XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Применение центра масс при решении геометрических задач

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Энхтайван Мишээлт 1

---

1Улан-Баторский филиал РЭУ имени Г.В.Плеханова

Маслакова М.В. 1

---

1Улан-Баторский филиал РЭУ им. Г.В.Плеханова

Работа в формате PDF

0.9 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

«Геометрия является самым могущественным

средством для изощрения наших умственных

способностей и дает нам возможность

правильно мыслить и рассуждать»

Г.Галилей

Геометрия – одна из наиболее древних математических наук. Название науки «геометрия» - древнегреческого происхождения. Оно составлено из двух древнегреческих слов «гео» - Земля и «метрио» - измеряю. Геометрия основана на основе практической деятельности людей. Она непрерывно развивалась и обогащалась новыми идеями, теоремами и методами. Чуть позже геометрия сформировалась как самостоятельная наука. Но и в данное время дать точное, полное и исчерпывающее определение этой науки очень нелегко, так как интересы геометров и направление их исследований менялись в процессе исторического развития науки – геометрии.

Решение многих геометрических задач можно получить, привлекая знания из других областей наук, например, химии, алгебры, физики, географии, биологии и т.д.

В данной работе будет прослежена связь геометрии и физики, а именно барицентрический метод решения геометрических задач. В литературе встречаются и другие определения этого метода: центр масс [3, с.4], геометрия масс [4, с.16], центроид [3, с.4]. Эти «барицентрические решения» используют понятия, заимствованные из одного из раздела физики – механики: масса, материальная точка, центр масс, правило рычага [5, с.145]. Они опираются на наглядные физические рассуждения. Эти рассуждения, во-первых, дают нам решение, и, во-вторых, показывают правильный ход рассуждений. Вместе с тем «барицентрические решения» являются математически совершенно строгими. Понятие о центре тяжести стало одним из важнейших в механике и позволило сравнительно просто решать некоторые геометрические задачи. Ведь встречаются задачи, в которых дано много величин и при этом не сразу удается установить связь между ними и искомой величиной, а также грамотно обосновать ход своих мыслей. Используя данный метод или метод масс, можно существенно ускорить процесс решения задач. Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные геометрические задачи. В тем самым, таким путём удаётся ответить на вопросы о том, пересекаются ли несколько прямых в одной точке, принадлежат ли несколько точек одной прямой, а также находить, в каком отношении делятся отрезки.

Объект: метод геометрии масс

Предмет: геометрические задачи, решаемые с помощью барицентрического метода.

Гипотеза: может ли применение барицентрического метода значительно упростить решение многих геометрических и практических задач.

Цель исследования: познакомиться с теорией способа решения задач методом центра масс (барицентрический метод), исследование эффективности применения барицентрического метода при решении геометрических задач и применение данного метода при определении центра масс сложных геометрических фигур.

В ходе выполнения работы мной были решены следующие задачи:

Ознакомиться с историей открытия метода барицентра.

Рассмотреть основные формулировки, свойства, теоремы, связанные с данным методом.

Выбрать задачи из учебника Л.С.Атанасяна «Геометрия» и сайта «Сдам ГИА» и систематизировать задачи, решаемые с помощью метода геометрии масс.

Научиться самостоятельно решать задачи данным методом и найти барицентр города Улан-Батора.

Ознакомить одноклассников с данным методом при решении геометрических задач.

Мной использовались следующие методы исследования:

теоретические, поисковые, сравнение, анализ.

Моя работа весьма актуальна, так как метод геометрии масс позволяет более рационально решать задачи повышенного уровня сложности с применением нестандартных, не изучаемых в школьном курсе теорем, свойств и формул. Практическая значимость данного метода состоит в том, что благодаря данному методу формируется нестандартное мышление, способствующее пониманию природы происходящих событий.

Основная часть

Теоретические основы метода центра масс

1.1.1 История открытия барицентрического метода (центра масс)

«…Я счёл нужным написать тебе и… изложить особый

метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем…»

Архимед. Послание к Эратосфену

Родоначальником барицентрического метода был древнегреческий великий мыслитель Архимед. Он еще в III в до н. э. обнаружил возможность доказывать некоторые математические факты с помощью барицентрического метода (свойств центра масс). В своем послании к Эратосфену «О механических теоремах» Архимед писал: «…Я счёл нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем». [5, стр.7]. Именно таким способом Архимедом впервые была доказана теорема о пересечении медиан треугольника. «…Архимед использовал понятие о центре тяжести для определения площади параболического сегмента и для вычисления объема шара». [3, с. 9]

Метод Архимеда был развит выдающимися математиками, такими как: древнегреческий геометр Папп, швейцарские геометры Поль Гюйден и Симон Льюилье, итальянский математик Джованни Чева, французский математик Лазарь Карно, Лагранж, Якоби и др. (Приложение 1)

1.1.2 Понятие центра масс (центра тяжести)

Под материальной точкой понимают тело, размерами и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Для наглядности можно себе физически представить материальную точку в виде маленького тяжёлого шарика. Если в точке А помещена масса m, то образующую материальную точку будем обозначать так mA.

Чтобы понять, что такое центр масс, рассмотрим детские качели (рис.1): Понятно, что ребенок, масса тела которого больше, перевешивает. Но стоит ему начать передвигаться ближе к центру, как качели постепенно приходят в равновесие. Насколько ближе он должен переместиться к центру качели ответит метод масс. Рис. 1

Из физики известно, что для любой такой системы найдется точка Z, обладающая одним удивительным свойством: если мы расположим всю систему произвольным образом в пространстве, а затем подвесим её за нитку в точке Z, то вся система останется в равновесии. Эту точку называют центром масс (центр тяжести, барицентр, геометрия масс). Рис. 2

Для решения геометрических задач используются следующие свойства центра масс:

Любая система материальных точек имеет центр масс и притом только один.

Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки, его положение определяется архимедовым правилом рычага (рис. 3) Рис. 3

АО × m₁ = BO × m₂

Если массу каждой точки системы умножить на одно и тоже положительное число k (уменьшить или увеличить в одно и тоже число раз), то центр масс не изменится.

Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение цента масс системы не изменится.

Несмотря на то что данные свойства просты, они должны быть доказаны. Они представляют собой мощный фундамент для решения геометрических задач и отыскания центра масс.

1.1.3 Понятие о центроиде (центр масс) треугольника

Простейший из многоугольников – треугольник играет огромную роль в геометрии. Можно сказать, что вся геометрия привязана к треугольнику (признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников, описанные и вписанные треугольники, свойства равнобедренного треугольника и т.д.). Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства замечательных точек. Одна из замечательных точек треугольника – точка пересечения его медиан. Данная точка в геометрии называется не только «точкой пересечения медиан», но также центром тяжести (центр масс) или центроидом треугольника.

Теорема Архимеда. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, и каждой из них делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство: (её способ доказательства отличается от доказательства, приведенного в учебнике школьного курса геометрии (Приложение 2)).

Пусть АВС – данный треугольник. АА₁, ВВ₁, СС₁ – его медианы (рис. 4).

Рис. 4

Загрузим вершины треугольника АВС равными массами m; в результате получим систему А(m), В(m), С(m), которая имеет единственный барицентр в некоторой точке Z (свойство 1).

По свойству 4 положение центра масс не изменится, если массы материальных точек А и В мы перенесем в их центр масс, т.е., согласно свойству 2, точку С1(2m). Тогда Z окажется центром масс двух точек: C1(2m) и C(m). Значит, т. Z СС₁. Аналогично, Z BB₁; Z AA₁. Таким образом, все три медианы имеют общую точку Z.

Кроме того, по правилу рычага (свойство 2) 2m × ZC₁ = m × ZC, или ZC : ZC₁ = 2 : 1.

Выводы: Рассмотрев теоретический аспект барицентрического метода (метода масс), попробуем его применить при решении геометрических задач и проанализировать: дает ли этот метод преимущество при решении геометрических задач на отношение длин отрезков.

1.2 Практическая часть

1.2.1 Применение барицентрического метода (центр масс) при решении геометрических задач

Задача 1. Пусть дан треугольник АВС. ВМ – медиана, АN делит сторону ВС в отношении 1:2 от вершины В. АN пересекает ВМ в точке О. Найти отношение ВО:ОМ.

1способ (Рис. 5)

Проведем ME параллельно AN.

Рассмотрим ΔANC:

AM = MC (т.к. BМ - медиана); ME║AN.

Следовательно, МЕ – средняя линия ΔANC, NE = EC.

Пусть BN = x. Тогда CN = 2x (АN делит сторону ВС в отношении 1:2). Значит, NE = EC = x. Рис. 5

Рассмотрим ВОN и : ∠МВЕ –общий, ∠ВNO = ∠BEM(АN║МЕ), следовательно, ВОN ( по двум углам). Из подобия треугольников следует: = = =

Значит, BM = 2BO, следовательно, =

Ответ: ВО : ОМ = 1 : 1.

2 способ (Рис. 6)

Загрузим точки A, B, C соответствующими массами.

По определению центра масс для точки М:

AM × m_A = MC × m_C;

AM = MC (т.к. BМ - медиана),

следовательно, m_A = m_C = 1. Рис. 6

По определению центра масс для точки N:

BN × m_B = CN × m_C; т.к. АN делит сторону ВС в отношении 1: 2 , то

= cледовательно, m = 2.

Т.к. m_A = m_C = 1, то m_M = 2; m_B = 2;

Точка О является центром масс системы двух точек В и М, значит по определению центра масс = .

Ответ: ВО : ОМ = 1 : 1.

Задача 2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки K и L так, что AK : KB = 4:7; AL : LC = 3:2. Прямая KL пересекает продолжение стороны ВС в точке М. Найти отношение СМ:BC.

1 способ (Рис.7)

Через точку А проведем прямую ТА║ВС.

Т = ТА ТМ. Обозначим СМ = a.

ALT CLM (по двум углам):

= = =

AT=CM=a. Рис. 7

AKT BKM (по двум углам):

= = =

BM = AT = · a = a.

Тогда BC = BM – CM = a – a = a. Следовательно, СМ : ВС = 8 : 13 .

Ответ: СМ : ВС = 8 : 13 .

способ (Рис.8)

Загрузим точки A, B, C соответствующими массами.

По определению центра масс для точки L: AL × m_A = CL × m_C

m_A = 2; m_C = 3.

По определению центра масс для точки К: Рис.8

AK × m_A = BK × m_B. m_B =

Рассмотрим центр масс двух точек В и М: m_C = m_B + m_M , следовательно m_M = , а значит СМ : ВС= 8 : 13.

Ответ: СМ : ВС = 8 : 13.

Вывод: Проведя анализ решения геометрических задач на соотношения длин отрезков, можно сделать вывод, что барицентрический метод (центр масс) наиболее рациональный и эффективный, что помогает быстро и оптимально решать задачи данного вида. В Приложении 3 представлены самостоятельные решения геометрических задач с помощью геометрии масс.

Определение центра масс геометрических фигур (не треугольников)

Как определить центр масс мы рассмотрели и решили геометрические задачи барицентрическим способом. Но как найти центр масс у любой геометрической фигуры? Для фигур, изучаемых на уроках геометрии, можно сделать следующие выводы:

Треугольник – центр тяжести находится в точке пересечения медиан.

Параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник – центр тяжести лежит на пересечении диагоналей.

Окружность(круг) – центр тяжести лежит в центре окружности(круга).

Экспериментальным путем был найден центр тяжести у трапеции и любого четырехугольника (Приложение 4).

Определение центра масс города Улан-Батора

Вопрос определения центра республик, областей, аймаков, городов не нова. Многие территории поставили памятники, стелы, памятные камни, обозначающие географические центры. Но совпадают ли эти географические центры с центроидом территории? Я озадачилась проблемой не только нахождения центра масс геометрических фигур, изучаемых в школе, но и более сложных фигур, которые можно разбить на геометрические фигуры, центры масс которые мне уже известны. А также определение центра города Улан- Батор. Я в своей работе попыталась найти приблизительные координаты города Улан-Батор. Положительным моментом стало – это довольно-таки ровный ландшафт. В Приложении 5 приведен план по определению центра города Улан-Батор и даны вычисления по его определению.

Вывод: Центром города (барицентр) Улан-Батор является пересечение Энх тайваны оргон чолоо и Олимпийн гудамж. Но в ближайшем будущем центроид города может сместиться, так как в городе быстрыми темпами идет строительство.

Заключение

Изучив источники по этой теме убедилась в тесной связи двух предметов - математики и физики, а также я научился решать геометрические задачи на отношение длин отрезков и обращаю внимание, что данный метод позволяет более быстро решить задачу и более рационально.

В процессе исследования данной проблемы мною усовершенствовались умения и навыки работы с научно-популярной литературой, интернет-источниками.

По результатам исследований, проведённых мною, делаю следующие выводы:

с помощью исследования выяснила, что физических представлений понятия центра масс достаточно для решения целого ряда задач, изучаемых в школьном курсе математики;

определила, что область применения барицентрического метода при решении задач огромна;

исследовала применение барицентрического метода к решению геометрических задач на отношение длин отрезков;

основной результат моей работы – нахождение центра масс сложной планиметрической фигуры.

Анализируя результаты исследования, считаю, что практическая значимость моей работы заключается в следующем:

полученные дополнительные знания по данной теме укрепили мой интерес к математике;

я убедилась в рациональности применения барицентрического метода к решению задач на отношение длин отрезков, а значит цель работы достигнута.

Гипотеза подтвердилась, что данный метод значительно упростит решение

многих геометрических и практических задач.

Работа над темой геометрия масс (центр масс, центроид) мною не закончена, впереди поиск многих интересных задач, быстро решаемых с помощью этого метода.

Список литературы

Атанасян Л.С. Геометрия.7–9классы: учеб. для общеобразоват. организаций/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 3-е изд. – Москва: Просвещение, 2014. -383с.: ил. – ISBN 978-5-09-033352-8.

Готман Э.Г. Задача одна – решения разные: книга для учащихся/ Э.Г.Готман, З.А.Скопец. – Москва: Просвещение, 2000. – 224с. – ISBN:5-09-007470-4.

Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника: учебное пособие/А.Г.Мякишев. – М.: МЦНМО, 2002. – 32с.:ил. - ISBN 5-94057-048-8.

Библиотечка «Квант»: № 61 М.Б.Балк, В.Г.Болтянский. Геометрия масс. – Москва: - 1987. - № 61. – 160с.

Перышкин А.В. Физика. 7кл.: учеб. Для общеобразовательных учреждений/А.В.Перышкин. – 14 изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010. – 196с:ил. – ISBN 978-5-358-08100-0.

Карта города Улан-Батор https://www.google.com/maps/place/%D0%A3%D0%BB%D0%B0%D0%BD-%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80. Дата обращения 24.02.2021

Приложение 1

Р одоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.

В частности, этим способом им была установлена теорема о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др.).

Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи геометрии и алгебры. В частности, таким путем удается ответить на вопросы о том, пересекаются ли несколько прямых в одной точке, принадлежат ли несколько точек одной прямой (или одной плоскости) и т. п. Эффективны барицентрические рассуждения при доказательстве неравенств и решении разнообразных задач.

Нередко приходится слышать, что рассуждения с использованием свойства центров масс не могут дать математически строгих решений геометрических задач (хотя, может быть, и полезны для угадывания правдоподобных ответов к этим задачам). Однако такое мнение глубоко ошибочно. Понятия механики не только служат ценным эвристическим средством; облеченные в строгую математическую форму, они позволяют получать математически безупречные решения задач геометрии и алгебры.

Приложение 2

Задача. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины [1, c.146].

Дано:АВС

АА₁ВВ₁=О

Доказать: АО : ОА₁=2 : 1

ВО : ОВ₁=2 : 1

Доказательство:

А₁В₁ – средняя линия треугольника, А₁В₁ ║ АВ

∠1 = ∠2, как накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и А₁В₁ и секущей АА₁

∠3=∠4, как накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и А₁В₁ и секущей ВВ_1.

и А₁ОВ₁ подобны по двум углам, тогда их стороны пропорциональны

= =

Но АВ = 2А₁В_1, значит следует, что = = = 2.

Таим образом, точка О пересечения медиан АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

С₁В₁ – средняя линия треугольника, С₁В₁ ║ СВ

и С₁ОВ₁ подобны по двум углам, тогда их стороны пропорциональны

= =

Но ВС = 2В₁С_1, значит следует, что = = = 2.

Таким образом, точка О пересечения медиан ВВ₁ и СС₁ делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1 , считая от вершины.

Приложение 3

Задача 1. Дан треугольник ABC (рис.1). BM – медиана, а AN делит сторону BC в отношении 1:2 от вершины B и пересекается с BM в точке O. Найти отношение BO:OM.

Решение: Расположим в вершинах A и C массы, равные 1, а в вершину B – массу, равную 2. Тогда точка M – центр масс для точек A и C, и концентрирует массу, равную 2. Точка N – центр масс отрезка BC, т.к. BN:NC=1:2 (из условия), а mB:mC=2:1.

Предположим, что точка O – центр масс для Рис. 1

отрезка BM. Тогда она является и центром масс для всего треугольника ABC и концентрирует в себе массу 2+2=4. Если O – центр масс треугольника, то здесь же и центр масс отрезка AN. Проверим это. В точке A сконцентрирована масса 1, в точке N – 3, а в точке O – 4.

1+3=4 , следовательно, O – центр масс отрезка AN и всего треугольника. Тогда отношение BO:OM = 2:2 = 1.

Ответ: BO = OM.

Задача 2. Дан треугольник ABC (рис.2). BM – медиана. Отрезок KP точкой K делит AB в отношении 2:1 от точки А, а точкой P делит отрезок BC в отношении 2:1 от вершины В. Отрезки KP и BM пересекаются в точке O. В каком отношении точка О делит отрезок KP?

Решение: Расположим в вершинах А и С массы, равные 2. Рассмотрим отрезок BC. Предположим, что точка Р – центр масс данного отрезка. Определим, какая масса сконцентрирована в точке В.

Пусть она равна х, тогда

= . Рис.2

Получаем, что х = 1, а значит в точке Р масса, равная 3.

Теперь рассмотрим отрезок АВ. Масса в точке А равна 2. Пусть точка К – центр масс данного отрезка, тогда масса, заключенная в точке В равна 4, а в точке К – 6. Значит для всей системы точек в точке В сконцентрирована масса 5.

Допустим, что точка О – центр масс всего треугольника. В точке М сконцентрирована масса 4 (mA = mC = 2, AM = CM, М – центр масс). Значит точка O – центр масс и для отрезка ВМ, а значит в точке О сосредоточена масса 4+5=9. А т.к. точка О принадлежит и отрезку КР, то из предположения о том, что О – центр масс треугольника, получаем, что эта точка – центр масс и для отрезка КР (в точке О сконцентрирована масса, равная сумме масс , расположенных в точках К и Р). А значит, что КО:ОР = 3:6 =1:2.

Ответ: 1:2.

Задача 3.Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12). Пусть точка J – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку J, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.

Решение:

Треугольник ABC подобен треугольнику KBP, значит

= , = . Тогда

КР = .

2-й случай: КР = .

3-й случай: КР = . Рис.3

Задача 4. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD (Рис.4)

а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.

Р ешение. Загрузим точки А, В, С, D четырехугольника АВСD соответствующими массами.

Пусть точки K, L, M и N - середины сторон АВ, ВС, СD, AD четырехугольника АВСD соответственно.

По определению центра масс:

m_A ∙ AK = m_B∙ BK

m_B ∙ BL = m_C∙ CL Рис. 4

Пусть m_A = m_B = m_C = m_D = 1. Т.к. точки K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD, AD, то m_K = m_L = m_M = m_N = 2.

По определению центра масс для точки О:

m_K × KO = m_M × MO; m_N × NO = m_L × LO, следовательно KO = MO; NO = LO, что и требовалось доказать.

Задача 5. В треугольнике АВС точки А₁ и В₁ расположены на сторонах ВС и СА соответственно так, что ВА₁: СА₁ = 1: 1, СВ₁:АВ₁ – 2:1. Прямые АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке Z. Найдите отношения АZ: А₁Z и ВZ: В₁Z.

Решение. Нагрузим вершины треугольника таким образом, чтобы центр масс оказался в точке Z. Используя правило рычага, получаем :

АZ: А₁Z = 2:2 = 1:1; ВZ: В₁Z= 3:1.

Ответ: АZ: А₁Z = 2:2 = 1:1; ВZ: В₁Z= 3:1.

Рис. 5

Задача 6. В треугольнике АВС точки А₁, В₁, С₁ расположены на сторонах ВС, СА и АВ

соответственно так, что ВС₁:АС₁=1:2, ВС₁:СА₁=1:1, СВ₁:АС₁=2:1. Прямые АА₁ и С₁В₁ пересекаются в точке Z. Найдите отношение AZ:A₁Z и С₁Z: B₁Z.

Решение. Поместим в точки В и С единичные массы, а в точку А две точечные массы 0,5 и 2.Используя правило рычага:

AZ:A₁Z= =С₁Z: B₁Z = =2

Ответ: AZ:A₁Z= С₁Z: B₁Z= 2

Рис. 6

Задача 7. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответсвенно точки М и N так, что АМ:МВ=3:1, АN:NC= 2:7. Отрезки ВN и СМ пересекаются в точке О. Найдите длину отрезка ОN, если известно, что длина отрезка ВО=12.

Решение.

ВО: ОN= 9:21

12:ОN = 9:21

ОN=28

Ответ: ОN=28

Рис. 7

З адача 8. На стороне АВ треугольника АВС взята точка М так, что АМ:МВ=4:3, а на отрезке См взята точка О так, что СО:ОМ=7:12. Продолжение отрезка АО пересекает сторону ВС в точке Н. Найти отношение ВН:НС.

Решение.

ВН:НС=12:3=3:1

Ответ: 3.

Рис. 8

Задача 9. В трапеции АВСD длины оснований АD и ВС относятся как 2:1. На стороне АВ выбрана точка К так, что АК:КВ = 2:1, а на стороне CD выбрана точка М так, что DM: МС=4:3. Отрезки АМ и DК пересекаются в точке О. Найти отношение АО:ОМ.

Р ешение.

АВС

K=0,5

=x=3

=y=7

= : 2=

Ответ: Рис.9

Задача 10. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и Н так, что АМ:МС=4:5, ВН:НС=7:3. Отрезки ВМ и АН пересекаются в точке О. Найти длину отрезка АО, если известно, что длина отрезка ОН=10.

Р ешение.

ОН:АО=5:16

10:АО=5:16

АО=10∙16:5=32

Ответ:32

Рис. 10

Приложение 4

Центр тяжести любого треугольника – это точка пересечения его медиан, то для нахождения центра тяжести трапеции, разобьем трапецию с помощью диагонали на два треугольника.

Получим два треугольника:

Один треугольник будем называть желтый, а другой – голубой.

В данных треугольниках центры тяжести лежат на пересечении медиан. В первом (желтом) треугольнике центр тяжести – а, Рис.1

во втором (голубом) треугольнике – b.

Центр тяжести трапеции находится в точке пересечения линии, соединяющей центры тяжести этих треугольников (отрезок ab), и средней линии трапеции, соединяющей ее основания.

На практике я подтвердила нахождение центра тяжести трапеции.

Фото 2 Фото 3

Фото 4

Приложение 5

Я воспользовалась схемой, которая размещена на сайте [6].

Увеличенное изображение города перенесла на миллиметровую бумагу, так как нужно было находить координаты точек

Разбила карту города на геометрические фигуры (треугольники, прямоугольники, трапеции)

По формулам вычислила координаты центра

И практическим путем проверила, что вычисленный центр совпал с центроидом сложной фигуры.

Центр города Улан-Батор находится …

Рис. 1 Рис. 2

Таблица. Координаты центров и площадей геометрических фигур.

Х= = 9, 657≈ 9,7

У= = 7, 0047 ≈ 7

Рис. 3 Рис. 4