на известный множитель, в данном случае):

x=

Ответ: x=0,4.

Пример №2. Решим уравнение:

+3 =

Данное уравнение имеет 2-е дроби, что даёт нам выбор – либо привести обе дроби к общему знаменателю и отбросить его, так как он заведомо положительный, не содержит переменную, а, следовательно, не влияет на ответ; либо сразу домножить всё выражение на этот общий знаменатель:

Способ первый:

= 0

= 0

x+20=0 ^(*)4>0

x=-20

Ответ: -20

Способ второй:

+3 - = 0 |*4

10x+8+12-9x=0

x+20=0

x=-20

Ответ: -20.

Пример №3 Решим уравнение:

(x²-36)+(x²-2x-24)=0

Данное уравнение имеет вторую степень – значит, нам следует разложить его на множители. Для начала рассмотрим первое слагаемое x²-36. Его можно разложить по формуле разности квадратов на два множителя:

(x-6)(x+6)+(x²-2x-24)=0

Далее рассмотрим второе слагаемое x²-2x-24. Чтобы разложить его на множители (прим.: по формуле разложения на множители квадратного трёхчлена: a(x-x₀₁)(x-x₀₂)…(x-x_n)) надо найти корни данного выражения, что можно легко сделать по теореме Виета:

x²-2x-24=0

x₀₁=6 x₀₂=-4

Подставляем в уравнение слагаемое x²-2x-24 в разложенном виде:

(x-6)(x+6)+(x-6)(x+4)=0

Из преобразованного выражения мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель x-6. Получается, его можно вынести за скобки:

(x-6)(x+6+x+4)=0

Приводим подобные слагаемые во втором множителе, получившегося выражения:

(x-6)(2x+10)=0

Учитывая, что произведение двух множителей равно нулю, нужно каждый из множителей привести к нулю и решить полученные уравнения отдельно:

x-6=0 или 2x+10=0

Для быстроты решения можно обе части второго уравнения разделить на 2:

x₁=6 2x+10=0 |:2

x+5=0

x₂=-5

Ответ: x=-5;6

Пример №4. Решим уравнение:

(-5x+3)(-x+6)=0

В этом можем также приравнять оба множителя к нулю и найти корни:

-5x+3=0 -x+6=0

x₁=0,6 x₂=6

Ответ: 0,6; 6.

Пример №5. Решим уравнение:

x²+3x=4

Данное квадратное уравнение является полным, т.е. соответствует виду ax²+bx+c=0. Далее мы можем решить его по св-ву коэффициентов (если a+b+c=0, то x₁=1, x₂=; если a-b+c=0, то x₁=-1, x₂= ):

1+3-4=0

x₁=1 x₂=-4

Ответ: -4; 1.

Пример №6. Решим уравнение:

=x²

Поскольку перед нами дробно-рациональное уравнение, мы должны найти корни, которые будут обращать знаменатель в ноль, чтобы позже исключить их (т.к. на 0 делить нельзя):

x-2 0

x2

Далее приступаем непосредственно к решению уравнения.

Домножим обе части уравнения на x-2*, чтобы получить целое выражение.

*Так как мы обозначили в условии, что переменная x не должна равняться 2, то такое действие допускается.

2x²-3x-2=x³-2x²

Обе части уравнения можем разложить на множители:

(2x+1)(x-2)=x²(x-2)

Далее перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель x-2:

(x-2)(2x+1-x²)=0

Решим отдельно обе части уравнения, так как хотя бы один из множителей равен нулю:

x-2=0 2x+1-x²=0 |*(-1)

x₁=2 x²-2x-1=0

x₁=2 x₂=

По условию, x не должен быть равен 2. Значит, у нас всего два корня: 1+ ; 1- .

Ответ: 1 .

Пример №7. Решим уравнение:

x³ + =3 (x + )

Так как переменная x находится в знаменателе, мы должны указать, что она не равняется 0.

x0

Для решения данного уравнения нам понадобится ввести дополнительную переменную y=x + , или, другими словами, прибегнуть к способу замены переменной (выражения с переменной).

Далее выразим x³ + через y.

x³ + =(x + )(x² + - 1)

Из равенства y=x + находим, что y²=x² + +2), значит x² + =y²-2.

Получаем выражение:

y(y²-2-1)=3y

y(y²-3)=3y

Выносим общий множитель y за скобки:

y(y² - 6 )=0

Получается, что

y=0 или y²=6

y=

Возвращаемся к замене:

Так как выражение x²+1 заведомо положительно (к выражению, вовзедённому в квадрат прибавляется положительное число), то первое уравнение корней не имеет. Остаётся:

Отсюда корни уравнения x= ; .

Ответ: -2; ; ; 2.

Пример №8. Решим уравнение:

Чтобы избавиться от переменной y мы можем сложить эти два уравнения, так как тогда y взаимоуничтожится:

3x²+y+4x²-y=6+1

Приводим подобные слагаемые:

7x²=7

Находим отсюда x:

x=1

Далее нам нужно найти значение y, что мы можем сделать, выразив его через x:

y=6-3x²=3 (из первого уравнения в системе)

Запишем каждую пару значений отдельно друг от друга в круглых скобках:

Ответ: (1; 3); (-1; 3).

Пример №9. Решим систему уравнений:

.

Данную систему легче всего решать методом подстановки: выразить из наиболее простого уравнения одну из переменных и подставить в другое уравнение. Выразим из 2-ого уравнения переменную x:

x=

Подставим в 1-ое уравнение:

- y² – –y=0.

Для удобства можем домножить всё выражение на 4:

(1-3y)²-4y²-2+6y-4y=0.

Далее раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

1-6y+9y²-4y²+6y-2-4y=0

5y²-4y-1=0.

Применим св-во коэффициентов, чтобы найти корни уравнения:

y₁=1 y₂=-0,2

Найдём значения переменной x, подставив полученные корни в формулу, по которой мы выразил переменную x:

x₁= = =-1

x₂= = =0,8

Ответ: (-1; 1); (0,8; -0,2).

Пример №10. Решим систему уравнений:

.

Для начала, так как обе переменных системы находятся в знаменателях дробей 1-ого уравнения, поставим ограничения:

.

Далее приведём 1-ое уравнение к общему знаменателю:

=0.

Знаменатель мы можем отбросить, так как указали все ограничения, а число 8 априори больше нуля. Получаем такую систему:

.

Её также следует решать методом подстановки. Выразим переменную y из 2-ого уравнения:

y=12-x.

Подставим в 1-ое уравнение:

8x-3x(12-x)+8(12-x)=0

8x-36x+3x²+96-8x=0

3x²-36x+96=0 |: 3

x²-12x+32=0

Найдём корни полученного выражения через формулу дискриминанта, делённого на 4 (эта формула применяется как альтернатива обычного дискриминанта только в том случае, если коэффициент b является чётным числом):

= -ac=36-32=4

x₁= =6+2=8

x₂= =6-2=4

Найдём значения переменной y, подставив полученные значения переменной x в формулу, через которые мы выражали y:

y₁=12-x₁=12-8=4

y₂=12-x₂=12-4=8.

Ответ: (8; 4); (4; 8).

Решение неравенств. Стандартные способы.

Решение неравенства в своём начальном виде мало чем отличается от решения уравнения. Для решения неравенства первой степени нам нужно найти минимальное/максимальное значение x, а для решения неравенства со степенью больше 1 следует разложить его на множители. Далее надо отметить полученные точки на числовой прямой и определить знаки выражений в полученных интервалах, учитывая знак неравенства.

Рассмотрим всё это на примерах.

Пример №11. Решим неравенство первой степени:

3-x4x+1

Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а всё остальное – в правую:

-5x-2

Чтобы избавиться от минуса, домножим обе части неравенства на (-1):

5x2

Далее найдём граничную точку:

x

Ответ: ( ; ].

Пример №12. Решим неравенство:

2(0,2x+2)<9+0,5x

Сначала, как и в предыдущем примере, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

0,4x+4-9-0,5x<0

-0,1x-5<0

Можно для удобства домножить всё выражение на 10:

-x-50<0

-x<50

x>-50

Ответ: (-50; + ).

Для решения неравенств со степенью больше 1 применяется метод интервалов. Метод интервалов заключается в том, чтобы прировнять неравенство к нулю, найти корни этого выражения, разложить многочлен на множители, отметить их на числовой прямой, выяснить, какие знаки имеет многочлен в полученных интервалах и далее соотнести их со знаком самого неравенства.

Пример №13. Решим неравенство:

x²-15x+56 0

Для решения неравенства применим метод интервалов.

Разложим выражение на множители. Для этого приравняем его к нулю и найдём корни.

x²-15x+56=0

x₁=7 x₂=8

Затем разложим его в соответствии с формулой разложения на множители квадратного трёхчлена:

(x-7)(x-8) 0

Далее чертим числовую прямую и отмечаем на ней граничные токи. В данном случае, у нас всего 3 интервала: (- ; 7], [7; 8] и [7; + ). Чтобы понять, какой(ие) из них нам подходят надо узнать на каком промежутке, какой знак будет принимать переменная x. Для этого можно воспользоваться правилом:

Если в разложенном на множители выражении переменная стоит на 1-ом месте с положительным коэффициентом (знаком), то крайний правый интервал имеет значение «+».

Если выражение в разложении на множители не имеет чётных показателей степени, то знак в интервалах чередуется.

В соответствии с этим расставляем знаки в интервалах:

+ _ +

7 8

Далее смотрим на знак самого неравенства и выбираем промежутки, соответствующие ему по знаку.

Ответ: (- ; 7]; [8; + ).

Пример №14. Решите неравенство:

(2x-3)²(3x-2)²

Перенесём второе слагаемое из правой части в левую:

(2x-3)² - (3x-2)²0

Разложим выражение по формуле разности квадратов:

(2x-3-3x+2)(2x-3+3x-2) 0

Приведём подобные слагаемые и раскроем скобки:

-5x²+5 0

У обоих слагаемых полученного неравенства есть общий множитель 5. К тому же коэффициент у переменной отрицательный, что нам не совсем удобно. Поэтому разделим выражение на -1:

x²-1 0

Теперь нам нужно разложить выражение на множители. Нетрудно заметить, что на данный момент левая часть неравенства представляет из себя разность квадратов, что помогает нам разложить выражение на 2 множителя:

(x-1)(x+1) 0

Приступаем к методу интервалов. Для этого нам надо приравнять неравенство к нулю и найти корни полученного уравнения:

(x-1)(x+1)=0

x-1=0 или x+1=0

x= 1

Затем чертим числовую прямую и отмечаем на ней корни, нужный интервал:

+ - +

-1 1

Ответ: [-1;1].

Пример №15. Решим неравенство:

(x+11)²< (x+11)

Данное неравенство удобнее всего решить методом замены переменной.

Пусть x+11=t

t²<t

t²-t<0

После проделанных преобразований можно легко разложить полученное выражение на множители:

t(t- )<0

Приравняем выражение к нулю и найдём корни «уравнения»:

t(t- )=0

t=0 или t=

Воспользуемся методом интервалов, чтобы найти нужное решение:

+ - +

0

Получается что x-11 принадлежит промежутку (0; ). Отсюда находим x с помощью системы неравенств:

Снова чертим числовую прямую, чтобы понять, какой интервал является решением неравенства (им будет пересечение решений обоих неравенств системы):

-11 -11+

Ответ: (-11; -11+ ).

Пример №16. Решите неравенство:

0.

Далее нам нужно отдельно поработать с числителем и отдельно со знаменателем. Для этого приравняем оба выражения к нулю и решим полученные уравнения:

Найдём нули числителя:

-12+x=0

x=-12

Нули знаменателя:

(x-1)²-2 0

(x-1+ )(x-1- ) 0

x1

Затем нам нужно отметить корни на числовой прямой и обозначить знак интервалов и отобрать среди них, нужные нам:

- + - +

1- 1+ 12

Ответ: (1- ; 1+ ); [12;+ ).

Пример №17. Решим неравенство:

+ .

Чтобы решить данное уравнение нам надо привести всё к общему знаменателю. В данном случае, он виден сразу: (x+1)(x-3)²:

0

Далее поработаем с ограничениями, т.е. со знаменателем:

(x+1)(x-3)²0

x-1; 3

Эти точки, когда мы будем чертить числовую прямую, изобразим выколотыми. Приравняем запись к нулю, чтобы найти нули числителя:

0

Дробь равна нуля, когда числитель равен нулю с учётом отличного от нуля знаменателя:

x(x-3)+4(x+1)+3x=0

x²-3x+4x+4+3x=0

x²+4x+4=0

Полученное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы и таким образом быстрее получить x:

(x+2)²=0

(точка x=-2 будет невыколотой)

В итоге мы получаем такое неравенство:

0

Чертим числовую прямую и отмечаем на ней найденные точки, чтобы узнать решение. Не забываем про то, что два множителя находятся во второй степени– это означает, что знаки в интервалах при переходе через корни этих выражений не меняются:

- - + +

-2 -1 3

Также в ответ войдёт точка 2, так как она «закрашена» и подходит по условию – если подставить это число в неравенство, то его значение получится равным нулю.

Ответ: (-1; 3); (3; + ); {-2}.

Пример №18. Решим неравенство:

- >1

Начнём с точек в знаменателе:

x²-x+2 0

D 1-8, <0

Так как дискриминант получился меньше нуля, а коэффициент при x² неотрицательный, то это выражение является положительным

x²-x-6 0

Далее рассмотрим интересную особенность этого неравенства: в каждом слагаемом с переменной и в числителе, и в знаменателе повторяется одно и то же выражение (x²-x). Поэтому нетрудно догадаться, что далее мы будем работать с заменой:

Пусть x²-x=t

- <1

Также надо высчитать точки знаменателя для t: они будут равны -2 и 6. Теперь приводим всё к общему знаменателю и приравняем выражение к нулю:

=0

Отбросим знаменатель и найдём точки числителя:

t(t-6)-(t+6)(t+2)-(t-6)(t+2)=0

t²-6t-t²-8t-12-t²+4t+12=0

-t²-10t=0

t²+10t=0

t(t+10)=0

Мы получили такое неравенство:

<0

Д алее чертим числовую прямую и отмечаем на ней все найденные для t точки:

+ - + - +

-10 -2 0 6

Таким образом, получаем совокупность 2-х систем неравенств:

Или возвращаясь к замене:

Многочлены первых двух неравенств системы имеют отрицательный дискриминант, причём решением 1-ого является множество действительных чисел, а у 2-ого решения нет (так как у 1-ого парабола находится над осью OX и знак неравенства положительный, а у 2-ого парабола также выше OX, но знак неравенства отрицательный).

Остаётся:

Точки второго неравенства системы совпадают с точками знаменателя изначального неравенства, к тому же, у системы строгий знак, поэтому мы просто отмечаем решение системы на числовой прямой:

-2 0 1 3

Ответ: (-2; 0); (1; 3).

Пример №19. Решите систему неравенств:

Перенесём слагаемые без переменных в обоих неравенствах в правую часть и приведём подобные слагаемые:

Далее домножим второе неравенство на -1 и найдём граничные точки у обоих выражений:

Начертим числовую прямую, на которой укажем решения для обоих неравенств. Тот интервал, в котором будет пересечение – нужный нам интервал.

3 7

Ответ: (3;7).

Пример №20. Решим систему неравенств:

В данной системе два неравенств: одно - дробно-рациональное, другое - линейное. Решим каждое по отдельности и затем на общей числовой прямой найдём ответ.

Рассмотрим первое неравенство:

0

Так как знаменатель является заведомо положительным (выражение 3-x, так как возведено во вторую степень всегда больше нуля, также к нему прибавляется положительное число), то рассмотрим числитель. Обратим внимание на то, что знак останется меньше либо равно нуля:

x-9 0

Отсюда следует, что решением первого неравенства системы будет промежуток: (- ; 9].

Рассмотрим второе неравенство системы:

Оно линейное, поэтому всё, что требуется – это перенести всё в левую часть и привести подобные слагаемые:

-10x-30 0

-10x30

x-3

Таким образом, решением этого уравнения будет интервал (- ; -3].

Чертим числовую прямую, на которой отмечаем решения обоих неравенств и ищем пересечения:

-3 9

Ответ: (- ; -3].

Пример №21. Решим систему неравенств:

Для начала по отдельности решим отдельно каждое неравенство:

Для удобства домножим на общий знаменатель 42:

54x+48-98x-42-42<0

Приведём общие слагаемые:

-44x-36<0

44x>-36

x>

Таким образом, решение данного неравенства принадлежит промежутку ( ; + ).

Домножим неравенство на 2:

6-20x+4>0

-20x>-10

2x<1

x<0,5

Из 2-х полученных интервалов (( ; + ) и (- ; 0,5)) можно сразу понять, что пересечений у неравенств данной системы нет, а значит, у самой системы нет и решений.

Ответ: нет решений.

Решение уравнений и неравенств. Нестандартные способы.

Следует заметить, что при решении уравнений и неравенств чаще всего применяют способы разложения на множители, особенно, если уравнение или неравенство содержат высокую степень. Напомним, какие способы разложения на множители применяют:

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Формулы сокращённого умножения

Разложение на множители квадратного трёхчлена

Нестандартные же способы решения уравнений и неравенств, хотя и обычно связаны с разложением на множители, редко проходятся в школе на базовом уровне, их можно встретить лишь в углублённом изучении алгебры, и то не всегда. Но надо сказать, что они облегчают решение уравнений. Приведём несколько таких способов.

Теорема Безу.

Данная теорема звучит так:

Если число α* является корнем многочлена P(x), имеющего степень n, то этот многочлен можно представить в виде:

P(x)=(x-α)*Q(x),

где Q(x) – многочлен степени n-1, получающийся при делении P(x) на (x-α).

*Важно отметить, что число α должно принадлежать множеству натуральных чисел.

Чтобы разобраться в данной теореме, следует рассмотреть один пример.

Пример №22. Разложим выражение на множители

3x⁵-2x³-7x+6=0

Проверим, является ли одним из корней выражения число 1. Проверим это с помощью свойства коэффициентов для квадратного трёхчлена ax²+bx+c=0 (Если a+b+c=0, то x₁=1, x₂= ; если a - b+c=0, то x₁=-1, x₂= ).

3-2-7+6=0

Убедившись в истинности своего предположения, попробуем представить уравнение в соответствии с теоремой Безу. Для этого поделим 3x⁵-2x³-7x+6 на x-1:

3x⁵+0x⁴-2x³+0x²-7x+6|x-1

- 3x⁵+3x⁴ |3x⁴+3x³+x²+x-6

3x⁴-2x³

-3x⁴+3x³

x³+0x²

-x³-x²

-x²+7x

-x²-x

6x+6

-6x-6

0

Теперь наше первоначальное уравнение приняло вид (x-1)(3x⁴+3x³+x²+x-6). Нетрудно догадаться, что далее мы можем продолжить подобного рода разложение с частью 3x⁴+3x³+x²+x-6 и таким образом найти оставшиеся корни.

Также есть вторая часть Теоремы Безу, которая звучит так:

Если число α является корнем уравнения, содержащего многочлен, то α – делитель свободного члена.

Или:

Если дробь является корнем уравнения, содержащего многочлен, то p – делитель свободного члена, а q – делитель старшего коэффициента.

Пример №23. Найдём корни уравнения:

7x³-11x²-19x+26=0

Методом подбора можно найти один из множителей (2):

7*8-11*4-19*2+26=0

Теперь воспользуемся теоремой Безу и разделим уравнение на выражение x-2:
7x³-11x²-19x+26|x-2

- 7x³+14x |7x²+3x-13

3x²-19x

-3x+6x

-13x+26

-13x-26

0

Мы получили выражение 7x²+3x-13, корни которого уже будет легче найти через дискриминант:

D=9+364=373

x=

Ответ: 2; .

Пример №24. Решим уравнение:

5x³-19x²+11x+3=0

По свойству коэффициентов мы можем найти первый корень: 1 (5-19+11+3=0). Исходя из этого воспользуемся теоремой Безу и поделим уравнение на выражение x-1:

5x³-19x²+11x+3|x-1

- 5x³+5x² |5x²-14x-3

-14x²+11x

-14x²-14x

-3x+3

-3x-3

0

Найдём корни 5x²-14x-3=0 через дискриминант, делёный на 4:

D=49+15=64

x₁= =3

x₂= =-0,2

Ответ: -0,2; 1; 3.

Пример №25. Решим уравнение:

2x³-7x²+5x-1=0

Воспользуемся вторым частью теоремы Безу, тогда получим:

p= 1

q= 1; 2

Среди всех возможных нам подходит . Тогда разделим уравнение на выражение 2x-1:
2x³-7x²+5x-1|2x-1

- 2x³+x² |x²-3x+1

-6x²+5x

-6x²-3x

2x-1

-2x+1

0

Найдём оставшиеся корни x²-3x+1=0 через дискриминант:

D=9-4=5

x=

Ответ: ; 0,5.

Схема Горнера.

Для более простого перехода к нахождению корней уравнения можно воспользоваться схемой Горнера.

В её действии легче разобраться на примере, что сейчас мы и сделаем.

Пример №26. Разложим выражение на множители:

3x³-4x²-17x+6

По теореме Безу можно сделать вывод, что целые корни выражения находятся среди чисел -1;1;-2;2;-3;3;-6;6 (делители свободного члена). Числа 1 и (-1) можно проверить устно, подставив их в уравнение (по свойству коэффициентов):

3-4-17+6≠0 (подставили 1)

(-3)-4+17+6≠0 (подставили (-1))

Продолжаем проверять предполагаемые корни.

Вот тут себя и проявляет схема Горнера.

Этот вид решения уравнений и неравенств оформляется в виде таблицы, где в заглавиях столбцов находятся все коэффициенты выражения (вместе с их знаками!), а в заглавиях строк – предполагаемые корни:

Сделав все вышеобозначенные приготовления, можно начать проверку. Сначала во вторую строку второго столбца сносим старший коэффициент:

Далее мы перемножаем предполагаемый корень и старший коэффициент, а полученное число прибавляем к следующему в очереди коэффициенту выражения:

Проводим те же операции с получаемыми числами до конца строки. Если в конечной ячейке получился ноль – то проверяемое число является корнем уравнения. Вернёмся к нашей таблице:

Как видите, число 2 – подходит нам. Можно продолжить проверять выведенные раньше числа (предполагаемые корни), а можно обратить внимание на другие числа, полученные в результате нашей проверки. Дело в том, что, если мы поделим уравнение 3x³-4x²-17x+6 на выражение x-2 (снова возвращаемся к теореме Безу), то получим такое выражение:

3x²+10x+3,

чьи коэффициенты соответствуют полученным в таблице числам. Исходя из этого, можно найти делители свободного члена нового выражения (1;-1;3;-3) и проверить их в качестве корней. Ранее мы выяснили, что числа 1 и (-1) не подходят, поэтому нам остаются только 3 и (-3). Проверим 3:

Число подошло, и мы получили выражение 3x-1, которое имеет первую степень, поэтому дальше разложения попросту не будет.

Ответ: 3x³-4x²-17x+6=(x+2)(x-3)(3x-1).

Пример №27. Решим уравнение:

6x⁴-7x³-6x²+2x+1=0

Найдём p и q (др. вариант второй части Теоремы Безу). p будет равно (-1) и 1; q – (-1); 1; (-2); 2; (-3); 3; (-6); 6.

Корни 1 и (-1) не подходят (по свойству коэффициентов).

Составим дроби из оставшегося набора чисел: ; ; ; ; ; .

Начнём проверять их с помощью схемы Горнера:

Корень подошёл, значит, далее проверяем предполагаемые корни, подходящие к полученному нами выражению 6x³-4x²-8x-2:

Получаем выражение (x - )(x + )(6x²-6x-6). Последний множитель выражения 6x²-6x-6 имеет корни ; (найдены с помощью дискриминанта). Тогда выражение будет иметь вид: (x - )(x + )(x - )(x - ).

Ответ: ; ; .

Пример №28. Решим уравнение:

x⁴+4x³-25x²-16x+84=0

По теореме Безу корнями нашего уравнения могут, например, оказаться: 2; -2; 3 и т.д., поскольку p= 1; 2; …, а q= 1

1 корень равен быть не может по свойству коэффициентов, поэтому продолжим искать среди других чисел.

Допустим, что один из искомых корней равен 2. Проверим это по схеме Горнера:

Теперь проверим -2:

Проверим 3:

Таким образом мы получаем уравнение (x-2)(x+2)(x-3)(x+7)=0 и его корни 2; 3; -7.

Ответ: -7; 2; 3.

Пример №29. Решим уравнение:

x⁴-3x³-3x²+7x+6=0

По теореме Безу корнями уравнения могут являться 1; 2; 3; 6.

Проверим -1 с помощью схемы Горнера:

Теперь проверим 2:

На данный момент в нашем разложении мы получили такое уравнение: (x+1)(x-2)(x²-2x-3)=0. Последний множитель можно разложить с помощью теоремы Виета ещё на 2 множителя: (x+1)(x-3). Итак, мы получаем корни -1; 2; 3.

Ответ: -1; 2; 3.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Работа над проектом

Продуктом моего проекта стал сборник по решению уравнений и неравенств, встречающихся в ОГЭ. Его создание можно разделить на несколько различных этапов, в процессе которых я выяснила много нового и освежила старые знания на тему решения уравнений и неравенств.

Поиск материала

Материалом для моего проекта являются уравнения и неравенства, которые я находила в различных источниках.

Для начала я прорешала все задания на данную тему в сборнике «Математика. Подготовка к ОГЭ-2020» под редакцией Ф.Ф. Лысенко и С.О. Иванова. Этих заданий мне показалось недостаточно, тем более что данное пособие предназначено для подготовки к ОГЭ прошлого года, а данный экзамен, как и многие другие, каждый год даже пусть и незначительно, но меняет свою структуру.

Поэтому я зашла на два сайта – Решу ОГЭ и ФИПИ. На первом сайте (Решу ОГЭ) я открыла «Каталог заданий», нашла разделы, связанные с уравнениями и неравенствами и прорешала их. Также на данном сайте я просматривала сами варианты, чтобы выявить определённую динамику в заданиях – какие виды уравнений и неравенств действительно встречаются в ОГЭ. Благодаря последнему я поняла, что в ОГЭ 2021 встречаются такие задания, связанные с темой моего проекта:

Задание 9 (1-ая часть ОГЭ); в нём даются уравнения, причём таких видов: линейные, квадратные, дробно-рациональные и системы уравнений с 2-мя неизвестными;

Задание 13 (1-ая часть ОГЭ); в данном задании встречаются линейные, квадратные неравенства и системы неравенств с 1-ой переменной;

Задание 20 (2-ая часть ОГЭ); здесь даются системы уравнений с 2-мя неизвестными, уравнения со степенью больше 2-х, квадратные и дробно-рациональные неравенства и системы неравенств. Следует отметить, что уравнения и неравенства в данном задании сложнее, чем те, что даются в 9-ом и 13-ом номерах. Это объясняется просто: 2-ая часть ОГЭ всегда сложнее 1-ой.

На ФИПИ я открыла раздел «Банк заданий» и рассмотрела подраздел «Уравнения и неравенства». На этом сайте выбора было значительно больше, чем на Решу ОГЭ, поэтому достаточное количество примеров и заданий в моём сборнике основано на том, что я нашла на ФИПИ.

Также я искала различные уравнения и неравенства на других сайтах (см. Список литературы и интернет-ресурсов).

Виды и типы уравнений и неравенств, которые я включила в свой сборник и их решения.

Мой сборник разделён на 2 части: одна касается уравнений, а вторая – неравенств. В 1-ую часть включены такие виды уравнений:

Линейные уравнения;

Квадратные уравнения;

Дробно-рациональные уравнения;

Системы уравнений с 2-мя переменными;

Уравнения со степенью больше 2-х.

Во 2-ую часть входят такие виды неравенств, как:

Линейные неравенства;

Квадратные неравенства;

Дробно-рациональные неравенства;

Системы неравенств с 1-ой переменной.

Каждый из этих видов можно разделить на определённые типы, которые имеют различные способы решения. Чтобы понять, как я решала задания в моём сборнике, предлагаю разобрать эти типы уравнений и неравенств.

Линейные уравнения

Пример №1. Решим уравнение:

3-x=4x+1

Перед нами уравнение первой степени, отсюда следует, что надо произвести некоторого рода сортировку: перенести слагаемые с переменными в левую часть, а оставшиеся - в правую:

-x-4x=-3+1

Далее приведём подобные слагаемые:

-5x=-2

Для удобства можно домножить на (-1):

-5x=-2 |*(-1)

5x=2

Теперь нам остаётся только посчитать x (разделить произведение выражения на известный множитель, в данном случае):

x=

Ответ: x=0,4.

Пример №2. Решим уравнение:

-6(5-3x)=8x-7

Данный тип уравнений требует для своего решения раскрытия скобок. В остальном он ничем не отличается от простого линейного уравнения (Пример №1):

-30+18x=8x-7

18x-8x=30-7

10x=23

x=2,3

Ответ: 2,3.

Пример №3. Решим уравнение:

+3 =

Данное уравнение имеет 2-е дроби, что даёт нам выбор – либо привести обе дроби к общему знаменателю и отбросить его, так как он заведомо положительный, не имеет переменную, а, следовательно, не влияет на ответ; либо сразу домножить всё выражение на этот общий знаменатель:

Способ первый:

= 0

= 0

4>0, следовательно:

x+20=0

x=-20

Ответ: -20

Способ второй:

+3 - = 0 |*4

10x+8+12-9x=0

x+20=0

x=-20

Ответ: -20.

Квадратные уравнения

Пример №4. Решим уравнение:

x²+3x=4

Данное квадратное уравнение является полным, т.е. соответствует виду ax²+bx+c=0. Далее мы можем решить его по св-ву коэффициентов (если a+b+c=0, то x₁=1, x₂=; если a-b+c=0, то x₁=-1, x₂= ):

1+3-4=0

x₁=1 x₂=-4

Ответ: -4; 1.

Пример №5. Решим уравнение:

x²-64=0

Данное уравнение является неполным, так как в нём отсутствует слагаемое bx. Но его можно разложить на множители по формуле разности квадратов (a²-b²=(a-b)(a+b)):

(x-8)(x+8)=0

x=8

Ответ: 8.

Пример №6. Решим уравнение:

10x²=80x

Это уравнение также является неполным, но в нём уже отсутствует другое слагаемое – c. Для его решения нам достаточно вынести общий множитель (10x) за скобку:

10x(x-8)=0

x₁=0 x₂=8

Ответ: 0; 8.

Пример №7. Решим уравнение:

(-5x+3)(-x+6)=0

В этом можем также приравнять оба множителя к нулю и найти корни:

-5x+3=0 -x+6=0

x₁=0,6 x₂=6

Ответ: 0,6; 6.

Дробно-рациональные уравнения

Пример №8. Решим уравнение:

=x²

Поскольку перед нами дробно-рациональное уравнение, мы должны найти корни, которые будут обращать знаменатель в ноль, чтобы позже исключить их (т.к. на 0 делить нельзя):

x-2 0

x2

Далее приступаем непосредственно к решению уравнения.

Домножим обе части уравнения на x-2*, чтобы получить целое выражение.

*Так как мы обозначили в условии, что переменная x не должна равняться 2, то такое действие допускается.

2x²-3x-2=x³-2x²

Обе части уравнения можем разложить на множители:

(2x+1)(x-2)=x²(x-2)

Далее перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель x-2:

(x-2)(2x+1-x²)=0

Решим отдельно обе части уравнения, так как хотя бы один из множителей равен нулю:

x-2=0 2x+1-x²=0 |*(-1)

x₁=2 x²-2x-1=0

x₁=2 x₂=

По условию, x не должен быть равен 2. Значит, у нас всего два корня: 1+ ; 1- .

Ответ: 1 .

Пример №9. Решим уравнение:

x³ + =3 (x + )

Так как знаменатель равен x, мы должны указать, что x не равняется 0.

x0

Для решения данного уравнения нам понадобится ввести дополнительную переменную y=x + , или, другими словами, прибегнуть к способу замены переменной (выражения с переменной).

Далее выразим x³ + через y.

x³ + =(x + )(x² + - 1)

Из равенства y=x + находим, что y²=x² + +2), значит x² + =y²-2.

Получаем выражение:

y(y²-2-1)=3y

y(y²-3)=3y

Выносим общий множитель y за скобки:

y(y² - 6 )=0

Получается, что

y=0 или y²=6

y=

Возвращаемся к замене:

Так как выражение x²+1 заведомо положительно (к выражению, вовзедённому в квадрат прибавляется положительное число), то первое уравнение корней не имеет. Остаётся:

Отсюда корни уравнения x= ; .

Ответ: -2; ; ; 2.

Пример №10. Решим уравнение:

+ = .

Как и всегда в случае с дробно-рациональными уравнениями, начинаем с ограничений на переменную x:

x²-4 0 x(x+2) 0 x²-2x0

(x-2)(x+2) 0 x-2; 0 x(x-2) 0

x2 x-2; 0 x0; 2

x0; 2.

Далее приступаем к решению самого уравнения. Нужно привести дробь к общему знаменателю, но до этого следует разложить знаменатели отдельных дробей уравнения на множители:

+ - =0

=0.

Знаменатель мы можем отбросить, так как указали все ограничения на уравнение и решать уравнение как квадратное:

2x+(x-4)(x-2)-x-2=0

2x+x²-6x+8-x-2=0

x²-5x+6=0

Находим корни через дискриминант:

D=25-24=1

x₁= =3 x₂= =2

Проверяем найденные корни на ограничения: исходя из того, что мы сделали в начале решения, подходит нам только один корень из пары (3).

Ответ: 3.

Пример №11. Решим уравнение:

x² + = 3.

Находим ограничения:

x²0

x0

Далее приводим всё к общему знаменателю:

=0.

Наше уравнение получилось биквадртаным (т.е. оно соответствует виду: ax⁴+bx²+c=0). Такие уравнения решаются методом замены, где заменяется x²:

Пусть x²=t, ^(*)t0 (так как мы заменяем квадрат переменной x)

t²-3t+2=0

Полученное уравнение можно решить по свойству коэффициентов:

1-3+2=0

t₁=1 t₂=2

Возвращаемся к замене:

x²=1 x²=2

x= 1 x=

По ограничениям нам подходят оба корня:

Ответ: ; 1.

Системы уравнений

Пример №12. Решим систему уравнений:

Чтобы избавиться от переменной y мы можем сложить эти два уравнения, так как тогда слагаемые, содержащие её, взаимоуничтожится:

3x²+y+4x²-y=6+1

Приводим подобные слагаемые:

7x²=7

Находим отсюда x:

x=1

Далее нам нужно найти значение переменной y, что мы можем сделать, выразив его через переменную x:

y₁=6-3x₁² y₂=6-3x₂²

y₁=6-3 y₂=6-3

y₁=3 y₂=3

Запишем каждую пару значений отдельно друг от друга в круглых скобках:

Ответ: (1; 3); (-1; 3).

Пример №13. Решим систему уравнений:

.

Данную систему легче всего решать методом подстановки: выразить из наиболее простого уравнения одну из переменных и подставить в другое уравнение. Выразим из 2-ого уравнения переменную x:

x=

Подставим в 1-ое уравнение:

- y² – –y=0.

Для удобства можем домножить всё выражение на 4:

(1-3y)²-4y²-2+6y-4y=0.

Далее раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

1-6y+9y²-4y²+6y-2-4y=0

5y²-4y-1=0.

Применим свойство коэффициентов, чтобы найти корни уравнения:

y₁=1 y₂=-0,2

Найдём значения переменной x, подставив полученные корни в формулу, по которой мы выразили её:

x₁= = =-1

x₂= = =0,8

Ответ(-1; 1); (0,8; -0,2).

Пример №14. Решим систему уравнений:

.

Для начала, так как обе переменных системы находятся в знаменателях дробей 1-ого уравнения, поставим ограничения:

.

Далее приведём 1-ое уравнение к общему знаменателю:

=0.

Знаменатель мы можем отбросить, так как указали все ограничения, а число 8 априори больше нуля. Получаем такую систему:

.

Её также следует решать методом подстановки. Выразим переменную y из 2-ого уравнения:

y=12-x.

Подставим в 1-ое уравнение:

8x-3x(12-x)+8(12-x)=0

8x-36x+3x²+96-8x=0

3x²-36x+96=0 |: 3

x²-12x+32=0

Найдём корни полученного выражения через формулу дискриминанта, делённого на 4 (эта формула применяется как альтернативный вариант обычного дискриминанта только в том случае, если коэффициент b является чётным числом):

= -ac=36-32=4

x₁= =6+2=8

x₂= =6-2=4

Найдём значения переменной y, подставив полученные значения переменной x в формулу, через которые мы выражали y:

y₁=12-x₁=12-8=4

y₂=12-x₂=12-4=8.

Ответ: (8; 4); (4; 8).

Уравнения степени больше 2-х

Пример №15. Разложим выражение на множители

3x⁵-2x³-7x+6=0

Проверим, является ли одним из корней выражения число 1. Проверим это с помощью свойства коэффициентов для квадратного трёхчлена ax²+bx+c=0 (Если a+b+c=0, то x₁=1, x₂= ; если a - b+c=0, то x₁=-1, x₂= ).

3-2-7+6=0

Убедившись в истинности своего предположения, попробуем представить уравнение в соответствии с теоремой Безу. Для этого поделим 3x⁵-2x³-7x+6 на x-1:

3x⁵+0x⁴-2x³+0x²-7x+6|x-1

- 3x⁵-3x⁴ |3x⁴+3x³+x²+x-6

3x⁴-2x³

-3x⁴-3x³

x³+0x²

-x³-x²

-x²+7x

-x²-x

6x+6

-6x+6

0

Теперь наше первоначальное уравнение приняло вид (x-1)(3x⁴+3x³+x²+x-6). Нетрудно догадаться, что далее мы можем продолжить подобного рода разложение с частью 3x⁴+3x³+x²+x-6 и таким образом найти оставшиеся корни.

Также есть вторая часть Теоремы Безу, которая звучит так:

Если число α является корнем уравнения, содержащего многочлен, то α – делитель свободного члена.

Или:

Если дробь является корнем уравнения, содержащего многочлен, то p – делитель свободного члена, а q – делитель старшего коэффициента.

Пример №16. Разложим выражение на множители:

3x³-4x²-17x+6

По теореме Безу можно сделать вывод, что целые корни выражения находятся среди чисел -1;1;-2;2;-3;3;-6;6 (делители свободного члена). Числа 1 и (-1) можно проверить устно, подставив их в уравнение (по свойству коэффициентов):

3-4-17+6≠0 (подставили 1)

(-3)-4+17+6≠0 (подставили (-1))

Продолжаем проверять предполагаемые корни.

Этот вид решения уравнений и неравенств оформляется в виде таблицы, где в заглавиях столбцов находятся все коэффициенты выражения (вместе с их знаками!), а в заглавиях строк – предполагаемые корни:

Сделав все вышеобозначенные приготовления, можно начать проверку. Сначала во вторую строку второго столбца сносим старший коэффициент:

Далее мы перемножаем предполагаемый корень и старший коэффициент, а полученное число прибавляем к следующему в очереди коэффициенту выражения:

Проводим те же операции с получаемыми числами до конца строки. Если в конечной ячейке получился ноль – то проверяемое число является корнем уравнения. Вернёмся к нашей таблице:

Как видите, число 2 – подходит нам. Можно продолжить проверять выведенные раньше числа (предполагаемые корни), а можно обратить внимание на другие числа, полученные в результате нашей проверки. Дело в том, что, если мы поделим уравнение 3x³-4x²-17x+6 на выражение x-2 (снова возвращаемся к теореме Безу), то получим такое выражение:

3x²+10x+3,

чьи коэффициенты соответствуют полученным в таблице числам. Исходя из этого, можно найти делители свободного члена нового выражения (1;-1;3;-3) и проверить их в качестве корней. Ранее мы выяснили, что числа 1 и (-1) не подходят, поэтому нам остаются только 3 и (-3). Проверим 3:

Число подошло, и мы получили выражение 3x-1, которое имеет первую степень, поэтому дальше разложения попросту не будет.

Ответ: 3x³-4x²-17x+6=(x+2)(x-3)(3x-1).

Пример №16. Решим уравнение:

10x⁴-45x=30x²-15x³

Перенесём все слагаемые из правой части в левую с соответствующим знаком:

10x⁴-45x-30x²+15x³=0

Воспользуемся методом группировки: сгруппируем 10x⁴ вместе с 15x³ и 45x вместе с 30x²:

(10x⁴+15x³)-(45x+30x²)=0

Далее вынесем из каждой скобки общий множитель (для 1-ой скобки это 5x³, а для 2-ой – 15x):

5x³(2x+3)-15x(3+2x)=0

Как мы видим, у обоих слагаемых появился общий множитель 2x+3. Поэтому его можно вынести за скобки:

(2x+3)(5x³-15x)=0

Вынесем для удобства из второй скобки x:

x(2x+3)(x²-3)=0

В третий множитель выражения представляет из себя разность квадратов, которую также можно разложить:

x(2x+3)(x- )(x+ )=0

Отсюда корни уравнения равны: 0; -1,5; .

Ответ: ; -1,5; 0.

Линейные неравенства

Пример №17. Решим неравенство первой степени:

3-x4x+1

Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а всё остальное – в правую:

-5x-2

Чтобы избавиться от минуса, домножим обе части неравенства на (-1):

5x2

Далее найдём граничную точку:

x

Ответ: ( ; ].

Пример №18. Решим неравенство:

9x-5(x-2) -7

Для этого раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые:

9x-5x+10+7 0

4x+17 0

Далее нам остаётся только перенести слагаемое 17 в правую часть, чтобы найти нужный интервал:

4x-17

x-4,25

Ответ: (- ; -4,25].

Пример №19. Решим уравнение:

2(0,2x+2)<9+0,5x

Сначала, как и в предыдущем примере, раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

0,4x+4-9-0,5x<0

-0,1x-5<0

Можно для удобства домножить всё выражение на 10:

-x-50<0

-x<50

x>-50

Ответ: (-50; + ).

Квадратные уравнения

Пример №20. Решим неравенство:

x²-15x+56 0

Для решения неравенства применим метод интервалов.

Разложим выражение на множители. Для этого приравняем его к нулю и найдём корни.

x²-15x+56=0

x₁=7 x₂=8

Затем разложим его в соответствии с формулой разложения на множители квадратного трёхчлена:

(x-7)(x-8) 0

Далее начертим числовую прямую и отметим на ней граничные токи. В данном случае, у нас всего 3 интервала: (- ; 7], [7; 8] и [7; + ). Чтобы понять, какой(ие) из них нам подходят надо узнать на каком промежутке, какой знак будет принимать переменная x. Для этого можно воспользоваться правилом:

Если в разложенном на множители выражении переменная стоит на 1-ом месте с положительным коэффициентом (знаком), то крайний правый интервал имеет значение «+».

Если выражение в разложении на множители не имеет чётных показателей степени, то знак в интервалах чередуется.

В соответствии с этим расставляем знаки в интервалах:

+ _ +

7 8

Далее смотрим на знак самого неравенства и выбираем промежутки, соответствующие ему по знаку.

Ответ: (- ; 7]; [8; + ).

Пример №21. Решите неравенство:

(2x-3)²(3x-2)²

Перенесём второе слагаемое из правой части в левую:

(2x-3)² - (3x-2)²0

Разложим выражение по формуле разности квадратов:

(2x-3-3x+2)(2x-3+3x-2) 0

Приведём подобные слагаемые и раскроем скобки:

-5x²+5 0

У обоих слагаемых полученного неравенства есть общий множитель 5. К тому же коэффициент у переменной отрицательный, что нам не совсем удобно. Поэтому разделим выражение на -1:

x²-1 0

Теперь нам нужно разложить выражение на множители. Нетрудно заметить, что на данный момент левая часть неравенства представляет из себя разность квадратов, что помогает нам разложить выражение на 2 множителя:

(x-1)(x+1) 0

Приступаем к методу интервалов. Для этого нам надо приравнять неравенство к нулю и найти корни полученного уравнения:

(x-1)(x+1)=0

x-1=0 или x+1=0

x= 1

Затем чертим числовую прямую и отмечаем на ней корни, нужный интервал:

+ - +

-1 1

Ответ: [-1;1].

Пример №22. Решим уравнение:

(x+11)²< (x+11)

Данное неравенство удобнее всего решить методом замены переменной.

Пусть x+11=t

t²<t

t²-t<0

После проделанных преобразований можно легко разложить полученное выражение на множители:

t(t- )<0

Приравняем выражение к нулю и найдём корни:

t(t- )=0

t=0 или t=

Воспользуемся методом интервалов, чтобы найти нужное решение:

+ - +

0

Получается, что t принадлежит промежутку (0; ). Отсюда находим x с помощью системы неравенств:

Вернёмся к замене:

Снова начертим числовую прямую, чтобы понять, какой интервал является решением неравенства (им будет пересечение решений обоих неравенств системы):

-11 -11+

Ответ: (-11; -11+ ).

Дробно-рациональные неравенства

Пример №23. Решим неравенство:

0.

Далее нам нужно отдельно поработать с числителем и отдельно со знаменателем. Для этого приравняем оба выражения к нулю и решим полученные уравнения:

-12+x=0 (x-1)²-2=0

x=12 (x-1- )(x-1+ )=0

x=1

Затем нам нужно отметить корни на числовой прямой и обозначить знак интервалов и отобрать среди них, нужные нам:

- + - +

1- 1+ 12

Ответ: (1- ; 1+ ); [12;+ ).

Пример №24. Решим уравнение:

+ .

Чтобы решить данное уравнение нам надо привести всё к общему знаменателю. В данном случае, он виден сразу: (x+1)(x-3)²:

0

Далее поработаем с ограничениями, т.е. со знаменателем:

(x+1)(x-3)²0

x-1; 3

Эти точки, когда мы будем чертить числовую прямую, изобразим выколотыми. Для удобства приравняем неравенство к нулю:

0

Отбросим на время знаменатель и перейдём к числителю: раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

x(x-3)+4(x+1)+3x=0

x²-3x+4x+4+3x=0

x²+4x+4=0

Полученное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы и таким образом быстрее получить x:

(x+2)²=0

(точка x=-2 будет невыколотой)

В итоге мы получаем такое неравенство:

Чертим числовую прямую и отмечаем на ней найденные точки, чтобы узнать решение. Не забываем про то, что два множителя находятся во второй степени– это означает, что знаки в интервалах при переходе через корни этих выражений не меняются:

- - + +

-2 -1 3

Также в ответ войдёт точка 2, так как она «закрашена» и подходит по условию – если подставить это число в неравенство, то его значение получится равным нулю.

Ответ: (-1; 3); (3; + ); {-2}.

Пример №25. Решим уравнение:

- >1

Начнём с точек в знаменателе:

x²-x+2 0

D 1-8, <0

Так как дискриминант получился меньше нуля, а коэффициент при x² неотрицательный, то это выражение является положительным

x²-x-6 0

Далее рассмотрим интересную особенность этого неравенства: в каждом слагаемом с переменной и в числителе, и в знаменателе повторяется одно и то же выражение (x²-x). Поэтому нетрудно догадаться, что далее мы будем работать с заменой:

Пусть x²-x=t

- <1

Также надо высчитать точки знаменателя для t: они будут равны -2 и 6. Теперь приводим всё к общему знаменателю и приравняем выражение к нулю:

=0

Отбросим знаменатель и найдём точки числителя:

t(t-6)-(t+6)(t+2)-(t-6)(t+2)=0

t²-6t-t²-8t-12-t²+4t+12=0

-t²-10t=0

t²+10t=0

t(t+10)=0

Мы получили такое неравенство:

<0

Д алее чертим числовую прямую и отмечаем на ней все найденные для t точки:

+ - + - +

-10 -2 0 6

Таким образом, получаем совокупность 2-х систем неравенств:

Или возвращаясь к замене:

Первые два неравенства системы имеют отрицательный дискриминант, причём решением 1-ого является вся числовая прямая, а у 2-ого решения нет (так как у 1-ого парабола находится над осью OX и знак неравенства положительный, а у 2-ого парабола также выше OX, но знак неравенства отрицательный).

Остаётся:

Точки второго неравенства системы совпадают с точками знаменателя изначального неравенства, к тому же, у системы строгий знак, поэтому мы просто отмечаем решение системы на числовой прямой:

-2 0 1 3

Ответ: (-2; 0); (1; 3).

Системы неравенств с одной переменной

Пример №26. Решим систему неравенств:

Перенесём слагаемые без переменных в обоих неравенствах в правую часть, а с переменными – в левую и приведём подобные слагаемые:

Далее домножим второе неравенство на -1 и найдём граничные точки у обоих выражений:

Начертим числовую прямую, на которой укажем решения для обоих неравенств. Тот интервал, в котором будет пересечение – нужный нам интервал.

3 7

Ответ: (3;7).

Пример №28. Решим систему неравенств:

В данной системе два неравенств: одно - дробно-рациональное, другое - линейное. Решим каждое по отдельности и затем на общей числовой прямой найдём ответ.

Рассмотрим первое неравенство:

0

Так как знаменатель является заведомо положительным (выражение 3-x, так как возведено во вторую степень всегда больше нуля, также к нему прибавляется положительное число), то рассмотрим числитель. Обратим внимание на то, что знак останется меньше либо равно нуля:

x-9 0

Отсюда следует, что решением первого неравенства системы будет промежуток: (- ; 9].

Рассмотрим второе неравенство системы:

Оно линейное, поэтому всё, что требуется – это перенести всё в левую часть и привести подобные слагаемые:

-10x-30 0

-10x30

x-3

Таким образом, решением этого уравнения будет интервал (- ; -3].

Чертим числовую прямую, на которой отмечаем решения обоих неравенств и ищем пересечения:

-3 9

Ответ: (- ; -3].

Пример №29. Решим систему неравенств:

Для начала по отдельности решим отдельно каждое неравенство:

Для удобства домножим на общий знаменатель 42:

54x+48-98x-42-42<0

Приведём общие слагаемые:

-44x-36<0

44x>-36

x>

Таким образом, решение данного неравенства принадлежит промежутку ( ; + ).

Домножим неравенство на 2:

6-20x+4>0

-20x>-10 |*(-1)

2x<1

x<0,5

Из 2-х полученных интервалов (( ; + ) и (- ; 0,5)) можно сразу понять, что пересечений у неравенств данной системы нет, а значит, и у самой системы нет решений.

Ответ: нет решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Думаю, я достигла поставленной цели и полностью решила выделенные мною задачи.

Мне удалось:

- пополнить свои знания в области решения уравнений и неравенств;

- научиться нестандартным способам решения уравнений и неравенств;

- подобрать уравнения и неравенства, встречающиеся в ОГЭ и решить их;

- смоделировать структуру сборника по решению уравнений и неравенств;

- собрать уравнения, неравенства и их решения в удобный и практичный сборник.

Практическим результатом данной работы стало создание Пособия по решению уравнений и неравенств для подготовки к ОГЭ.

С точки зрения технической реализации, сборник удобен в использовании, так как имеет чёткую структуру и оглавление, причём к каждой теме подобраны примеры заданий и их решения и уравнения или неравенства для самостоятельного разбора.

В настоящий момент, доработка пособия продолжается, поскольку ОГЭ меняется каждый год, в результате чего, следует добавлять новые виды уравнений и неравенств и их решения.

Перспективы проекта:

Добавить новый материал для ОГЭ будущих лет

Доработать дизайн сборника

Список используемой литературы и интернет-ресурсов

Сборник «Математика. Подготовка к ОГЭ-2020» под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.О. Иванова;

Учебник «Алгебра 9 класс для школ с углублённым изучением математики» под авторством Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка, К.И. Нешкова;

http://oge.fipi.ru/os/xmodules/qprint/qsearch.php?theme_guid=0A2243D019E2A3F84407BD957179EC00&proj_guid=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 – открытый банк заданий ОГЭ на ФИПИ

https://doc.fipi.ru/oge/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2022/ma_9_2022.zip - демоверсия ОГЭ 2022 на ФИПИ

https://oge.sdamgia.ru/prob_catalog - каталог заданий сайта Решу ОГЭ

Отчет о проверке на заимствования №1

Автор: olgamax16@gmail.com / ID: 2663520

Проверяющий: (olgamax16@gmail.com / ID: 2663520)

Отчет предоставлен сервисом «Антиплагиат» - users.antiplagiat.ru

Информация о документе

№ документа: 56

Начало загрузки: 08.03.2022 12:53:45

Длительность загрузки: 00:00:01

Имя исходного файла: 04_11_3850_Акишина Светлана.pdf

Название документа: 04_11_3850_Акишина Светлана

Размер текста: 54 кБ

Cимволов в тексте: 55412

Слов в тексте: 7390

Число предложений: 222

Информация об отчете

Начало проверки: 08.03.2022 12:53:47

Длительность проверки: 00:00:02

Комментарии: не указано

Модули поиска: Интернет Free

Заимствования

1,7%

Самоцитирования

0%

Цитирования

0%

Оригинальность

98,3%