XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2022
Орбитальный манёвр разрывом связи вращающегося отрезка как простейшей космической звёздчатой системы
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение и постановка задачи
Исходными данными служат геометрическая форма и угловая скорость вращения симметричной звёздчатой системы. Геометрическая форма определяется количеством лучей в звезде. В простейшем случае – это вращающийся отрезок, то есть два луча. Но для отрезка решение задачи предложено начать с общего случая, когда разрыв связи происходит не в центре вращения, а в произвольной точке. Это дедуктивный метод изучения системы, от общего к частному. Если такая обобщённая система будет изучена, то потом достаточно предположить, что разрыв стержня происходит в центре, чтобы перейти к симметричной звёздчатой системе.
Таким образом, объектом исследования являются симметричные звёздчатые конструкции, а также несимметричный разрыв вращающегося отрезка как двухлучевой звезды.
Предмет исследования – величины скоростей, которые получают две новые части разорвавшейся вращающейся орбитальной системы. Эти скорости необходимы для орбитальных переходов. В этой работе орбитальные переходы не изучаются, но постоянно упоминаются с первичными оценками новых орбит. Такое упоминание необходимо для достижения конечной цели исследования, связанной с орбитальным маневрированием вращающейся космической системы. Формулы для расчёта параметров новой орбиты, после получения телом импульса, взяты из баллистической литературы и книг по небесной механике, а также из предыдущих авторских работ [1,2,3,4,5].
Основным методом исследования является теоретический материал о вращении абсолютно твёрдого тела. Задача о несимметричном разрыве вращающегося отрезка решена в системе центра масс КА с помощью эпюры скоростей и понятия мгновенного центра вращения. Результат решения проверен на предмет выполнения законов сохранения энергии, импульса, момента импульса и массы. Законы сохранения необходимы в качестве основного метода исследования других вращающихся звёздчатых систем, с большим количеством лучей: тремя, четырьмя, и так далее.
Задача о несимметричном разрыве вращающегося стержня
При решении этой задачи будут приводиться ссылки на схему, представленную на рис.1. На этой схеме показаны три состояния вращающегося стержня: до разрыва на две части в произвольной точке, в момент разрыва, после разрыва.
Рис.1. Схема несимметричного разрыва вращающегося стержня
На схеме введены следующие обозначения и пояснения.
Состояние 1. До разрыва стержня.
Однородный стержень длиной вращается вокруг центра масс, расположенного в геометрической середине С стержня АB, то есть AC=BC. Угловая скорость вращения равна . На схеме предполагается вращение стержня против часовой стрелки, поэтому скорости и концов А и В отрезка направлены соответственно вниз и вверх. Величины этих скоростей одинаковы, определяются формулой связи угловой и линейной скорости . На верхнем рисунке концы векторов скоростей и соединены прямолинейным отрезком, который определяет эпюру распределения линейных скоростей при вращении абсолютно твёрдого тела. Этот отрезок пересекает стержень АB в точке C, то есть в центре вращения. По определению центра вращения скорость точки C равна нулю, то есть .
Разрыв стержня AB предполагается в произвольной точке , которая отстоит от правого конца B стержня AB на заданное расстояние . Предполагается, что это расстояние можно выбирать произвольно от нуля до длины стержня включительно, то есть . Двойное обозначение этой точки выбрано потому, что после разрыва стержня АB точка будет принадлежать правой части , а точка будет принадлежать левой части системы. После разрыва это два новых стержня и . Правый стержень на схеме закрашен чёрным цветом, а левый стержень оставлен в виде прежнего контура. Линейная скорость совпадающих точек до разрыва определяется формулой , так как расстояние от них до центра C вращения равно .
Состояние 2. Момент разрыва стержня.
Момент разрыва стержня AB важен для определения положения центров масс двух новых стержней, левого и правого . Эти центры масс обозначены соответственно и . Левый стержень имеет длину , - его середина, поэтому . Правый стержень по условию задачи имеет длину , - его середина, поэтому . Левый стержень имеет остаточную длину , - его середина, поэтому . Наклон к горизонтали эпюры распределения линейных скоростей не изменился. Значит, угловые скорости вращения двух образовавшихся после разрыва стержней, левого и правого , остались прежними, равными . Но теперь каждый из стержней и вращается вокруг своего центра масс и соответственно. Значит, у этих точек не должно быть линейных скоростей. На самом деле скорости у этих точек и есть, они соответственно равны и , потому что до разрыва стержня AB они отстояли от начального центра C вращения соответственно на расстояния и . Полученное противоречие, одновременное наличие и отсутствие линейных скоростей у точек новых центров масс и объясняется изменением типа движения объектов. Ели до разрыва стержень AB совершал вращательное движение, естественно, в системе центра масс орбитального КА, то после разрыва два новых стержня и совершают поступательно-вращательное движение. При этом начальные вращательные скорости и после разрыва стали поступательными скоростями движения центров масс двух стержней, то есть и .
Состояние 3. Движение двух стержней после разрыва исходного стержня.
Задача свелась к разделению поступательного и вращательного движений двух новых стержней и . Геометрический смысл такого разделения поступательного и вращательного движений сводится к смещению эпюр линейных скоростей до пересечения в серединах отрезков, что соответствует только вращательным движениям. Но к этим вращательным движениям добавляются поступательные движения центров масс с указанными скоростями.
Эпюру линейных скоростей стержня (правого, закрашенного) надо сместить вниз на величину скорости . Это означает, что правый стержень совершает одновременно два движения. Во-первых, его центр масс движется поступательно со скоростью . Во-вторых, стержень вращается вокруг центра масс с угловой скоростью , не изменившейся по сравнению с исходным стержнем AB. Линейные скорости, только от вращения, концевых точек и стержня одинаковые по величине, они равны .
Эпюру линейных скоростей стержня (левого, не закрашенного) надо сместить вверх на величину скорости . Это означает, что левый стержень совершает одновременно два движения. Во-первых, его центр масс движется поступательно со скоростью . Во-вторых, стержень вращается вокруг центра масс с угловой скоростью , не изменившейся по сравнению с исходным стержнем AB. Линейные скорости, только от вращения, концевых точек и стержня одинаковые по величине, они равны .
Задача определения характеристик движения двух новых стержней после разрыва исходного одного стержня решена полностью.
Проверка закона сохранения энергии
Начальное состояние стержня AB характеризуется только энергией вращения. Пусть масса исходного стержня равна . Тогда его момент инерции относительно центральной перпендикулярной оси равен .
Начальная энергия системы, до разрыва стержня AB, определяется формулой .
Конечную энергию системы, после разрыва стержня AB, определяют четыре вида движения.
Во-первых, энергия поступательного движения центра масс стержня (левого, не закрашенного). Этот стержень имеет массу , пропорциональную оставшейся длине , то есть . Скорость центра масс стержня определена ранее, она равна . Значит, энергия поступательного движения центра масс стержня определяется формулой .
Во-вторых, энергия вращательного движения стержня (левого, не закрашенного) вокруг его центра масс . Момент инерции стержня относительно центральной перпендикулярной оси определяется формулой . Энергия вращательного движения стержня вокруг его центра масс определяется формулой
.
В-третьих, энергия поступательного движения центра масс стержня (правого, закрашенного). Этот стержень имеет массу , пропорциональную оторвавшейся длине , то есть . Скорость центра масс стержня определена ранее, она равна . Значит, энергия поступательного движения центра масс стержня определяется формулой
.
В-четвёртых, энергия вращательного движения стержня (правого, закрашенного) вокруг его центра масс . Момент инерции стержня относительно центральной перпендикулярной оси определяется формулой . Энергия вращательного движения стержня вокруг его центра масс определяется формулой
.
Для определения полной энергии системы из двух стержней надо суммировать четыре вида энергии. Но сначала есть смысл определить полную механическую энергию каждого из двух стержней, совершающих поступательно-вращательное движение.
Полная механическая энергия стержня (левого, не закрашенного) определяется суммой двух слагаемых
.
Полная механическая энергия стержня (правого, закрашенного) определяется суммой двух слагаемых
.
Полная механическая энергия системы из двух стержней определяется суммой значений двух полных механических энергий каждого из стержней по формуле
.
Получилось, что полная механическая энергия стержня AB до разрыва равна сумме полных механических энергий стержней и после разрыва, то есть . Закон сохранения энергии выполнен.
Проверка закона сохранения импульса
Начальное состояние стержня AB с массой , до его разрыва на два стержня, характеризуется нулевым импульсом в системе координат, связанной с центром масс стержня AB.
После разрыва стержня AB векторы импульсов стержней и направлены в противоположные стороны, то есть . Следовательно, достаточно доказать, что величины импульсов стержней и равны, то есть .
Определяем величину импульса стержня по формуле
.
Определяем величину импульса стержня по формуле
.
Величины импульсов стержней и равны
.
Векторы импульсов стержней и направлены в противоположные стороны, то есть .
Следовательно, векторная сумма импульсов стержней и равна нулю, то есть .
Получилось, что нулевой вектор стержня AB до разрыва, как полный импульс замкнутой системы, не изменился, потому что векторная сумма импульсов стержней и осталась равной нулю, то есть . Значит . Закон сохранения импульса выполнен.
Проверка закона сохранения момента импульса
Начальное состояние стержня AB длиной d с моментом инерции и массой , вращающегося с угловой скоростью , до его разрыва на два стержня, характеризуется моментом импульса, соответствующим вращению против часовой стрелки и величиной в системе координат, связанной с центром масс стержня AB. Определяем эту величину: .
После разрыва стержня AB векторы моментов импульсов стержней и не изменили направлений, оба стержня вращаются против часовой стрелки, сонаправлены, то есть . Следовательно, достаточно доказать, что суммы величины и моментов импульсов стержней и равны величине момента импульса исходного стержня AB, то есть .
Определяем величину момента импульса только от вращения стержня по формуле (знак плюс означает вращение против часовой стрелки)
.
Определяем величину момента импульса только от вращения стержня по формуле (знак плюс означает вращение против часовой стрелки) .
Так как движение поступательно-вращательное, то после разрыва стержня надо добавить величины моментов импульсов центров масс двух стержней относительно любого полюса. Так как момент импульса не зависит от выбора полюса, то этим полюсом удобно выбрать центр масс левого стержня. Тогда момент импульса левого стержня относительно полюса будет нулевым, так как нет плеча момента импульса. Остаётся вычислить момент относительно полюса от поступательного движения центра масс правого стержня.
.
Суммируем полученные три значения моментов импульсов:
.
Получилось, что момент импульса стержня AB до разрыва, как полный момент импульса замкнутой системы, не изменился, потому что векторная сумма моментов импульсов стержней и осталась такой же, то есть . Закон сохранения момента импульса выполнен.
Проверка закона сохранения массы системы
До разрыва масса исходного стержня AB равна .
После разрыва есть два стержня:
масса стержня равна ;
масса стержня равна .
Суммируем массы двух стержней и , образовавшихся после разрыва стержня AB, получаем массу исходного стержня:
.
Получилось, что масса стержня AB до разрыва, как полная масса замкнутой системы, не изменилась, осталась такой же, как суммарная масса двух образовавшихся после разрыва стержней и то есть, . Закон сохранения массы выполнен.
Выполнение законов сохранения энергии, импульса, момента импульса и массы доказало правильность теоретических рассуждений.
Частный случай - двухлучевая звёздчатая система
Система будет симметричной, если разрыв однородного стержня происходит посередине. Это простейшая звёздчатая вращающаяся космическая система, состоящая из двух одинаковых лучей. Для расчёта параметров движения такой системы достаточно предположить, что . Тогда после разрыва исходного стержня получатся два одинаковых стержня с одинаковыми по величине, но противоположными по направлению, скоростями центров масс . Для примера, выполним расчёт первого импульса и переходной эллиптической орбиты в манёвре Гомана с помощью такой вращающейся системы. Разрыв стержня надо выполнить, когда направление скорости центра масс одного стержня совпадает с направлением движения КА по начальной круговой орбите, а направление скорости центра масс второго стержня противоположно движению КА. Типичной тормозной скоростью для возвращения КА на Землю с орбиты высотой 200 км является величина 100 м/с. КА предполагается беспилотным, поэтому при длине d=400 м вращающегося стержня или троса при угловой скорости вращения рад/с заданное значение скоростей центров масс двух половин м/с будет достигнуто.
В этом варианте вращающейся системы один стержень перейдёт на безопасную орбиту снижения в атмосфере Земли, а орбита другого стержня станет эллиптической, апогей возрастёт с 200 км до 550 км. Но второй импульс для завершения манёвра Гомана нужен 99 м/с. Вообще говоря, такой импульс у вращающегося стержня, вдвое меньшей длины, есть. Но он есть только у конечной точки, так как диаметр стал 200 м, радиус равен 100 м, угловая скорость сохранилась 1 рад/с, линейная скорость конца нового стержня 100 м/с. Это означает, что завершить манёвр Гомана может крошечная часть исходной системы. Этот вариант перехода Гомана показан слева на рис.2.
Рис.2. Два примера перехода Гомана разрывом вращающегося стержня
Второй вариант более интересен. Если обеспечить линейную скорость вращения новых центров масс 2790 м/с, то после разрыва стержня, одна часть сгорит в атмосфере, а другая перейдёт на эллиптическую орбиту с апогеем 72000 км. У второй части тоже можно провести разрыв в середине стержня, получив импульс вдвое меньше, то есть 1395 м/с. Но для завершения манёвра Гомана нужен меньший импульс, 1368 м/с. Получилось, что 25% массы исходного стержня можно перевести на высокую круговую орбиту. Но для этого угловая скорость вращения должна быть приблизительно в 30 раз больше, то есть 30 рад/с, или размер тросовой или стержневой системы больше в 30 раз. Это вполне реально при современном уровне развития техники.
Выводы
1. Доказана возможность орбитального манёвра Гомана разрывом вращающегося троса или стержня за счёт энергии вращения системы.
2. Отдельного исследования требуют несимметричные вращающиеся линейные системы, с несимметричным разрывом связи, не посередине.
3. Полученные данные стали основой для продолжения изучения вращающихся звёздчатых космических систем с большим количеством лучей, как симметричных, так и несимметричных
Список использованных источников и литературы
1. Екимовская А.А. 10 класс. Механика космических тросовых вращающихся систем. Секция: Физика. X Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся. – Москва: Российская академия естествознания (РАЕ), август, 2019 г. Электронный ресурс: https://files.school-science.ru/pdf/10/5f3d29c48c57f.pdf
2. Екимовская А.А. 9-й класс, МАОУ «Центр образования №32» города Череповца Вологодской области. Применение табличного редактора Microsoft Excel для решения задачи о космической тросовой вращающейся системе / Научно-методическое издание: Материалы XXXI конференции «Современные информационные технологии в образовании». Ред. Группа: Алексеев М.Ю. и др. – Фонд новых технологий в образовании «БАЙТИК», ИТО-Троицк-Москва, 2-3 июля 2020. – 572 с. – ISBN 978-5-89513-468-9. – С.507-511.- Эл. Ресурс: https://lk-ito.bytic.ru/uploads/files/materials.pdf
3. Екимовская А.А. Применение вращающихся тросовых космических систем для орбитального перехода Гомана / Ред. Группа: Алексеев М.Ю., Алексеева О.С., Калабухова Д.А., Киревнина Е.И. Научно-методическое издание. Материалы IV Всероссийской конференции «Умный мир руками детей» (Электронное издание), Троицк-Москва, 29-30 июня 2021 г. – 224 с. – Ил. – С.84-90. – ISBN 978-5-89513-495-5 – Электронный ресурс: https://2021-ito-deti.bytic.ru/ ; Сборник: https://lk-ito-deti.bytic.ru/uploads/files/Materials2021-childs.pdf?643417726
4. Екимовская А.А. Орбитальный переход Гомана посредством вращающихся тросовых систем / Ш51 VI Музруковские чтения: Материалы Международной научно-практической конференции , 25-29 сентября 2021 г. – ГБПОУ СПТ им. Б.Г.Музрукова, отв. За вып. И.В.Столяров: Саров, Интерконтакт, 2021. – 422 с. – ISBN 978-5-6045873-1-7. – С.41-46. – Секция 2: Техника и инженерные науки. Электронный ресурс (Сборник): https://sptsarov.ru/attachments/article/1283/%D0%A1%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%9C%D0%A7_2021.pdf
5. Екимовская А.А. 11 класс. Способ межорбитального маневрирования космического аппарата. Заявка на патент на изобретение RU № 2021126157, приоритет от 06.09.2021 г.
Приложение.
Результаты проверки статьи в системе «Антиплагиат» Text.ru с показателем уникальности более 84%