Применение квадратичной функции и её графика

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Алдошкина М.Л. 1

---

1МБОУ «Лицей №9 имени К.Э.Циолковского» г.Калуги

Рылова И.Г. 1

---

1МБОУ «Лицей №9 имени К.Э.Циолковского» г.Калуги

Работа в формате PDF

1.5 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

«Устройство нашего мира непостижимо без знания математики».

Роджер Бэкон

Математика, как систематическая наука, появилась только в Древней Греции, её история начинается уже с возникновения таких понятий, как: натуральное число и геометрическая фигура. Они возникли задолго до появления письменности, так как у культур, в которых впервые она появилась (Шумер, Древний Египет), имелась довольно обширная коллекция математических знаний, полученных опытным путём.

В 1692 году Го́тфрид Ви́льгельм Лейбниц впервые использовал термин «функция». Первоначально её понятие было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось несколько определение функции. Наконец, единая формулировка была дана Николаем Ивановичем Лобачевским в 1834 году: «Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дастся для каждого x и вместе с x  постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной …»

Существуют разные виды функциональных зависимостей: линейная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, степенная, квадратичная и многие другие. Квадратичная и квадратная функции изучаются в школе в 7-9 классах.. [1]

Актуальность исследования:

Проблема:

Если по какой-то причине пропущен урок, на котором изучалась квадратичная функция, объяснялись роль каждого коэффициента, входящего в уравнение, задающее квадратичную функцию, появляются трудности при решении задач по нахождению формулы, заданной квадратичной.

Гипотеза исследования – существуют различные способы определения коэффициентов квадратичной функции по графику этой функции.

Цель исследования – найти и изучить множество способов задания функциональной зависимости квадратичной функции по заданному графику, определить некоторые области жизнедеятельности человека, в которых применяется квадратичная функция или ее график.

Данная цель отвечает следующим задачам:

Выяснить роль каждого коэффициента квадратичной функции.

Изучить движение графика квадратичной функции в декартовой системе координат, в зависимости от коэффициента, входящего в формулу функции.

Составить банк задач по восстановлению формул, задающей квадратичную функцию, в зависимости от её графика.

Определить, где применяется квадратичная функция.

Систематизация данных в №9 раздела «Парабола» в зависимости от данных(math.100)

Объект исследования – алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ.

Предмет исследования –квадратичная функция и её график.

Теоретическая значимость исследования: полученные результаты исследования составят полноценное представление о практической значимости квадратичной функции.

Практическая значимость исследования заключается в том, что результаты работы могут быть использованы изучающими квадратичную функцию учениками 7-11 классов.

Квадратичная функция в математике.

Составление формулы задания квадратичной функции по ее графику есть в ЕГЭ №9. Я решила рассмотреть некоторые из них.(см. Таблицу №2)

Таблица 2. Классификация графиков квадратичной функции в зависимости от заданного коэффициента и особых точек.

1 группа: №2, №4

№ 2 На рисунке 1 изображён график функции . Найдите

Рисунок 1

№ 4. На рисунке 2 изображён график функции . Найдите

Рисунок 2

2 группа: №9, №10, №11

№ 9 На рисунке 3 изображён график функции . Найдите

Рисунок 3

№ 10 На рисунке 4 изображён график функции . Найдите

Рисунок 4

№ 11. На рисунке 5 изображён график функции . Найдите

Рисунок 5

3 группа: №15, №18, №19.

№ 15. На рисунке 6 изображён график функции . Найдите

Рисунок 6

№ 18. На рисунке 7 изображён график функции , где a, b и c – целые. Найдите

Рисунок 7

№ 19. На рисунке 8 изображён график функции , где a, b и c – целые. Найдите

Рисунок 8

Квадратичная функция в архитектуре

Гуляя по городу, мы часто видим дугообразные конструкции. Архитекторы используют параболическую форму в проектировании арок, мостов, куполов, потолков. Во-первых, именно такая форма придает эстетичный вид, во-вторых, параболическим конструкциям присуща прочность, потому что сила, создаваемая нагрузкой на мост или арку, не толкает вниз, а распределяется вдоль дуги, то есть эти строения поддерживают сами себя. В куполах всех храмов и церквей используется этот же принцип.

Из истории архитектуры

Архитекту́ра — искусство и наука строить, проектировать здания и сооружения (включая их комплексы), а также сама совокупность зданий и сооружений, создающих пространственную среду для жизни и деятельности человека.

В архитектуре часто встречаются сооружения и конструкции, в основе которых лежит парабола, ветви которой направлены вниз. Эта форма широко распространена не только из-за эстетичного внешнего вида, но и из-за способности выдерживать нагрузки, вызываемые весом самого сооружения и дополнительными факторами (сейсмическая активность в регионе, транспорт и т.д.). Архитекторы используют параболическую форму в проектировании арок, мостов, куполов, потолков. Параболическим конструкциям присуща прочность, потому что сила, создаваемая нагрузкой на мост или арку, не толкает вниз, а распределяется вдоль дуги, то есть эти строения поддерживают сами себя. [5]

Примеры параболы в архитектуре

Арочные мосты

Арочный мост - мост с пролётными строениями, основными несущим конструкциями которых служат арки.

О сновные размеры элементов арочных мостов – высота и ширина балок, толщина плиты, высота и ширина арок, количество арматуры и т.п. (рисунок 9) – окончательно устанавливаются на основании расчета сооружения в соответствии с действующими на сооружение нагрузками и качеством материалов, из которых строится мост. Рисунок 9

В ыбор толщины арки затруднителен вследствие большого разнообразия факторов, влияющих на этот выбор, таких как величина нагрузки, марка бетона и т.д. Примерно можно принимать: , где d – толщина арки, l – расчетный пролет арки.

Также для строения моста необходимо рассчитать максимально возможную нагрузку на конструкцию. Для этого используется формула Журавского. (Рисунок 10)

Рисунок 10

К аменный мост

Каменный мост (Рисунок 11) через Березуйский овраг в Калуге — старейший и крупнейший каменный виадук в России, построенный в 1785 году по проекту архитектора Петра Романовича Никитина. Мост опирается на 15 крупных каменных арок, три центральные арки сделаны в 2 этажа. Более 220 лет Каменный мост служит городу, хотя и не был рассчитан на современные транспортные нагрузки. Здесь проходит оживленная транспортная артерия, с Рисунок 11 моста открывается прекрасный вид.

Арки

Московские ворота

М есто, где сегодня находится Калужской областная филармония, в XVIII веке называлось Ямской слободой, и в 1775 году здесь появилась одна из главных достопримечательностей Калуги дореволюционного периода каменная калужская триумфальная арка «Московские ворота» (Рисунок 12) или «Екатерининские ворота». Парадные въездныеворота около десяти метров высотой были выстроены в античном стиле, украшены четырьмя дорическими колоннами, с обеих сторон находились обновленные обелиски-версты (один из них сохранился). Рисунок 12

Парабола в биологии

Н а первый взгляд ничего не приходит в голову при упоминании квадратичной функции в биологии, но это не так. Параболу можно встретить, глядя на растения (Рисунок 14) [12], животных (Рисунок 13), морские волны (Рисунок 13) [13], радугу (Рисунок 14) [14], горы (Рисунок 15) [16].

Рисунок 13 Рисунок 14

Р исунок 15

Рисунок 16

Парабола в физике

М ожно привести немало примеров применения квадратичной функции в физике, из которых самый известный — уравнение пути равномерно-переменного движения с начальной скоростью.

Множество траекторий полёта в однородном гравитационном поле без сопротивления воздуха какого-либо объекта, например мяча, соответствует параболе (Рисунок 17) [16]

Рисунок 17

С вязь с космическим миром. Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (нейтронной звезды, чёрной дыры или просто планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (Рисунок 18) [18]. Эти тела вследствие своей большой скорости и малой массы не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер). [17]

Рисунок 18

Парабола в геометрии

П араболой называется линия, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением , при условии, что .

Из уравнения вытекает, что для всех точек параболы . Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы. (Рисунок 19) Рисунок 19

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции . Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством .

Фокусом параболы называется точка F с координатами в канонической системе координат. Директрисой параболы называется прямая с уравнением в канонической системе координат. [19]

Заключение

Цель моего проекта достигнута, я нашла и изучила множество способов задания функциональной зависимости квадратичной функции по заданному графику, определила некоторые области жизнедеятельности человека, в которых применяется квадратичная функция или ее график.

Достигла поставленных задач:

Выяснила роль каждого коэффициента квадратичной функции.

Изучила движение графика квадратичной функции в декартовой системе координат, в зависимости от коэффициента, входящего в формулу функции.

Составила банк задач по восстановлению формул, задающей квадратичную функцию, в зависимости от её графика.

Определила, где применяется квадратичная функция.

Систематизировала данные в №9 раздела «Парабола» в зависимости от данных(math.100)

Выдвинутая в проекте гипотеза подтвердилась. Существует несколько различных способов определение квадратичной функции по её графику. Например, в №5(см.Таблицу 1) вершина параболы – узловая точка, с помощью которой можно найти коэффициент a.

Таблица 1.2 Анализ графиков квадратичной функции в зависимости от заданного коэффициента и особых точек.

Таблица 1.2. Анализ графиков квадратичной функции в зависимости от заданного коэффициента и особых точек.

Таким образом, составление формулы квадратичной функции зависит от того, как заданы точки, лежащие на параболе, является ли вершина параболы узловой точкой или пресекает ли ось ординат одна из ветвей.

Бибилография

Электронные источники:

История математики. / Википедия. URL :https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8 (дата обращения: 27.11.2020).

Возникновение математики. / Википедия. URL :https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8 (дата обращения: 27.11.2020).

Функция (математика). / Википедия. URL : https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)(дата обращения: 27.11.2020).

Квадратичная функция одной переменной. / Википедия. URL : https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9 (дата обращения: 27.11.2020)

Архитектура. / Википедия. URL : https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D1%85%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0#%D0%90%D1%80%D1%85%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0_%D0%BA%D0%B0%D0%BA_%D0%B2%D0%B8%D0%B4_%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%83%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0 (дата обращения: 28.11.2020)

Парабола. / Википедия. URL :https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B0 (дата обращения: 28.11.2020)

Параболы в арочных мостах. / Обучёнок. URL :https://obuchonok.ru/node/6541 (дата обращения: 28.11.2020)

Триумфальная арка в Париже – зеркало истории Франции. / Пути-дороги. URL :https://putidorogi-nn.ru/evropa/400-triumfalnaia-arka-v-parizhe (дата обращения: 28.11.2020)

Арка Константина. / Туристер. URL :https://www.tourister.ru/world/europe/italy/city/roma/placeofinterest/3168 (дата обращения: 28.11.2020)

Сиднейский оперный театр. / Belcanto.ru. URL:https://www.belcanto.ru/sydney.html (дата обращения: 28.11.2020)

Гигантский лотос в Китае – шедевр экологического проектирования от австралийских архитекторов. / Строительная компания №1 Стиль. Качество. Надежность. URL:https://skn1.ru/news/gigantskiy-lotos-v-kitae-the-lotus-building/ (дата обращения: 26.01.2021)

Картинки. / Яндекс. URL: https://cloud.prezentacii.org/19/05/146571/images/screen24.jpg (дата обращения: 26.01.2021)

Картинки. / Яндекс https://masyamba.ru/%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%84%D0%B8%D0%BD%D1%8B-%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8/3-%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8-%D0%BF%D1%80%D0%BE-%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2.jpg (дата обращения: 26.01.2021)

Картинки. / Яндекс URL:https://cdn.photosight.ru/sight/2008/01/04/2487092.jpg (дата обращения: 26.01.2021)

Картинки. / Яндекс URL: https://mtdata.ru/u20/photoF80C/20981393775-0/original.jpeg (дата обращения: 26.01.2021)

Картинки. / Google URL: https://static.wixstatic.com/media/64285d_5af50e464b464f65b016efd69ccb1c7f~mv2.jpg/v1/fill/w_1800,h_1159,al_c/64285d_5af50e464b464f65b016efd69ccb1c7f~mv2.jpg (дата обращения: 27.01.2021)

Геометрические и оптические свойства параболы. / Saratov FIO Wiki URL: https://wiki.soiro.ru/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8B (дата обращения: 27.01.2021)

Картинки. / Яндекс URL: https://spaceflight.nasa.gov/gallery/images/skylab/skylab4/hires/s73-37273.jpg (дата обращения: 27.01.2021)

Парабола, её форма, фокус и директриса. / The univerlib URL: https://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/parabola (дата обращения : 27.01.2021)