XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Примеры решения естественно-научных задач с привлечением аппарата математического анализа
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность:
Математика – наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов.
Математика неразрывно связана с предметами естественно-научного цикла, т.к. с помощью математического анализа можно объяснить большинство законов и явлений природы, передать их логичность.
Благодаря математике можно строить различные модели, производить анализ формулировок установленных фактов, сформулировать язык научных теорий. Ценность математических методов заключается в том, что они позволяют перейти от одной области знаний в другую.
Но стоит учитывать, что математика исследует не саму природу, а лишь математические модели.
Объект исследования: метод математического анализа.
Предмет исследования: задачи из предметов естественно-научного цикла.
Гипотеза: к решению задач естественно-научного цикла можно применить методы математического анализа, изучаемые в курсе средней школы.
Цель работы: Применить методы математического анализа для решения прикладных задач из предметов естественно-научного цикла.
Задачи: Изучить теорию, необходимую для решения естественно-научных задач. Рассмотреть практическое применение методов математического анализа для решения естественно-научных задач.
Методы исследования: Анализ, создание математических моделей, обобщение материала
Явление радиоактивного распада. Применение закона радиоактивного распада. Авария на ЧАЭС
Радиоактивный распад – радиоактивное превращение исходного ядра в новые ядра. Величина, описывающая процесс радиоактивного распада представляет собой вероятность распада в единицу времени. Её обозначают символом λ и называют постоянная распада.
Физический смысл данной величины заключается в том, что она показывает какая доля первоначального количества вещества будет распадаться в среднем за единицу времени.
Произведение постоянной распада (λ ) на первоначальное количество ядер (N0) в момент времени (t0) называется активностью. Активность измеряется в Бк.
Период полураспада T1/2 – промежуток времени, за который распадается половина первоначальное числа атомов.
Закон радиоактивного распада определяет среднее число атомов, распадающихся за определенный промежуток времени. Допустим, что в радиоактивном препарате в произвольный момент времени t0 имелось N0 нераспавшихся радиоактивных атомов. Чем больше общее число радиоактивных атомов N, тем больше число распавшихся: dN ~ N
Из-за самопроизвольного и хаотического распада радиоактивных атомов можно считать, что число распавшихся атомов в интервале от t до
t + dt пропорционально времени dt: dN ~ dt.
Таким образом, dN ~ Ndt или dN = −λNdt
где λ – коэффициент пропорциональности, называемый постоянной радиоактивного распада. Знак минус в правой части означает, что происходит уменьшение числа нераспавшихся атомов.
Разделим правую и левую часть в уравнении на число радиоактивных атомов (N), получим: dN/N = –λdt. Проинтегрируем обе части равенства: ∫dN/N = – λ∫dt
lnN= –λt + C , следовательно N = Сe-λt - общее решение
Найдем частное решение: если t = t0 = 0; N = N0
N0 =С · e-λ·0 =C · 1 = C, N = N0e -λt
Число распавшихся радиоактивных атомов можно определить из закона радиоактивного распада: ΔN = N0 − N = N0[1− ехр(−λt)]
Количество не распавшихся атомов ~ исходному количеству и убывает с течением времени по экспоненциальному закону. (см Приложение. Рис. 1)
Продолжительность существования радионуклида обычно выражается периодом полураспада T. T– строго постоянная величина для каждого радионуклида и, так же как и постоянная распада, характеризует его временную устойчивость.
Период полураспада связан с постоянной распада, получим соотношение, связывающее величину периода полураспада и постоянную распада.
По определению, период полураспада – это время за которое распадается половина всех ядер радиоактивного вещества, следовательно:
N = No/2 - половина от исходного числя ядер за Т, t = T
N0/2 = N0e –λt , тогда ½ = e-λT -> 2 = eλT
ln2 = lneλT -> ln2 = λT -> T = ln2/λ
Из полученного выражения следует физический смысл периода полураспада: какое бы количество определенного радиоактивного препарата не было бы взято, половина его претерпит радиоактивный распад за одно и то же время.
Рассмотрим применение теории радиоактивного распада на примере Чернобыльской АЭС: она имела четыре реактора, каждый из которых мог производить до тысячи мегаватт электроэнергии. 25 апреля 1986 года было запланировано снижение мощности реакторов. Однако именно в это время электростанция общего назначения отключилась без предупреждения. При повторном сборе энергии четвертый реактор в Чернобыле экспоненциально увеличил мощность, что привело к его взрыву, в результате чего взорвалось примерно 50 тонн радиоактивного материала.
37 человек напрямую погибли от взрыва. Тем не менее, трудно определить точные потери в результате чернобыльской аварии, так как многие жертвы произошли в результате радиоактивного загрязнения.
Катастрофа привела к выбросу около 5% радиоактивного материала, который присутствует в атмосфере, что привело к расселению жителей Чернобыля. Радиоактивность может быть обнаружена на всём европейском континенте. Радиоактивность вызвала перемещение почти полумиллиона человек из их домов.
Припять сейчас заброшенный город, который находится примерно в 104 километрах к северу от Киева. Ядерный реактор в настоящее время покрыт большим куполом из бетона и стали, чтобы предотвратить утечку радиации. Несмотря на продолжающуюся радиацию, сегодня туристы могут посетить город-призрак Припять.
Рассчитаем, через какой промежуток времени уровень радиации будет в пределах нормы, и люди смогут вновь без вреда для здоровья жить в близи Припяти.
Для этого воспользуемся формулой активности: A = λN
N = N0exp(-λt) -> A = λ N0exp(-λt) = A0exp(-λt) (1)
Выразим из (1) время: (2)
Материалы взяты из доклада группы «Экология» Чернобыльского форума. «Экологические последствия Чернобыльской АЭС и их преодоление: двадцатилетний опыт». Исходные данные приведены в таблице (см Приложение. Рис 2)
Допустимый среднегодовой объём активности возьмём из Приложения 2 МРБ – 99/2009 (см Приложение. Рис 3)
Произведем расчёты и вычислим допустимую активность за год. Результаты расчётов приведены в таблице (см Приложение. Рис 4)
Годовой объём вдыхаемого воздуха для населения > 17 лет V=8,1*103 м3/год.
Сделаем расчёты, используя формулу (2), через сколько лет можно будет находится без вреда для здоровья в непосредственной близости с ЧАЭС. Результаты приведены в таблице. (см Приложение. Рис 5)
Тогда, исходя из консервативного подхода возьмём максимальное время = 937510,9 лет
Популяция. Математические модели динамики численности
Популяция - совокупность организмов одного вида, длительное время обитающих на одной территории и частично или полностью изолированных от особей других таких же групп.
Численность – это общее число особей в популяции.
Рост численности в геометрической прогрессии называется экспоненциальным ростом. График зависимости численности популяции от времени при экспоненциальным росте представляет собой кривую, которая называется экспонентой. Величина изменения численности за единицу времени называется абсолютной скоростью роста численности.
По мере увеличения плотности популяции рост численности замедляется, так как условия для роста и размножения особей становятся менее благоприятными. Например, животным при высокой плотности популяции может не хватать пищи. Растения начинают затенять друг друга или им не хватает влаги. В пробирке с культурой микробов накапливаются продукты обмена, замедляющие темп деления клеток. По мере ухудшения условий удельная скорость роста снижается, и при некоторой плотности численность популяции перестает расти. Эту предельную плотность, которой может достигать популяция в данных условиях, называют емкостью среды. Емкость среды зависит от наличия ресурсов для данного вида.
Рост численности в геометрической прогрессии можно описать с помощью простых уравнений. Пусть в популяции с исходной численностью N особей за промежуток времени появляется новых особей. Если число вновь появившихся особей прямо пропорционально N и , то имеем уравнение . Разделив обе его части на , получим:
Величина : – абсолютная скорость роста численности, r – биотический потенциал или удельная скорость роста численности.
За малый промежуток времени, изменение численности равно её производной и уравнение можно переписать так:
Решение этого уравнения – функция: (1)
В модели экспоненциального роста удельную рождаемость b и удельную смертность d можно обозначить как
При этом в замкнутой популяции
; r = b – d
Сравним экспоненциальный и логистический графики роста некоторой популяции. Допустим, в начальный момент времени популяция состояла из 1000 особей. Удельная скорость данной популяции (r) = 0,2. Емкость популяции =10000. Составим математические модели, используя формулы:
Результаты вычислений и графики см Приложение. Рис 6
Из графиков видно, что скорость роста в неограниченных условиях представляет собой экспоненциальную кривую, при ограниченных условиях рост численности популяции значительно меньше.
С помощью математического анализа и моделирования можно оценить скорость роста популяции при различных условиях.
Экспоненциальный рост на примере пандемии SARS-CoV-2
Экспонента в математике – это функция ,которая отражает непрерывный рост с коэффициентом. В этой функции «е» – это число Эйлера, которое представляет собой постоянную (~2,72). Говоря иначе, рост любой величины прямо пропорционален ее значению.
Рассмотрим пример экспоненциального роста на примере общего числа заболевших вирусом SARS-CoV-2. (см Приложение. Рис 9)
На графике (см Приложение. Рисунок 10) видно, что в первое время общее число заболевших растет очень медленно или совсем не растет. Как будто мы действительно строим экспоненту.
Далее из графика видно, что скорость распространения вируса пропорциональна числу заражений им. То есть чем больше людей заразились коронавирусом, тем быстрее он охватывает остальное население.
Закономерности наследственности и изменчивости. Статистическая природа генетических закономерностей. Закон Харди-Вайнберга.
Гены – элементарные единицы наследственности. Представляет собой участок молекулы ДНК в хромосоме.
Генотип – совокупность генов данного организма.
Фенотип – совокупность характеристик, присущих индивиду на определённой стадии развития
Популяция – пространственно-временная группа скрещивающихся между собой особей одного вида.
Гибридологический метод – метод, суть которого заключается в скрещивании организмов, отличающихся друг от друга по одному или нескольким признакам, и в детальном анализе потомства. В том случае, когда организмы отличаются друг от друга по одному изучаемому признаку, скрещивание называют моногибридным.
Схема образования зигот при моногибридном наследовании приведена на рисунке. (см Приложение. Рис 7)
Расщепление признаков в потомстве гибридных растений – результат наличия у них двух генов: А и а, ответственных за развитие одного признака. Поэтому при полном доминировании расщепление по фенотипу (3:1) не совпадает с расщеплением по генотипу (1АА:2Аа:1аа).
Рассмотрим анализирующее скрещивание на примере. Пусть особи с генотипами АА и Аа имеют одинаковый фенотип. Тогда при скрещивании с особью, рецессивной по определённому признаку и имеющий генотип аа, получаются следующие результаты. (см Приложение. Рис 8)
Теория вероятностей в генетике.
Вероятность случайного события – А – Р(А) – есть число, заключенное между 0 и 1: 0 ≤ Р(А) ≤ 1
Вероятность случайного события равна отношению числа случаев, благоприятствующих этому событию, и общему числу N всех случаев: Р(А) = M/N.
Если событие возникает как результат двух несовместимых событий А и В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В: Р(С) = Р(А) + Р(В). Несовместными событиями называются такие, совместное наступление которых в одном испытании невозможно.
При описании двух независимых, полностью совместных событий А и В вероятность осуществления какого-либо одного исхода равна произведению вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В)
В популяции, где аллельное разнообразие по конкретному гену отсутствует, все особи имеют идентичный генотип по данному гену, например АА. При двух аллелях существует три генотипа (АА, Аа, аа), при трёх аллелях – шесть генотипов, а далее их количество быстро возрастает по формуле числа сочетаний с повторением элементов:
Частоты генов и генотипов. Для простейшего диаллельного аутосомного локуса возможны три генотипа: АА, Аа, аа, которым в отсутствии доминирования соответствуют три фенотипа. Численность генотипов равна соответственно n1, n2, n3, а их суммарная численность составляет N. Тогда частота генотипа АА: , Аа: , аа: , сумма r1+r2+r2=1, или 100%.
Для описания генетической структуры популяции важно определить частоты аллелей. Поскольку аллель А входит в состав гомозигот и гетерозигот, его частота равна:
В каждом рассматриваемом локусе имеется 2N аллелей, когда речь идёт о популяции диплоидных организмов. Частота аллеля а равна:
Сумма частот двух аллелей p + q = 1. Частоты аллелей можно вычислить из частот генотипов, поскольку , .
Проследим за поведением в популяции двух аллелей А и а, имеющих произвольные частоты p и q. Скрещивание в такой популяции можно записать следующим образом:(pA+qa) ♂ * ♀ (pA+qa).Частоты трёх возможных генотипов, полученных в данном скрещивании, выражаются уравнением: (p+q)2 = p2 + 2pq + q2
Альбенизм общий наследуется как рецессивный аутосомный признак. Заболевание встречается с частотой 1:20000. Вычислите количество гетерозигот в популяции.
p - нормальная пигментация, q – альбинизм, q2 = 1 : 20000
q = 1√20000 = 1/141, p = 1 – q, p = 1 – 1/141 = 140/141
2pq = 2 • 140/141 • 1/141 = 1/70
Частота встречаемости гетерозигот в популяции 1 : 70
С помощью математических знаний и теории наследования генов можно заранее определить вероятность рождения потомства с определённым генотипом, а также можно вычислить количество особей в популяции с заболеванием.
Заключение
В ходе выполнения работы была достигнута её цель – применить методы математического анализа для решения прикладных задач. А также была подтверждена гипотеза. Действительно, при решении естественно-научных задач можно применить знания, полученные на уроках математики, изучаемой в рамках школьной программы.
Я познакомился и углубился в теорию смежных дисциплин, таких как ядерная физика, биология, генетика.
В рамках проекта применил знания теории вероятности, математического анализа, построил математические модели.
Используемая литература
Общая биология: Учебник для 10-11 классов школ с углубленным изучением биологии / А. О. Рувинский, Л.В. Высоцкая, С.М. Глаголев и др.; Под ред. А.О. Рувинского. – М.: Просвещение, 1993.
Нормы радиационной безопасности НРБ-99/2009. Санитарные правила и нормативы СанПиН 2.6.1.2523-09
Физика 11 класс: учебник: углубленный уровень / В.А. Касьянов – 9-е изд., стереотип. – М.: Просвещение, 2021. – 493
https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2013/01/14/proekt-filosofiya-matematiki
https://studopedia.ru/8_131111_zakon-radioaktivnogo-raspada-vivod-zakona.html
http://profbeckman.narod.ru/YadFiz.files/L10.pdf
http://www.chernobyl.info/Portals/0/Docs/ru/pdf_ru/Balonov_UNSCEAR.pdf
https://anews.com/novosti/128196891-jeksponenta-jeto-jeksponenta-prostymi-slovami-jeksponencialynyj-rost.html
Приложение
Рис 1. Изменение числа активных атомов с течением времени
|
Нуклид |
Период полураспада, Т |
Активность выброса (ПБк) 1015 Бк |
Постоянная распада λ |
|
134Cs |
2,06 лет |
47 |
0,34 лет-1 |
|
137Cs |
30,0 лет |
85 |
0,02 лет-1 |
|
90Sr |
29,12 лет |
10 |
0,02 лет-1 |
|
140Ba |
12,7 дней |
240 |
0,05 дней-1 |
|
144Се |
284 дня |
50 |
0,002 дней-1 |
|
239Pu |
24065 лет |
0,013 |
2,9* 10-5 лет-1 |
|
95Zr |
64,0 дня |
84 |
0,01 дней-1 |
Рис 2. Исходные данные при аварии на ЧАЭС
Рис 3. Допустимый среднегодовой объём активности
Рис 4. Результаты вычисление допустимой годовой активности радионуклидов
Рис 5. Результаты вычисления времени распада нуклидов до допустимых норм
Рис 6. Экспоненциальные и логический рост популяции бактерий.
Рис 7. Схема образования зигот при моногибридном наследовании.
Рис 8. Результаты анализирующегоскрещивания.
Рис 9. Число заболевших Рис 10. График роста численности заболевши