XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Возможности компьютерной программы «GeoGebra» при подготовке к ОГЭ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Компьютерные технологии завоевывают все больше доверия и симпатии школьников и учителей математики. На уроках технологии в 7 классе мы ознакомились математической программой «GeoGebra». Первоначальные представления о возможностях этой программы, его доступность для любого человека дала мне возможность развивать применение этой программы для изучения школьного курса алгебры на уроках. На уроках алгебры учитель нам показывал построения графиков функции с помощью программы «GeoGebra». Я тоже захотела исследовать возможности этой программы.В интернете по ключевым словам "геогебра онлайн" можно легко найти видеоролик, в котором показаны некоторые возможности данного приложения. Эта программа создана в 2012 году и очень бурно развивается. Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java, а значит работает на большом числе операционных систем. Переведена на 39 языков и в настоящее время активно разрабатывается. Переведена на русский язык в 2013 году.
Пожалуй, у программы нет одного определенного предназначения, это пакет инструментов «на все случаи жизни». При работе с этой программой в результате компьютерного моделирования многие математические понятия и теоремы становятся для учащихся «видимыми» и «осязаемыми».
Интерфейс программы GeoGebra (ГеоГебра) напоминает классную доску, на которой можно рисовать графики, создавать геометрические фигуры и т.п. В окне программы будет наглядно отображены производимые изменения: если я изменю уравнение, кривая перестроится, изменится масштаб или ее положение в пространстве, уравнение, написанное рядом с кривой, автоматически будет скорректировано, согласно новым значениям.
Программу GeoGebra широко используют в мире миллионы пользователей для обучения алгебре и геометрии. Процесс обучения нагляден благодаря визуальной форме использования приложения.
Цель работы – Разработать методику использования систем компьютерной алгебры при решении алгебраических и геометрических задач на уроках математики.
Для решения поставленной цели были сформулированы следующие
задачи:
1. Проанализировать учебно-методическую и научную литературу
по данной теме.
2. Изучить основы работы в системе GeoGebra.
3. Проанализировать методические особенности применения
данной системы в учебном процессе.
4. Выделить методические рекомендации по применению GeoGebra
при изучении математики.
Методы, используемые в работе − анализ учебно-методической
литературы, сравнение, обобщение педагогического опыта по использованию
систем компьютерной алгебры в школе.
Объект исследования: процесс обучения школьников математике с
помощью системы GeoGebra.
Предмет исследования: применение GeoGebra в процессе обучения
решению алгебраических и геометрических задач.
Актуальность работы связана с восстребованностью методики
использования системы компьютерной алгебры GeoGebra на уроках
математики в 8-11 классах.
1.Теоретический раздел
Возможности программы по математике не ограничиваются только построением графиков и вычислений. Но при подготовки к ОГЭ для решения задач повышенной сложности ( задание23 ОГЭ) необходимо знать
- систему компьютерной алгебры (CAS – Computer Algebra System)
- символьные вычисления,
- решение уравнений,
- разложение на множители,
- построение графиков функции, использование ползунков,
- построение графиков функции, содержащий модуль.
Запуск программы
После запуска GeoGebra появляется окно, как показано ниже (Рисунок 1). С помощью чертежных инструментов (моделей), которые выбираются на панели инструментов, вы можете строить чертежи в блокноте, используя мышь. В это же время соответствующие координаты и уравнения отображаются в окне алгебры. Поле ввода текста используется для непосредственного ввода координат, уравнений, команд, функций; они сразу отображаются в блокноте после нажатия клавиши ввод (Enter).
Рисунок 1
1.1 Система компьютерной алгебры (CAS – Computer Algebra System)
Система компьютерной алгебры (CAS) в GeoGebra позволяет производить символьные вычисления. Окно CAS можно открыть, нажав левой кнопкой мыши стрелку в правой части основного окна GeoGebra и выбрав сроку CAS. (Рисунок 2). Это окно содержит клетки со строкой ввода вверху и поле вывода сразу под полем ввода. Строку ввода можно использовать, как и обычную строку ввода внизу основного экрана GeoGebra со следующими различиями:
Рисунок 2.
- знак степени (^)в выражениях,
- знак равенства (=) используется в уравнениях, а знак := для присваивания значений. Это означает, что если ввести в строку ввода a=2, то переменная a будет равна 2.
- умножение должно быть обозначено знаком *. Если в обычной строке ввода внизу основного экрана GeoGebra правильными являются записи a(b+c) и a*(b+c), то в строке ввода CAS правильной является только запись a*(b+c).
Панель инструментов окна CAS
вычислить, десятичная дробь, закрепить ввод, факторизация,
раскрыть скобки, замена, решить, удалить.
Ниже панели инструментов окна CAS находится панель стилей (рисунок 3).
Эта панель содержит следующие кнопки:
кнопка форматирования текста, позволяет изменить стиль и цвет текста: кнопка включает жирный шрифт, работает после нажатия клавиши Enter; кнопка включает курсивный шрифт, работает после нажатия клавиши Enter; кнопка отображает виртуальную клавиатуру.
Решение квадратных уравнений.
Решим квадратное уравнение вида x^2+6x-12=0 в CAS GeoGebra.
1.Запускаем программу , выбираем пункт CAS калькулятор.
2.В строку ввода набираем наше уравнение x^2+6x-12=0 и нажимаем кнопку x= на верхней панели
3. Получили результат.
1.3 Символьные вычисления. Построение графика квадратичной функции, использование ползунков.
Полезной возможностью программы GeoGebra является построение графиков функций, в том числе с параметрами. Рассмотрим примеры и сделаем пояснения.
Окно программы GeoGebra имеет вид (рис. 4):
Рис.4
Оси координат и сетку можно отобразить (или скрыть), если выполнить правый щелчок мыши по полотну и в открывшемся контекстном меню (рис. 2) выбрать пункт Оси или Сетка.
Рис.2
Для построения графика функции с параметром сначала определим параметр с помощью инструмента Ползунок. Выполняем левый щелчок мыши в том месте области построения
программы, в котором хотим расположить ползунок. Появляется окно диалога:
Рис.5
В окне диалога Ползунок (рис. 5) можно изменить имя параметра и диапазон изменения его значений. В нашем примере этого делать не надо, поэтому нажимаем кнопку Ок. Далее в строке ввода
набираем уравнение функции в виде y=3x^2-12x+3a+9 и нажимаем Enter.
Теперь при перемещении ползунка меняется расположение графика функции, т.е. чертеж стал динамическим, а модель интерактивной.
Так же программу GeoGebra можно использовать при решении заданий ОГЭ и ЕГЭ.
1.5 Построение графика квадратичной функции, содержащий модуль.
Рассмотрим решение задания 23 из открытого бланка ОГЭ 2019 года , в среде электронной математики GeoGebra.
1.Запускаем программу GeoGebra, так как нам нужно построить график функции , выбираем Graphing (Рис1.)
Рис 1.
2. В поле ввода набираем нашу функцию y(x)=x^2-3|x|-x и нажимаем Enter.
Получаем график данной функции (рис 2).
Рис.2
3.Создаем ползунок для нашей второй функции y=c .
Далее задаем параметры для нашего ползунка: имя обозначим буквой «с» , так как функция наша y=c, зададим интервал [-10;10], нажмем ok
4.В поле ввода наберем нашу вторую функцию y=c, для которой мы на предыдущем шаге сделали ползунок, нажмем Enter.
Графиком данной функции является прямая .Если мы будем двигать наш ползунок , то прямая будет двигаться по оси OY , меняя свои параметры.
Передвигая ползунок мы видим что график функции y(x)=x^2-3|x|-x и прямая y=c имеют 3 точки пересечения при с=0 и с=-1(рис 5,рис 6)
Рис 5. Рис 6
2. Геометрические задачи в программе GeoGebra.
2.1. Геометрические построения
Точка:
1. Выберем инструмент «Поставить точку».
2. Щелкнем левой кнопкой мыши там, где хотим поставить точку.
Отрезок:
1. В инструменте «Прямая» нажмем на белый треугольник.
2. Из списка выберем «Отрезок».
3. Поставим 2 точки -вершины отрезка.
Луч:
1. В инструменте «Прямая» щелкнем по белый треугольнику.
2. Из списка выберем «Луч».
3. На полотне выберем две точки 2 точки: первая - начало луча, вторая - точка, через которую будет проведён луч.
Прямая:
1. Выберем инструмент «Прямая».
2.Укажем 2 точки, через которые пройдёт прямая.
Перпендикуляр:
1. Выберем инструмент «Перпендикуляр».
2. Выберем прямую, луч или отрезок, к которому хотим провести перпендикуляр.
3. Выберем точку, через которую он пройдёт (точка может лежать на этой прямой/луче/отрезке)
Параллельная прямая к данной прямой:
1. В инструменте «Перпендикуляр» щелкнем по белому треугольнику.
2. Из всплывающего списка выберем «Параллельная прямая».
3. Выберем прямую, луч или отрезок, к которому будет проведена параллельная прямая.
4. Выберем точку, через которую она пройдёт.
Серединный перпендикуляр к отрезку:
1. В инструменте «Перпендикуляр» щелкнем по белому треугольнику.
2. Из всплывшего списка выберем «Серединный перпендикуляр».
3. Выберем отрезок или 2 точки, обозначающие отрезок, через который будет проведён серединный перпендикуляр.
Касательная прямая к окружности:
1. В инструменте «Перпендикуляр» щелкнем по белому треугольнику.
2. В всплывшем списке выберем «Касательная».
3. Выберем окружность, к которой будет проведена касательная.
4. Выберем точку через которую будет проведена касательная. Проводятся две касательные. Если необходима только 1 касательная, то можно скрыть одну из них, щелкнув правой кнопкой мыши по касательной и убрав галочку перед «Показывать объект»
Многоугольник:
1. Выберем инструмент «Многоугольник».
2. Выберем несколько точек, обозначающих вершины, заканчивая первой точкой. Например, треугольник и сразу построим описанную окружность около этого треугольника:
-проведем серединные перпендикуляры к двум сторонам,
-найдем точку пересечения серединных перпендикуляров,
-проведем окружность по центру и точке
Вписанная окружность в треугольник:
-проведем биссектрисы дух углов треугольника
-найдем точки пересечения этих биссектрисс
-проведем перпендикулярную прямую к одной из сторон
-найдем точку пересечения стороны треугольника с этой прямой
-проведем окружность по центру и найденную точку
Правильный многоугольник:
1. В инструменте «Многоугольник» щелкнем по белому треугольнику.
2. Из всплывшего списка выберем «Правильный многоугольник»
3. Выберем или поставим 2 точки.
4. Из всплывшего окна выберем, сколько вершин будет у правильного многоугольника.
Точки пересечения диагоналей многоугольника:
1. Для проведения диагоналей воспользуемся инструментом «Отрезок».
2. После проведения двух (или более) нужных нам диагоналей в инструменте «Точка» нажмем на белый треугольник.
3. Из всплывшего списка выберем «Пересечение».
4. Выберем 2 пересекающиеся диагонали.
Точки по координатам:
1. Нажмем на строку ввода.
2. Напишем название точки и её координаты(например A=(1,1) )
Геометрические задачи ОГЭ 9 класс в GeoGebra
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны катеты: AC=6, BC=8. Найдите медиану CK этого треугольника.
1.Возьмем точки А(0,6), В(8,0), С(0,0)
2. С помощью кнопки многоугольник соединим наши три точки А,В,С. Получим треугольник АВС.
3. С помощью команды середина или центр найдем середину отрезка АВ
4. Далее с помощью кнопки отрезок соединим вершину С и D и получим отрезок СD которая в командной строке обозначается буквой f –длина которой 5 см
Задание .Разбить призму на три пирамиды.
Откроем окна 2d и 3d в окне 2 d построим три точки А(-3;2),В(3;3), С(1;-1)
2.Берем инструмент многоугольник и строим треугольник АВС
3. С помощью кнопки «выдавить призму», строим прямую призму, высоту берем 4.
4. Далее строим отрезки АF,FB,DB, они нам нужны ,чтобы понять как разбить нашу призму.
5.Уберем все лишнее на двух полотнах, оставим только нашу призму.
6. Начинаем выделять наши три пирамиды на которые мы разобьем нашу призму .Каждой пирамиде мы дадим свои разные цвета.
7.Теперь нам необходимо анимировать наше разлетание призмы на 3 пирамиды, для этого мы создадим ползунок, обозначим ее n и зададим некоторые параметры которые показаны на рисунке
8.После того как мы создали ползунок , нам необходимо заставить наши пирамиды двигаться , для этого чы зададим векторы DF,FE,BA
.
9.Далее чтобы заставить наши пирамиды двигаться в строке ввода набираем : Перенести( <Объект>, <Вектор> ) Объект это каждая наша пирамида, а на место вектора мы пишем название каждого вектора и чтоб связать с ползунком, чтобы они двигались пишем вектор *на n-ползунок
10. На левой панели все, кроме наших пирамид и ползунка, делаем невидимыми , после чего анимируем наш ползунок, в итоге получаем что призма разлетается на 3 пирамиды, что и требовалось нам сделать.
Заключение
Программа GeoGebra предназначена для обучения математике. С помощью этой программы можно работать в динамической математической среде, включающей в себя геометрию, алгебру и другие разделы, с широкими функциональными возможностями.
Использование программы GeoGebra на уроках позволяет: - оптимизировать учебный процесс, более рационально используя время на различных этапах урока; внося в него элементы игры, - расширять кругозор учащихся; - способствует развитию познавательной активности учащихся.
Использование программы GeoGebra при подготовке к ОГЭ по математике , позволяет более точно понять , и наглядно увидеть конкретное решение как алгебраических, так и геометрических заданий.
Прогнозируемые эффекты от применения данной технологии: - возможно повышение интереса к изучаемому предмету у слабоуспевающих учащихся; - повышение уровня самооценки; - развитие навыка самоконтроля; - побуждение к открытию и изучению нового в сфере информационных технологий, желанию поделиться с товарищами своими знаниями.
Литература
1.Ю.Г.Игнатьев. Проектная геометрия и методы изображений . Курс лекций. III семестр.-Изд-во НИЛИТМО,2005,Казань-122с
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra
3. http://my-soft-blog.net/397-geogebra.html
4. Геометрия 8кл , дополнительные главы к учебнику(Москва 2002, “ВИТА Пресс”)
5. Геометрия 10-11 кл (Л.С. Атанасян, Москва 2013г. Просвещение)
6. http://www.uchportal.ru/programma-trenazhyor-po-matematike-obyknovennye-drobi
7. http://www.uchportal.ru/kompyuternaya-programma-po-matematike-deliteli-naturalnogo-chisla
8. hhttp://soft.mydiv.net/win/download-GeoGebra.htmlttp://s427.spb.ru/attachments/article/480/matem_spo.pdf