XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математические погрешности: отклонение или необходимость?
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Однажды мы с папой обсуждали один советский фильм – «Иван Васильевич меняет профессию». Всем известно, что в основе этого художественного кино лежит фантастическая история, в которой инженер-изобретатель Шурик, создает машину времени, и совершенно случайно та переносит героев картины в XVI век — во времена Ивана Грозного. В результате царь оказывается в Москве (в советское время), а его тёзка — управдом Иван Бунша вместе с вором-рецидивистом Жоржем Милославским — в самых, что ни на есть палатах царя. Мало того, сначала И. Буншу принимают за государя, а впоследствии оба путешественника во времени из Москвы советской оказываются в центре международного скандала. Сюжет фильма, конечно, неправдоподобный, но спор у нас с папой после обсуждения состоялся очень даже реальный. На мой вопрос, почему именно XVI век, и почему именно Иван Грозный - папа пожал плечами и сказал, что такова задумка автора. «Но почему сценарист задумал именно так?» - не унимался я. «Не знаю, может и не задумал вовсе. Может быть и так, что идея была одна, а потом, что-то натолкнуло режиссёра на мысль, снимать по-другому. Или понимает режиссер, что провалится этот вариант и начинает снимать заново, или отклоняться от утвержденного сценария. Разве так не бывает?» - парировал отец. «Бывает». - Согласился я. – «А ту часть работы тогда куда денут, пленку раньше куда списывали, как объясняли?» «Наверное, при абсолютном отказе от съемок фильма – говорили о невозможности продолжать работу, а при небольших отклонениях от сценария и удачных импровизациях на съемочной площадке – говорили как об удачной погрешности» - сказал папа.
Какое-то время мы еще рассуждали, обсуждали и спорили, и вскоре разошлись по своим делам, но тема «удачной погрешности» меня сильно заинтересовала.
Неужели так бывает? И представляете, оказывается – да! И чем больше я узнавал о разного рода погрешностях, тем больше увлекало меня исследование данной темы.
Всем известно, что с самого возникновения человеческой цивилизации и до сегодняшнего дня люди измеряют, сравнивают, пытаются планировать и прогнозировать. Со временем они научились это делать, а еще они научились закладывать допустимые пределы для учета возникновения возможной погрешности. И погрешности тоже принимаются в учет, они планируются, а иногда такие погрешности называют – «возможные риски». Причем такие «возможные риски» возникают в различных сферах деятельности человека, а иногда и по независящим от деятельности человека причин. И, тем не менее, все отклонения от какой-то взятой за образец величины, от эталона – они в цифрах: в сантиметрах, метрах, дюймах, милях, килограммах, процентах, секундах, годах, количестве кратеров – не важно. Важно то, всегда любая погрешность – это цифры. А значит любая погрешность – математическая.
Думаю, что актуальность данной работы очевидна: мы все хотя бы раз в день что-то измеряем, сравниваем, планируем, выясняя в дальнейшем, что не всегда то, что в итоге получается идеально, а окружающие нас люди, обстоятельства, порой не всегда от нас зависящие, а иногда и сама жизнь вносит в складывающуюся ситуацию определенные коррективы. Я, конечно, не фаталист, но в жизни, действительно, всякое бывает. А вот, кстати, и ПОГРЕШНОСТЬ.
Гипотезой же я предлагаю считать отношение к погрешности как с математической, так и с социальной точки зрения. То есть, если погрешности бывают как «плохие», так и «хорошие», то необходимо приложить максимум усилий, производя математические расчеты в той или иной сфере деятельности человека, опираясь на уже данные возможности (например, проведение статического зондирования для последующего строительства здания), с извлечением максимально возможной пользы. А также дальнейшим расчетом возможностей с учетом «положительных» погрешностей, не исключая при этом «отрицательные».
Цель работы кроется в названии. С помощью исследований различных сфер деятельности, путем наблюдения, практических расчетов и применения математических задач выяснить следующее. Математическая погрешность – что это на самом деле? Отклонение это или необходимая часть нашей жизни? От неё необходимо избавляться, или погрешность – это отправная часть для новых возможностей? В своей работе я попытаюсь ответить на данные вопросы. Думаю, это будет интересно.
Итак, исследуя данную тему я поставил перед собой следующие задачи:
Наглядно показать и раскрыть на нескольких изучаемых мной примерах математических погрешностей их влияние на человека и окружающий его мир.
Понять и продемонстрировать природу отдельных грубых погрешностей (более известных как промахи), а также возможности их нейтрализовать, пока не возникли негативные последствия в тех или иных масштабах.
На примере нескольких математических задач попытаться доказать, что математические погрешности окружали, окружают и будут окружать людей.
В качестве методов исследования отдельных математических погрешностей и для ответов на поставленные вопросы я выбрал непосредственное решение задач для нахождения погрешностей и истинных значений величин, поиск полезной информации и возможность опытным путем доказать, что верные математические расчеты, обоснованное планирование и построенное на опять же математических расчетах прогнозирование ситуаций с возможными погрешностями дают возможность для усовершенствования навыков учета погрешностей в различных сферах жизни и деятельности человека. Тем самым, постараться максимально исключить возможные риски возникновения грубых и негативных погрешностей и использование возникновения погрешностей для пути дальнейшего развития.
Предмет исследования в данном случае – это сами математические погрешности в жизни человека.
Объект – это влияние погрешностей на жизнь человека и окружающий его мир, их математическая природа.
Здесь я хотел бы указать еще одно своё наблюдение. Математическая погрешность – это уникальная вещь. Погрешность - это отклонение от нормы. Но, если взять за норму саму погрешность, то предыдущая норма уже будет погрешностью. А при удачной погрешности в первом случае, норма станет неудачной погрешностью.
Вот такая игра слов.
Ну а я приступаю к изложению своих исследований.
Основная часть
Понятие погрешности.
Итак, согласно определению, погрешность – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.
Погрешность служит способом определить точность измерения. Существует несколько типов погрешности:
Абсолютная погрешность – значение отклонения от истинного значение величины, указанное в единицах измерения величины. Например, если истинное значение равно 27, а измеренное – 28, то абсолютная погрешность равна 1. Но истинное значение величины зачастую бывает точно неизвестно. Поэтому вводят понятие предельной погрешности - наименьшую верхнюю границу абсолютных погрешностей.
Абсолютная погрешность не обозначает качество измерения, а лищь характеризует величину и знак. В самом деле, пусть предельная абсолютная погрешность результата измерения 1 сантиметр. Если при этом измерялась длина комнаты, то качество измерения удовлетворительное, если измерялся радиус монеты, то качество неудовлетворительное.
Понятие погрешности характеризует как бы несовершенство измерения. Характеристикой качества измерения является используемое в метро-
логии понятие точности измерений, отражающее, меру близости результатов измерений к истинному значению измеряемой физической величины. Точность и погрешность связаны между собой обратной зависимостью. Иначе говоря, высокой точности измерений соответствует малая погрешность. Поэтому, чтобы иметь возможность сравнить качество измерений, введено понятие относительной погрешности.
Относительная погрешность измеряет отношение абсолютной погрешности и истинного значения. Чаще всего обозначается в процентах. Мерой измерения служит величина, обратная модулю относительной погрешности.
По характеру изменения погрешности делятся на систематические и случайные.
Систематические погрешности – погрешности, которые остаются постоянными или меняются систематически при многократных измерениях. Чаще всего являются составляющими погрешностей, но могут быть отдельными погрешностями. Именно систематические погрешности являются самыми трудно устранимыми в математике по следующим причинам:
Во-первых, величина систематической погрешности постоянно искажает результат в ту или иную сторону. При чём направление отклонения определить заранее очень сложно.
Во-вторых, размер систематической погрешности не может быть уменьшен при многократном измерении одними и теми же методами измерения. Более того, величина такой погрешности не может быть измерена методами математической обработки результатов измерения.
В-третьих, систематическая погрешность может быть как постоянной, так и периодически или монотонно изменяться. Но определить причину изменений и математический закон, по которому происходит это изменение, почти невозможно.
В-четвёртых, на результаты любых измерений влияют несколько факторов, каждый из которых приводит к появлению новых погрешностей в результатах измерения, в том числе и систематических, многие из которых заранее неизвестны. Следовательно, надо искать приёмы исключить влияние этих погрешностей на измерение. Даже то, что та или иная погрешность отсутствует или настолько мала, что ей можно пренебречь, необходимо математически доказать.
Как же решить проблему подобных погрешностей? Во-первых, необходима тщательная подготовка измерения, устранение или учёт всех факторов. Также учесть влияние систематических погрешностей можно установить, измерить и учесть при последующих измерениях, изменяя условия опыта. Во-вторых, необходимо внимательно проверять всех приборов и инструментов, при необходимости внося поправки.
Но полностью устранить систематические погрешности невозможно, их можно только выявить и уменьшить.
Систематические погрешности также можно разделить на три подвида: прогрессирующие, постоянные и периодические.
Постоянные погрешности – погрешности, значение которых не меняется.
Прогрессирующие погрешности – погрешности, которые постоянно меняются со временем. Разделяются на методические, инструментальные и субъективные.
Методические погрешности – систематические погрешности, обусловленные несовершенством метода измерения. Например, при измерении длины комнаты линейкой несовершенство измерений выражено тем, что очень трудно поставить линейку так, чтобы было ровное измерение длины.
Инструментальные погрешности – погрешности, возникающие от несовершенства системы исчисления или каких-то неточностей измерительных приборов. Подобные погрешности являются неустранимыми, так как невозможно изготовить два совершенно одинаковых прибора, сами приборы могут иметь конструктивные особенности, влияющие на результаты измерений (например прибор, измеряющий электрический ток, сам работает на электричестве и может измерять в том числе ток внутри себя), а глаз не может абсолютно точно увидеть, куда показывает стрелка измерительного прибора. Именно такие погрешности являются показателем точности системы исчисления – чем меньше погрешность, тем точнее система. Чтобы рассчитать и учесть такую погрешность, необходимо изучать паспортные данные любого измерительного прибора.
Субъективные погрешности – погрешности, являющиеся составляющими систематических погрешностей. Вызываются ошибками оператора при фиксировании результатов измерения. Проще говоря, данный вид погрешностей вызван человеческим фактором. Данные погрешности можно устранить, используя цифровые приборы и автоматические методы измерения.
Мы разобрались с систематическими погрешностями и их подвидами и составляющими. Но чем случайные погрешности отличаются от системных, какие у них составляющие, можно ли их устранить, и если можно, то как?
Случайные погрешности – погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Их невозможно предсказать и полностью устранить. Случайная погрешность может возникнуть из-за непредвиденных факторов, например, при определении объёма получившегося в результате химического эксперимента вещества происходит толчок, из-за чего результат оказался неточным. Устранить такие погрешности можно путём многократного повторения эксперимента в одинаковых условиях.
Среди случайных погрешностей выделяют грубые, внешние, статические и динамические.
Грубые погрешности – погрешности, значение которых значительно превышает ожидаемое при измерении. Возникают из-за человеческого фактора или нарушения условий эксперимента. При этом такие погрешности появляются настолько редко, что их невозможно оценить с помощью обычных методов измерения. Но даже в такой ситуации есть правила, как надо устранять такие погрешности. Если причина грубой погрешности известна, то её надо исключить. Если нет – то провести анализ всей серии экспериментов, рассчитать вероятность такого отклонения и, если вероятность мала, то отбросить эксперимент, результат которого содержит грубую погрешность. Если подобная погрешность повторяется слишком часто, то измерение надо провести заново. При этом грубые погрешности могут быть полезны: некоторые явления в науке были открыты как погрешности в хорошо знакомых экспериментах, вызванные нарушением их условий.
Статические погрешности – погрешности, возникающие при измерении величины, чьё значение неизменно во времени. Влияние на погрешность могут оказывать даже самые незначительные факторы, в том числе и работа измерительных приборов.
Динамические погрешности – погрешности, возникающие при измерении величин, значение которых изменяется во времени и требуется определить принцип, по которому происходит изменение. Причиной появления данных погрешностей состоит в несоответствии скоростных характеристик прибора и скорости изменения измеряемой величины. При таких погрешностях на результат влияют условия измерений, формируя внешнюю погрешность.
Внешние погрешности – погрешности, связанные с отклонением влияющих величин от нормы. Большинство внешних погрешностей являются системными и определяются дополнительными погрешностями проверяемых систем исчисления.
Системы исчисления неидеальны. Даже знаменитый эталон метра, установленный в Париже, может выдавать неточности по тем или иным причинам. Поэтому среди систем счисления, или СИ, могут быть свои, особенные погрешности, которые также требуют разбора.
Основные погрешности систем исчисления – погрешности, имеющие место при нормальных условиях эксперимента, измерения или эксплуатации.
Дополнительные погрешности систем исчисления – погрешности, возникающие при отклонении условий эксплуатации от нормальных. Подобные погрешности всегда должны быть указаны в нормативных документах.
Вышеописанные погрешности могут выражаться в виде приведённой погрешности.
Приведённая погрешность выражает точность измерений и представляет собой отношение абсолютной погрешности к принятому значению величины, которое является постоянным в диапазоне или его части. Такое значение называют нормирующим и чаще всего за это значение принимают верхний предел измерений.
Но кроме приведённых погрешностей в системе исчисления могут быть и случайные, возникновение которых предсказать невозможно. В таком случае речь заходит о вариации показаний.
Вариация показаний – разность показаний измерительного прибора в одной и той же точке при плавном подходе к этой точке со стороны меньших и больших значений измеряемой величины. Но вариация показаний – не случайная величина. Существует зависимость между входным и выходным сигналом СИ, называемая градуировочной характеристикой. Она может быть представлена графически, аналитически или в виде таблицы и изменяется под воздействием внешних или внутренних величин. Например, если СИ «не успевает следить» за быстрыми изменениями показаний, то градуировочная характеристика должна быть выражена в виде дифференциального уравнения.
Я смог рассмотреть лишь небольшую часть всех существующих погрешностей, так как их существует так много, что на полное их рассмотрение и разбор ушло бы слишком много времени.
Как мы видим, погрешности, обозначенные мною выше, имеют чисто математическое значение. Они обозначаются числами вне зависимости от того, при измерении чего именно появляется погрешность – расстояния между городами, температуры металла в печи или даже времени химической реакции. Везде есть погрешность, и везде она обозначается числами – будь то количество единиц конкретной величины, или процент. Таким образом, мы понимаем, что погрешности – это одно из неотъемлемых явлений в математике.
Математические погрешности, и где они «обитают»?
Только ли человек допускает погрешности?
Погрешности, как явление, встречаются абсолютно везде, даже там, где на первый взгляд нет ничего, что можно было бы измерить или сравнить, а тем более рассчитать или учесть.
Рассмотрим вот такой вариант математической погрешности: лицо человека. Оно несимметрично. Погрешность – скорее всего да. Но погрешность относительно чего? Ведь даже лица самых красивых общепризнанных на мировом уровне людей несимметричны. Так что же это значит? Наверное то, что в данном случае, нам всем, всем людям планеты важна не точность измерений: сколько сантиметров у человека от основания левой брови до кончика его носа и равно ли оно аналогичному расстоянию от основания правой брови до кончика его носа, а красота лица человека в целом, её неповторимость. Мы также восхищаемся не длиной волос в сантиметрах и не количеством их на каждом квадратном миллиметре головы, мы восхищаемся красивой и даже не всегда аккуратной стрижкой или прической, которая при всём вышесказанном просто подходит конкретному человеку.
Так что же нас привлекает? Норма или погрешность?
Рассмотрим еще один пример. Он уникален тем, что благодаря целому ряду математических погрешностей общепринятых норм строительства, некоторых невероятных, я бы даже сказал, промахов и невероятного сопряжения факторов, сегодня у нас есть возможность любоваться не чем иным как Пизанской башней. Да-да. Этот шедевр и одна из наиболее посещаемых достопримечательностей Италии – по своей сути – сплошная недоработка. И именно неверные расчеты глубины фундамента (всего 3 метра) и недостаточный анализ грунта (именно под южной частью здания почва оказалась слишком рыхлой, и после строительства третьего этажа башня накренилась) ждали такой результат. Но попытавшиеся всё исправить строители, стали возводить последующие этажи с более высокими потолками коридоров с той стороны, куда башня заваливалась для компенсации наклона, что привело к искривлению от центральной оси. Но теперь это сооружение - известная всему миру Пизанская башня.
И снова вопрос: нас привлекает отклонение от нормы? Или удивительная погрешность, показавшая возможность того, что даже промах при грамотном расчете и подаче можно обратить в свою пользу.
Тем не менее, есть и такие погрешности, которые необходимо учитывать, стараться прогнозировать и всячески предотвращать, чтобы исключать даже их возможность. Ведь они приводят к катастрофам. И не важно какого масштаба. Так погрешности недопустимы в сфере работы транспорта (авиа, морского или наземного – значения не имеет), энергетики (работа ТЭС, ГЭС, АЭС), и т.д.
В некоторых сферах деятельности погрешности закладываются и регулируются на законодательном уровне. Например, в сфере здравоохранения (Приказ Минздрава РФ от 16.10.1997 N 305 "О нормах отклонений, допустимых при изготовлении лекарственных средств и фасовке промышленной продукции в аптеках").
Но почему существует такое большое количество правил, систем и функций для борьбы с погрешностями и ошибками как со стороны техники, так и со стороны людей? Неужели промахи, даже настолько незначительные, бывают настолько страшными, что их боятся, словно огня?
Люди говорят, что человечество учится на ошибках. И даже совсем мелкие ошибки, особенно если они накапливаются. Так, в России из-за незначительных, но многочисленных ошибок при переводе богослужебных книг, которые были вызваны, в первую очередь, тем, что книги переписывались вручную. Например, при переводе с греческого оригинала той или иной книги возникали ошибки, которые не были замечены сразу. Затем с копии делалась новая копия, и к старым ошибкам могли прибавляться новые. Таким образом, спустя четыреста-пятьсот лет тексты могли противоречить оригиналу, с которого и была сделана первая копия. Но в XVII веке патриарх Никон распорядился исправить ошибки в богослужебных книгах путём
Выявление и исключение промахов.
Насколько важны погрешности в жизни?
Наличие грубой погрешности, или промаха, в серии измерений может сильно исказить значение величины. Поэтому необходимо внимательно изучить результаты измерений, где содержаться резкие отклонения от среднего значения и исключать только в том случае, если обнаружатся основания для исключения, такие как слишком низкая вероятность появления.
Пусть результат измерений ведёт себя как случайная величина X с известной плотностью распределения f(x) и известным центром распределения M(X)=a. При одном единственном измерении мы получили значение xd.
Обозначим через B вероятность того, что результат измерения xd является промахом, а отклонение результата измерения от центра распределения обозначим d=|xd-a|. Из статистического определения вероятности следует, что в γ*100 случаях из 100, результат измерения должен лежать внутри интервала (a ± γ), и лишь в β*100 случаях он окажется вне его.
Поэтому вероятность того, что мы ошибаемся, приняв за промах и
отбросив результат, который отличается от центра на величину δ (или
большую), будет не более чем B.
Вероятность (надёжность) того, что мы не ошибёмся, приняв этот результат за промах – это вероятность противоположного события. Она будет составлять не менее γ = (1 – B).
Обозначим через p вероятность того, что одно отдельное измерение
окажется внутри числового интервала (a ± b). Тогда вероятность βe того,
что хотя бы одно из n измерений выйдет за пределы интервала (a ± b) будет равна Be=1-pn.
Вероятность того, что мы ошибёмся, отбросив подозрительный ре-
зультат xδ как промах, тоже равнаBe. Надёжность проверки на промах при этом будет равна вероятности противоположного события γ = (1– Be).
Если результат измерения Х подчиняется нормальному закону распределения с известным центром а и известным средним квадратическим
отклонением s, то вероятность того, что одно отдельное значение попадает
в интервал (a ± b), можно вычислить по формуле P=P(|x-a|<=d)=2F(d/s)
Но при большом количестве измерений (n>30) в качестве оценки истинного значения а можно использовать выборочное среднее Xb, а вместо s можно взять стандартное отклонение S.
Прежде чем проводить проверку на промах, обычно
задают малое значение вероятности Bкр (при этом выбирают числа 0,05;
0,01). Если вероятность какого-либо события равна или меньше критического значения Bкр, то такое событие считается практически невозможным.
Если при проверке на промах оказывается что Be< Bкр, то отклонение d=|xd-a|, полученное в опыте можно считать практически невозможным,
при условии, что результат измерения подчиняется нормальному закону
распределения с параметрами a и s. Само значение xδ при этом можно считать промахом и отбросить. Вероятность ошибиться при этом составляет не более Bкр. Надёжность такой оценки γ (то есть вероятность не ошибиться, принимая xd за промах) не менее чем (1– Bкр).
Если при проверке оказывается, что Be>Bкр, то отклонение следует
считать результатом случайного разброса.
Достаточно малую вероятность βкр, при которой интересующее нас событие «xd − промах» можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. Она равна вероятности напрасно отбросить проверяемое значение (то есть отбросить, когда оно не является промахом).
Проверка на промах при количестве измерений больше и меньше 30 отличаются. Предлагаю разобрать оба случая.
Если n>30:
По результатам серии из n измерений формируется ряд x1, x2, x3… xn.
По всем измерениям, включая возможный промах вычисляют как среднее, так и стандартное отклонение по формуле
S=√((1/(n-1))*Σ(xi-xb)2)
Для результата, подозреваемого на промах, вычисляют величину его отклонения от выборочного среднего d=max{(x(n)-xb);(xb-x(1))}.
По таблице для интеграла вероятности находят вероятность для каждого отдельного значения xi попасть в числовой интервал (xb±d) по формуле p=2Ф(d/s).
Задают значение надёжности γ (обычно выбирают значение не менее 0,95) и вычисляют уровень значимости (вероятность практически невозможного в условиях эксперимента отклонения, если считать возникающий разброс случайным) Bкр =(1− γ).
Вычисляют вероятность того, что подозреваемое значение не является промахом βe =(1−pn).
Проверяют, выполняется ли условие Be < Bкр. Если оно выполнено, то с надёжностью γ можно утверждать, что проверяемое значение является промахом, и его можно отбросить. Если неравенство не выполняется, то отбрасывать подозрительное значение нельзя. Это − результат случайного разброса.
После исключения промаха, прежде чем продолжить обработку результатов эксперимента, выборочные характеристики xb и s вычисляют заново.
Но к этому способу есть несколько замечаний, которые стоит высказать:
При очень большом количестве измерений наличие одного промаха обычно мало сказывается на окончательном результате обработки.
Если вероятность pблизка к единице, то вместо формулы Be =(1−pn) можно использовать формулу Be≈n(1-p).
Если промахов оказалось несколько, то измерения лучше повторить, предварительно найдя и устранив причину промахов.
Обычно при измерениях величина среднего квадратического отклонения σ случайного результата измерений Х заранее не известна. Его значение приходится оценивать по результатам всей серии измерений. При малом числе измерений n погрешность в определении s становится очень большой (s может сильно отличаться от своей наилучшей оценки S) и приведённый метод проверки на промах (при n>30) не даёт надёжных результатов. Поэтому для выявления промахов при малом числе измерений используют критерии, не связанные с величиной s. Так, например, в российских ГОСТах по метрологии для этой цели рекомендуется использовать критерий Смирнова: если X– нормально распределённая случайная величина, а (X1, X2, ..., Xn) − её выборка объёма n, то тогда и только тогда вспомогательная случайная величина V=(xi-xb)/S=(xi-xb)/S*√(n/(n-1)) подчиняется r-распределению с ν = (n − 2) степенями свободы.
Если n<30:
По результатам серии из n измерений формируется ряд: x1, x2... xn.
По всем измерениям, включая возможный промах вычисляют как среднее, так и стандартное отклонение по формуле
S=√((1/(n-1))* Σ(xi-xb)2).
Для наиболее отклоняющегося результата вычисляют Ve − значение вспомогательной случайной величины V, по формуле
Ve=(x(n)-xb)/S* √(n/(n-1))
Задают значение надёжности γ и по таблице находят соответствующее этой надёжности значение Vmax(γ,n) − максимально возможное значение случайной величины V, возникающее вследствие случайного разброса.
Если выполняется условие V>Vmax(γ,n), то проверяемое на промах значение при уровне надёжности γ несовместимо с исходным предположением о нормальности распределения измеряемой величины X и его можно отбросить. Если V<Vmax(γ,n), то проверяемое на промах значение является следствием случайного разброса и отбрасывать его не следует.
Если наиболее отклоняющееся значение оказалось промахом, то его следует исключить, а для серии из оставшихся (n−1) измерений заново рассчитать xb и s.
Задачи.
Задача №1. Дано квадратное уравнение x2+bx+c=0. Предполагается, что
один из коэффициентов уравнения получен в результате округления. Необходимо провести теоретическую оценку погрешностей корней в зависимости от погрешности коэффициента, вычислить корни уравнения при нескольких различных значениях коэффициента в пределах заданной точности и сравнить полученные результаты.
А следующую задачу мы рассмотрим вместе с решением.
Задача №2. Оценить погрешности измерения тока прибором с пределами измерения ±75 мА, классом точности 0.5, если показание прибора равно 50 мА, а измерение выполнено в нормальных условиях.
Решение: приведённая погрешность является относительной и равна классу точности – 0,5%. Если нулевая отметка находится внутри шкалы СИ, то для электроизмерительных приборов с равномерной или степенной шкалой нормирующее значение равно сумме модулей пределов измерений. Так как нулевая отметка находится внутри шкалы, то нормирующее значение равно 150 мА. Таким образом, предел допускаемой погрешности составляет 0,75 мА, или 1,5%.
Задача №3. При определении массы масла плотностью 0,9 грамма на кубический сантиметр ученик измерил объём масла с использованием мерного цилиндра. Объём составил 18 кубических сантиметров с погрешностью 0,5. Запишите в ответ массу масла в граммах с учётом погрешности измерений через точку с запятой без пробелов.
Решение: Масса масла равна 18*0,9=16,2 грамма, а погрешность равна 0,5*0,9=0,45. Таким образом, масса масла равна 16,2 грамма с погрешностью 16,2 с погрешностью 0,45.
Ответ: 16,2;0,45.
Задача №4. Резистор, сопротивление которого требуется измерить, соединён последовательно с мерой сопротивления. Номинальное значение меры, или R0 – 1 кОм. Образовавшаяся цепь подключена к источнику стабильного тока. Вольтметром, входное значение которого 100 кОм, поочередно измеряют падения напряжения на обоих резисторах. Полученные значения — соответственно для измеряемого сопротивления и сопротивления меры, U=3,5 и U0=0,5 Вольта. Искомое значение вычисляют по формуле R=R0*(U/U0), которая не учитывает конечное значение входного сопротивления вольтметра, из-за чего возникает погрешность d. Рассчитайте значение погрешности.
Решение:
R = 7 кОм;
U = IRиRV/(Rи + RV ); U0=IR0RV/(R0 + RV );
R = Rи(R0+RV)/(Rи+RV);
Rи = RVR/(R0+RV-R);
d = (R–Rи)*100%/Rи=(R/Rи–1)*100 % ;
d = (R0–R)*100%/RV=– 6,0%.
Ответ: погрешность составляет 6 процентов.
Заключение.
Надеюсь, моя работа понравится как школьникам, так и учителям, и заинтересует их, поскольку она содержит как интересные факты, так и задачи, решение которых покажется увлекательным. Кроме того, работа поможет ученикам узнать много нового о погрешностях, о том, как их устранять и об их необычной пользе. Пизанская башня «не даст соврать».
В своей работе я попытался приоткрыть завесу тайны, окутывавшей мир погрешностей, ошибок и промахов. Тем самым, изучив отдельные из них, я постарался наглядно доказать, что при детальном и всестороннем рассмотрении отдельных погрешностей можно получить возможность нового нестандартного витка в той или иной деятельности, а возможно, нового поворота в своей жизни.
Выводы:
Мною были рассмотрены различные виды погрешностей, причины их возникновения, особенности выявления и устранения, а также их влияние как на сам процесс измерения, так и на человеческую жизнь в целом.
При описании промахов я озвучил основной способ математически выявить их и устранить.
Представленные в работе задачи своим охватом различных сфер жизни человека (замеры массы через объём, расчёт инструментальной погрешности при измерениях в электросетях и т.д.) доказывают присутствие математических погрешностей во всех сферах жизни человека, их неотъемлемость и неизбежность.
Цель работы достигнута, а задачи выполнены.
Список использованной литературы.
Основы теории погрешностей: учеб.-метод. пособие для обучающихся по напр. 09.03.03 Прикладная информатика, 11.03.01 Радиотехника, 11.03.02 Инфокоммуникационные технологии и системы связи оч. и заоч. форм обучения / сост. С.В. Рубцова, О.И. Охрименко, О.А. Алейникова. – Шахты: ИСОиП (филиал) ДГТУ в г. Шахты, 2019. – 66 с.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – М. : Юрайт: Высш. Образование, 2009.
Математика. Алгебра и элементарные функции. Учебное пособие. Ч. 1 / Колягин Ю.М., Луканин Г.Л., Яковлев Г.Н.; под ред. Г.Н. Яковлева – М.: Агар, 1999 г. – 426 с.
Фернандо Корбалан. Золотое сечение. Математический язык красота./ пер. с англ. – М. Де Агостини, 2013. – 160 с.
Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. – М. : Юрайт, 2011.
Математическая составляющая / Редакторы-составители Н.Н. Андреев, С.П. Коновалов, Н.М. Панюнин; Художник-оформитель Р.А. Кокшаров. – М.: Фонд «Математические этюды», 2015. – 151 с.: ил.
Приложение №1
Решение задачи №1.
Знаком * отмечен коэффициент, который был получен в результате округления.
|
b*=-39,6; c=-716,85 |
b*=27,4; c=187,65 |
b*=37,4; c=187,65 |
|
b=-30,9; c*=238,7 |
b*=-3,29; c=-2.71 |
b=-3,29; c*=-2,71 |
|
b=-39,6; c*=-716,85 |
b*=27,4; c=187,65 |
b=37,4; c*=187,65 |
|
b*=-30,9; c=238,7 |
b=4,24; c*=2,71 |
b*=4,24; c=2,71 |
|
b=3,29; c*=-2,7 |
b=-30,9; c*=205,4 |
b=5,93; c*=3,42 |
|
b*=3,29; c=-2,7 |
b*=-30,9; c=205,4 |
b*=5,93; c=3,42 |
Приложение №2