XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Доказательство симметрических неравенств с несколькими переменными методом Мюрхеда
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Во многих заданиях по алгебре, на математических олимпиадах, на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ встречаются задачи, в которых требуется доказать неравенства с несколькими переменными. Разнообразным методам их доказательств, общим теоремам о замечательных неравенствах посвящены многочисленные математические статьи, обзоры, монографии.
В наших исследования по изучению методов доказательств неравенств, наткнулись на метод Мюрхеда. С помощью этого метода можно доказать большое количество неравенств школьной программы.
Цель исследования: Применить метод Мюрхеда в доказательстве неравенств с несколькими переменными на уровне школьной программы.
Задачи исследования:
Изучить материал по доказательству неравенств с несколькими переменными, включая доказательства неравенств методом Мюрхеда.
Изучить метод доказательства неравенств с несколькими переменными, используя диаграммы Юнга.
Для закрепления изученного материала подобрать и доказать неравенства школьной программы.
Гипотеза исследования: Неравенство Мюрхеда и диаграммы Юнга можно использовать на уроках математики и кружковой работы при доказательстве неравенств.
Объект исследования: неравенства с несколькими переменными.
Предмет исследования: Неравенство Мюрхеда, диаграмма Юнга.
Методы исследования: Применение новых знаний вдоказательстве неравенств с несколькими переменными.
Актуальность работы заключается в умении рационально доказывать неравенства с несколькими переменными, использовать математические знания, применять полученный опыт и знания на практике.
Роберт Франклин Мюрхед (1860–1941), шотландский математик, открыл неравенство Мюрхеда.
Роберт Франклин Мюрхед родился в Шоулендсе, Глазго, в январе 1860 года. Он получил раннее образование у частных репетиторов и в деревенской школе в Лохвиннохе. После учебы в Академии Гамильтона и гимназии Пейсли он поступил в Унивенрситет Глазго, получив Степень бакалавра наук (1879 г.) и магистра медицины (1881 г.), получив высшие награды по математике и естественной философии и стипендию Фергюсона. Победа в четыре года Джордж А. Кларк Стипендию из Глазго, Muirhead затем продолжил обучение в колледже Сент-Катарины, Кембриджский университет , где в 1886 году он выиграл Приз Смита за его эссе о законах движения Ньютона после года обучения в Геттингенском университете.
Мейсонский научный колледж ныне Бирмингемский университет.
Также во время своего пребывания в должности стипендии Джорджа А. Кларка Мюрхед проводил занятия в Университете Глазго для проходящих и награждающих мужчин, после чего занимал преподавательские должности, в том числе преподавал математику в Мейсонском научном колледже (который позже стал Бирмингемским) с 1891 по 1893 год, в последнем году он женился и поселился в Глазго, где преподавал математику, физику и инженерию, а также основал учебный колледж Глазго.
Muirhead опубликует много работ по математике в Трудах и Математические заметки в Эдинбурге математического общества и в математической gazette, но в основном известны его работы по неравенствам и как автор неравенство Мюрхеда теории.
Мюрхед был избран членом Эдинбургского математического общества в феврале 1884 года и дважды избирал его президентом (в 1899 и 1909 годах). Он был избран почетным членом общества в 1912 году.
Роберт Франклин Мюрхед умер в Глазго в 1941 году.
Простейшее неравенство Мюрхеда:
Пусть a и b – положительные числа, p и q – целые неотрицательные, p > q+1. Тогда:
apbq + aqbp≥ ap-1bq+1+ aq+1bp-1. Причем равенство достигается при a = b.
Доказывается это утверждение разложением на множители:
apbq + aqbp- ap-1bq+1 - aq+1bp-1 = apbq(ap-q+ bp-q– ap-q-1b – bp-q-1a) = apbq(ap-q-1 -bp-q-1)∙(a – b) = apbq(a – b)2(ap-q-2 + . . . + bp-q-2)
Заметим, что в этом разложении все, кроме (a – b)2, положительно, а (a – b)2 ≥ 0, причем равенство нулю достигается только в случае a = b. Отдельно следует рассмотреть случай p = q + 2, в котором в место последнего сомножителя (ap-q-2 + . . . + bp-q-2) стоит 1. Таким образом мы доказали простейшее неравенство Мюрхеда.
В этой работе рассматривается вопрос о теореме Мюрхеда про неравенства, связывающие симметрические многочлены.
Симметрические многочлены – это суммы всевозможных одночленов с одинаковыми показателями.
Симметризация одночлена.
Т(2;1;0) (x;y;z) = x2y1z0 + x2y0z1 + x1y2z0+ x1y0z2+ x0y2z1+ x0y1z2 = x2y + x2z + xy2+ xz2+ + y2z+ yz2 показатели степеней расставляли всевозможными способами, получили 3! = 6 одночленов.
Т(3;1;1) (x;y;z) = x3y1z1 + y3x1z1 + z3x1y1 + x3z1 y1+ y3z1 x1 + z3y1 x1 = 2(x3yz + y3xz + +z3xy) в этом варианте переставляли местами всевозможными способами переменные одночленов, получили так же 3! = 6 одночленов.
Т(2;2;2) (x;y;z) = 6x2y2z2
Последние два примера показывают, что когда среди показателей есть равные, в многочлене Т можно привести подобные слагаемые и записать его короче. Важным условием показателей, чтобы они располагались в убывающем порядке.
Диаграмма Юнга:
Эти неравенства справедливы при всех неотрицательных значениях, входящих в них букв. Чтобы научиться доказывать всевозможные неравенства такого типа используя общую теорему Мюрхеда, необходимо познакомиться с некоторыми новыми понятиями.
Каждому набору показателей соответствует многочлен, который будет изображать в виде лесенок, высота каждой ступени равна соответствующему показателю. Число ступенек соответствует числу переменных, входящих в данный одночлен. Тем самым получим для каждого многочлена диаграмму Юнга, наши исследования мы провели на пространственных диаграммах, которые выглядят так:
пример
|
3 |
1 |
1 |
Т(3;1;1) (x;y;z) = 2(x3yz + y3xz + z3xy)
пример
4 2 1
Т(4;2;1) (x;y;z) = x4y2z + y4x2z + x4z2y + y4z2x + z4x2y + z4y2х
пример
2 0 0
Т(2;0;0) = 2 (x2+y2+z2)
Мажорирование многочлена
Следующий этап наших исследований мажорирование многочлена. Переход от одного многочлена к другому, сваливанием одного или несколько ступенек (кубиков) – называется мажорированием.
|
3 |
1 |
1 |
сваливаниекубика
2 2 1
Т(3,1,1) = 2(x3yz + y3xz + z3xy)Т(2,2,1) = 2(x2y2z + x2z2y + y2z2x)
Чтобы доказать неравенства сформулируем следующую теорему.
Теорема Мюрхеда: Для всех неотрицательных чисел, если первый многочлен мажорирует другой, то первый многочлен больше или равен второму многочлену.
А теперь с помощью Теоремы Мюрхеда докажем несколько симметрических неравенств.
Рассмотрим симметрические неравенства такого типа:
1. x2 + y2 ≥ 2xy
2. x5+ y5 ≥ x3x2 + y3x2
3. x2 + y2+ z2 ≥ xy + yz + zx
4. x3 + y3 + z3 ≥ 3xyz
5. x2y2 + y2x2 + zx2 ≥ x2yz + y2xz + z2xy
6. x4 + y4 + z4 + w4 ≥ 4xyzw
1)
>
2 0 1 1
x2 + y2 ≥2xy
2)
>
5 0 3 2
x5 + y5 ≥ x3x2 + y3x2
3)
>
2 0 0 1 1 0
x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz
4)
>
3 0 0 1 1 1
х3 + y3 + z3 ≥ 3xyz
5)
>
2 2 0 2 1 1
х2y2+z2x2+y2z2 ≥ x2yz +y2xz+z2xy
6 )
4 0 0 0 1 1 1 1
х4+y4+z4+w4 ≥ 4xyzw
Выводы:
Неравенство Мюрхеда хорошо вписывается в программу школьного курса математики по доказательству простейших симметрических неравенств.
Метод Мюрхеда обосновывает доказательства симметрических неравенств, использующие приемы математических преобразований.
Применение диаграммы Юнга дает наглядное представление способа доказательства симметрических неравенств.
Литература:
Комбинаторная теория Джона Н. Гуиди, основанная на лекциях, прочитанных Джан-Карло Рота в 1998 году, MIT Copy Technology Center, 2002.
Киран Кедлая, A < B ( A меньше B ) , руководство по решению неравенств
Теорема Мюрхеда в PlanetMath .
Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э .; Полиа, Г. (1952), Неравенства, Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-05206-8 , MR 0046395 , Zbl 0047.05302 , раздел 2.18, теорема 45.