XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Загадочная лента
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
В прошлом году мы начали изучать геометрию, в данной математической науке есть такие основные понятия как точка, прямая и плоскость или по-другому можно сказать – поверхность. Интуитивно мы понимаем, что означает «поверхность», это и поверхность стола, и поверхность стен комнаты, и земная поверхность. А может быть в этом понятии что-то загадочное и таинственное? Такой объект как лист Мебиуса показывает, что может. Меня очень заинтересовал этот объект, поэтому я решила узнать как можно больше о его свойствах, особенностях и истории открытия. Я решила изучить литературу по данному вопросу; изготовить лист Мебиуса; провести исследования, ставя опыты, изучая его удивительные свойства. Со своими результатами исследования я планирую выступить перед одноклассниками.
В школьном курсе математики не упоминается о разделе «Топология» и о его объектах. Учащиеся не знают о том, какие задачи рассматривает наука топология, какие объекты она изучает.
Цель работы: исследовать ленту Мебиуса как один из объектов топологии.
Задачи:
Познакомиться с наукой топология.
Познакомиться с историей возникновения ленты Мёбиуса;
Изготовить ленту Мёбиуса и изучить ее свойства опытным путем;
Установить области применения ленты Мебиуса;
Познакомить одноклассников со своими исследованиями.
Объект исследования: лента Мебиуса.
Методы исследования: анализ литературы, сбор и анализ информации, практические эксперименты.
Для своей работы я использовала информацию из математической литературы и ресурсов Интернета.
Глава 1. Мебиус и его открытие
1.1 «Молодой» раздел математики
В современной науке в настоящее время бурно развивается такая ветвь математики как топология. Открытия в данной науке находят все новые и новые применения. В школьном курсе математике этой науке почти не уделяется внимания.
Мы знакомы с такими разделами математики как алгебра, планиметрия, стереометрия. Что же изучает наука «Топология»?
Топология - раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание.
Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, и при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными.
Топология в основном изучает поверхности тел, и она находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку, шланг и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно различны.
Топология – один из новейших разделов математики, а точнее геометрии.
Когда топология ещё только зарождалась (XVIII—XIX века), её называли геометрией размещения (лат. geometria situs) или анализом размещения (лат. analysis situs). Приблизительно с 1925 по 1975 годы — топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике. Общая топология зародилась в конце XIX века — и оформилась в самостоятельную математическую дисциплину в начале XX века.
К объектам топологии относятся лента Мебиуса, бутылка Клейна.
1.2. Историческая справка
Изучив Биографию Августа Фердинанда Мебиуса, мною составлена таблица (Приложение 1).
Как выяснилось, в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории. Лекции для студентов, работа, научные статьи – вот основные занятия Мебиуса. Студенты обожали доброго рассеянного профессора, а он их постоянно удивлял интересными задачками и неожиданными поступками. Он мог назначить лекцию на очень позднее время, чтобы показать студентам звездное небо. Возможно, его имя так и осталось бы в неизвестности, если бы не его изобретение. Свое открытие он сделал благодаря служанке, которая неправильно сшила концы ленты.
Научную работу о своем открытии он отправил Парижскую академию наук в 1858 году. Семь лет Мебиус ждал рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Почти в это же время ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета, предложил ленту в качестве первого примера односторонней поверхности. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году, но лента все-таки носит имя Мебиуса.
1.3. Что такое лента Мебиуса?
Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмем бумажную ленту. Прикладываем ее концы друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы лента была перекручена. Перед склейкой поворачиваем ленту один раз (на 1800). Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть даже особое название - "Лента (лист) Мёбиуса".
Свойства ленты Мебиуса
Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона
Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.
Связность. Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
Неориентированность. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.
Применение изобретения Мебиуса
Фантастика.
Интересные свойства ленты породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов. В одном из них, описывался случай в Нью- Йоркском метро, когда поезд потерялся во времени, отправившийся в путь по дороге, замкнутой в ленту Мебиуса.
Научно-фантастические рассказы предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса отмечаетя в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла».
Искусство.
Лист Мёбиуса был вдохновением для скульптур и для графического искусства. Мауриц Корнелис Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих работ этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, передвигающихся по поверхности ленты Мёбиуса (см. рис. 1, Приложение 2).
В г. Майкоп в Математическом парке стоит скульптура в виде ленты Мебиуса, выполненная из доломита (см. рис. 2, Приложение 2).
В г. Минск есть памятный знак «Лента Мебиуса» (см.рис. 3, Приложение 2).
Техника.
Существовали технические использования ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).
Физика.
Ученые-физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, например, отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, короткий, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой своего двойника!
Изобретения.
В 1923 году известный американский изобретатель Ли де Форест (см. рис. 4, Приложение 2) предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Ему выдали патент № 1442632.
Изобрели магнитофон — и сразу же нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое.
В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свидетельство № 236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива (см. рис. 5, Приложение 2). Ясно, что такая лента служит вдвое больше обычной.
В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. предложил применение фильтра в виде листа Мёбиуса.
Боллид Мёбиуса (см. рис. 6, Приложение 2) выполнен испанским дизайнером Хорхе Марти Видала и сочетает в себе красоту и загадку ленты Мёбиуса. Уникальная форма кузова обеспечивает гоночной машине хорошую аэродинамику.
И это только малая часть примеров использования этой удивительной поверхности.
Глава 2. Эксперименты с «загадочной лентой»
2.1. Опыты
На листе Мёбиуса поставим точку на одной из сторон и будем проводить линию. Мы получили непрерывную линию, она никогда «не переползет» через край. У ленты Мёбиуса линия продолжается по двум сторонам, заканчиваясь в начале (см. рис. 7, Приложение 2).
Будем закрашивать постепенно ленту Мёбиуса, получили полностью окрашенный объект (см. рис. 8, Приложение 2).
Эти два опыта демонстрируют свойства односторонности и непрерывности.
Закрасим непрерывной линией только один край ленты. Закрасим узенькую полоску края ленты. У ленты Мёбиуса – линия края непрерывно закрашена на всем кольце. Значит, лента Мёбиуса имеет один край (см. рис. 9, Приложение 2).
Разрежем ленту Мёбиуса вдоль посередине. Получили одну длинную ленту с двумя перекрутами вдвое длиннее исходной (см. рис. 10, Приложение 2). Это свойство связности.
Возьмем полученную ленту из предыдущего опыта и разрежем вдоль на две части. Получили две ленты, связанные в «узел» (см. рис. 11, Приложение 2).
Разрежем ленту с тремя полуоборотами (на 5400). Получили ленту, завитую в узел трилистника (см. рис. 12, Приложение 2).
2.2. Проведение урока в классе
Изучив биографию Мебиуса, историю открытия его изобретения, свойства ленты и области ее применения, я поняла, что хочу поделиться информацией со своими одноклассниками.
Я провела внеурочное занятие для своих одноклассников, на котором рассказала о биографии Августа Фердинанда Мёбиуса, его вкладе в науку «Топология». Были показаны опыты с лентой. Ребята были удивлены таким математическим «фокусам»(см. рис. 13, Приложение 2).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Удивительное открытие, сделанное Августом Фердинандом Мебиусом, положило начало целой науки – топологии. Данный объект пдо сих пор привлекает к себе внимание ученых, изобретателей, художников и скульпторов. Основная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что данный объект топологии дал толчок новым математическим исследованиям, зарождению нового раздела математики.
При выполнении своей работы я провела ряд экспериментов и описала удивительные свойства ленты Мебиуса, познакомила со своими исследованиями одноклассников; познакомилась с наукой «Топология», ее задачами и объектами; выяснила области применения ленты Мебиуса.
Моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.
Лист Мѐбиуса – желтая страница,
Односторонний сказочный маршрут,
Летит метелью, песенкой, синицей,
Бульварной лентой, склеенный лоскут.
Эх, Мѐбиус, спасибо за науку!
Поверхность одинокой стороны
Подобна закольцованному звуку,
Вибрацией неоновой струны. (Юрий Юркий)
Библиографический список
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Книга для учащихся 5-6 классов. М.: Просвещение, 1998.
Перельман Я.И. Занимательная геометрия. М.: Римис, 2014.
Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Н.Н. Наглядная геометрия. М.: Дрофа, 2012г.
http://www.wikiznanie.ru/wikipedia/index.php/%D0%90%D0%B2%D0%B3%D1%83%D1%81%D1%82-%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D0%B4_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81
https://www.peoples.ru/science/mathematics/mebius/
http://famous-birthdays.ru/data/17_noyabrya/mebius_avgust_ferdinand.html
http://vestnik-nou1.narod.ru/sv_lista_mebiusa.htm
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0
https://www.krugosvet.ru/enc/matematika/topologiya
http://yakov-65.wixsite.com/maths/stihi-lente-mebiusa
Приложение 1
Биография Мебиуса
|
Дата |
Событие |
|
17 ноября 1790 г. |
Родился великий математик Август Фердинанд Мёбиус на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга (Саксония-Анхальт). Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера. |
|
1793 г. |
Умер отец. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу выказал интерес к математике. |
|
1803-1809 гг. |
Обучался в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, Мёбиус изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. Биографы предполагают, что в этом выборе сказалось влияние преподававшего там известного астронома и математика Моллвейде. |
|
1813-1814 гг. |
Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знание по обеим наукам. |
|
1815 г. |
Когда Мёбиус работал над докторской, была сделана попытка призвать его в прусскую армию. С трудом избежав этой угрозы, он успешно получил докторское звание. В это время профессор Моллвейде перешёл на кафедру математики и рекомендовал Мёбиуса на освободившуюся кафедру астрономии в Лейпциге, экстраординарным профессором. |
|
С 1816 г. |
Мёбиус работал сначала астрономом-наблюдателем, затем директором в Плейсенбургской астрономической обсерватории (близ Лейпцига). |
|
1820 г. |
Женитьба Мёбиуса А.Ф. на Доротее Кристиане Юлиане Роте. У них родились три сына - Август Теодор (известный филолог-скандинавист), Пауль Генрих Август (работал школьным учителем, затем - генеральным школьным инспектором герцогства Саксен-Кобург-Гота), Карл Теодор (служащий в министерстве финансов) - и дочь, Эмилия Августа Мёбиус (вышла замуж за астронома Генриха Луи д’Арре). |
|
1825 г. |
Должность ординарного профессора астрономии. К этому времени математические исследования принесли ему известность в научном мире. |
|
1844 г. |
Профессор в университете Йены, в Тюрингии |
|
1848 г. |
Мёбиус становится директором обсерватории. |
|
26 сентября 1868 г. |
Умер в г. Лейбциге |
Приложение 2
|
Рис. 1. Рисунок Эшера |
Рис. 2. Скульптура в г. Майкоп |
|
Рис. 3. Памятник в г. Минск |
Рис. 4. Ли де Форест |
|
Рис. 5. Схема изобретения Губайдуллина |
Рис. 6. Боллид Мёбиуса |
|
Рис. 7. Опыт № 1 |
Рис. 8. Опыт № 2 |
|
Рис. 9. Опыт № 3 |
Рис. 10. Опыт № 4 |
|
Рис. 11. Опыт № 5 |
Рис. 12. Опыт № 6 |
|
рис. 13. Урок в классе |