XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке. Летняя площадка 2022

Введение

В этом учебном году я решила написать исследовательскую работу по геометрии, хотела систематизировать свои знания. Геометрия один из самых сложных предметов в школьном курсе. Просматривая просторы интернета, я увидела тему «Теорема Вариньона». О ней я раньше не слышала. Мне захотелось узнать, кто такой Вариньон и ознакомиться с теоремой. Поэтому тема моей исследовательской работы «Теорема Вариньона».

Объект исследования: предмет «Геометрия».

Предмет исследования: теорема Вариньона.

Гипотеза: доказательство теоремы Вариньона и утверждений, вытекающих из этой теоремы, поможет мне в некоторой систематизации моих теоретических знаний в области геометрии.

Цель исследования: изучение и доказательство теоремы Вариньона, а также утверждений, которые из нее следуют.

Задачи исследования:

Повторить и обобщить известные мне ранее сведения по геометрии;

Изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона, теорему Вариньона;

Доказать некоторые утверждения, вытекающие из теоремы Вариньона.

Методы исследования: изучение литературы, сбор информации о

теореме Вариньона, выполнение чертежей в ходе доказательства, осмысление собранной информации.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Биография Пьера Вариньона

Пьер Вариньон  — французский математик и механик. Обучался в иезуитском колледже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Член Парижской Академии наук (1688), Лондонского королевского общества (1714).

Впервые Вариньон познакомился с математикой, прочитав Евклида, а затем Декарта La Géométrie. Он стал профессором математики в Collège Mazarin в Париже в 1688 году и был избран в Королевскую академию наук в том же году. В 1704 году он занимал кафедру в Коллеже Мазарини, а также стал профессором математики в Королевском колледже. Он был избран в Берлинскую академию в 1713 году и в Королевское общество в 1718 году. Многие из его работ были опубликованы в Париже в 1725 году, через три года после его смерти. Его лекции в Мазарини были опубликованы в Elements de mathematique в 1731 году.

Вариньон был другом Ньютона, Лейбница и семьи Бернулли. Основные вклады Вариньона были в графическую статику и механику. За исключением l'Hôpital, Вариньон был самым ранним и самым сильным французским защитником исчисления бесконечно малых и выявил ошибки в его критике Мишелем Роллем. Он признал важность теста на сходимость ряда, но аналитические трудности помешали его успеху. Тем не менее, он упростил доказательства многих положений механики, адаптировал исчисление Лейбница к инерционной механике Ньютона Principia и рассмотрел механику с точки зрения состава сил в Projet d'une nouvelle mécanique в 1687 году. Другой работой Вариньона была публикация 1699 года, посвященная применению дифференциального исчисления к потокам жидкости и водяным часам. В 1690 году он создал механическое объяснение гравитации. В 1702 году он применил исчисление к часам с пружинным приводом. В 1704 году он изобрел U-образную трубку манометр, устройство, способное измерять разрежение в газах.

1.2 Теорема Вариньона

Теорема Вариньона — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Теорема Вариньона.  Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.¹

Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

Следствия

Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.

Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.

Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.

1.3 Утверждения, необходимые для доказательства теоремы Вариньона

Для доказательства теоремы Вариньона необходимо повторить некоторый теоретический материал.

Определение. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Противоположные углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Определение. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через 2 соседние вершины.

Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Глава 2. Практическая часть

2.1 Доказательство теоремы Вариньона

Теорема Вариньона. Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.²

Доказательство теоремы.

Дано: ABCD-четырехугольник M- середина AB N- середина BC K- середина CD P-середина AD Доказать: 1) MNPK-параллелограмм 2) MN//AC, PK//AC, MP//BD, NK//BD

Доказательство:

Проведем диагональ AC

Рассмотрим ▲ABC.

MN- средняя линия ▲ ABC ⇒ MN= AC, MN//AC

3) Рассмотрим ▲ACD. PK- средняя линия ACD ⇒ PK= AC, PK//AC

4) MN//AC (по доказанному), PK//AC (по доказанному) ⇒ MN//PK

MN= AC, PK= AC⇒ MN=PK

MN//PK (по доказанному)

MN=PK (по доказанному) ⇒ по 2 признаку параллелограмма четырехугольник MNPK- параллелограмм.

Также есть и другая формулировка теоремы Вариньона.

Теорема Вариньона. Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.³

Дано: ABCD-четырехугольник K - середина AB L - середина BC M - середина CD N - середина AD Доказать: SKLMN= SABCD

Доказательство

1)Рассмотрим ▲KBL и ▲ABC.

B- общий.

По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

= = =

S_KBL= S_ABC

S_NMD = S_ACD

S_AKN = S_ABD

S_LCM = S_BCD

S_KLMN = S_ABCD- S_KBL- S_NMD-S_AKN- S_LCM = S_ABCD- ( S_ABC+S_ACD+S_ABD+S_BCD) =

= S_ABCD- ( S_ABCD+S_ABCD) = S_ABCD- S_ABCD = S_ABCD

Мы решили рассмотреть теорему Вариньона для всех видов выпуклых четырехугольников.

2.2 Некоторые утверждения, вытекающие из теоремы Вариньона

1 случай.

Для прямоугольника параллелограммом Вариньона является ромб.

Если ABCD - прямоугольник, то MNKL – ромб.

Дано: ABCD- прямоугольник M, N, K, L- середины сторон AB, BC, CD, AD Доказать: MNKL – ромб.

Доказательство

1) Теорема Вариньона для произвольного четырехугольника доказана отсюда следует, что MNKL – параллелограмм.

2) Из ▲ ABC (по теореме о средней линии треугольника) MN = AC.

3) Из ▲ ABD (по теореме о средней линии треугольника) ML =BD.

4) В прямоугольнике диагонали равны, AC = BD. Отсюда следует, что

MN = ML = NK = LK.

Следовательно, ABCD – ромб.

2 случай

Для квадрата параллелограммом Вариньона является квадрат.

Если ABCD - квадрат, то MNKL – квадрат.

Дано: ABCD – квадрат M, N, K, L – середины сторон AB, BC, CD, AD Доказать: MNKL – квадрат.

Доказательство

Из теоремы Вариньона для произвольного четырехугольника следует, что MNKL – параллелограмм.

Из ▲ ABC (по теореме о средней линии треугольника) MN = AC.

Из ▲ ABD (по теореме о средней линии треугольника) ML = BD.

У квадрата диагонали равны и взаимно перпендикулярны.

AC = BD, AC BD.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

MN AC, AC BD MN BD

Значит, MN⊥ ML, MN = ML. Итак, MNKL – квадрат.

3 случай

Для ромба параллелограммом Вариньона является прямоугольник.

Если ABCD – ромб, то MNKL – прямоугольник.

Дано: ABCD – ромб M, N, K, L – середины сторон AB, BC, CD, AD Доказать: MNKL – прямоугольник

Доказательство

По теореме Вариньона для произвольного четырехугольника MNKL – параллелограмм.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, т.е. AC BD.

Так как ML BD, а AC BD следует, что ML AC.

Так как LK BD, а ML AC ML LK.

Итак, в параллелограмме MNKL ML LK. Значит, MNKL – прямоугольник.

4 случай

Для равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб.

Если ABCD – трапеция, то MNKL – ромб.

а) Рассмотрим случай, когда ABCD – равнобедренная трапеция.

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция AB = CD M, N, K, L – середины сторон AB, BC, CD, AD Доказать: MNKL – ромб

Доказательство

1)По выше указанной теореме, нам известно, что четырехугольник MNKL является параллелограммом.

2)В равнобедренной трапеции диагонали равны. AC = BD (это следует из равенства треугольников ABD и DCA. AB = CD (по условию)). AD – общая, BAD = CDA.

3) т.к AC = BD отсюда следует, что MN – средняя линия ▲ ABC, MN = AC.

4) NK – средняя линия ▲ BCD, NK = BD.

5) Получаем: MN = NK

Параллелограмм MNKL является ромбом.

Случай 5

Для прямоугольной трапеции параллелограммом Вариньона является параллелограмм.

б) Рассмотрим случай, когда ABCD – прямоугольная трапеция.

Дано: ABCD – трапеция A =B = 90◦ Доказать: MNKL – параллелограмм

Доказательство

1) MN- средняя линия ▲ ABC ⇒ MN= AC, поэтому MN // AC, MN= AC

2) LK – средняя линия ▲ACD, поэтому LK // AC, LK = AC

3) т.к MN // AC, LK // AC, тогда MN // LK.

4) Итак, MN // LK, MN = LK, четырехугольник MNKL является параллелограммом.

Мы установили следующие факты:

Для прямоугольника параллелограммом Вариньона является ромб.

Для квадрата параллелограммом Вариньона является квадрат.

Для ромба параллелограммом Вариньона является прямоугольник.

Для равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб.

Для прямоугольной трапеции параллелограммом Вариньона является параллелограмм.

Заключение

Я осознанно выбрала тему по геометрии, так как хотела хотя бы немного систематизировать свои знания. В этой работе приведены две формулировки теоремы Вариньона, их доказательства. Мы рассмотрели утверждения, вытекающие из этой теоремы, провели их доказательства. Для этого, мы повторили теоретический материал по геометрии. Теперь я имею представление о вариньоновом параллелограмме, узнала, что был такой ученый, Пьер Вариньон, который внес значительный вклад в развитие математики.

Мы установили следующие факты:

Для прямоугольника параллелограммом Вариньона является ромб.

Для квадрата параллелограммом Вариньона является квадрат.

Для ромба параллелограммом Вариньона является прямоугольник.

Для равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб.

Для прямоугольной трапеции параллелограммом Вариньона является параллелограмм.

В ходе проделанной работы мы выполнили поставленные перед нами задачи исследования.

Цель достигнута. Наша гипотеза подтвердилась. Мы считаем, что доказательство теоремы Вариньона и утверждений, вытекающих из этой теоремы, способствовали некоторой систематизации моих теоретических знаний в области геометрии.

Список источников и литературы

https://skysmart.ru/articles/mathematic/svoystva-i-priznaki-parallelogramma время доступа 21.02.22

https://star-wiki.ru/wiki/Pierre_Varignon время доступа 05.03.2022

https://eee-science.ru/item-work/2018-330 время доступа 20.02.22

https://ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер время доступа 20.02.22

1 https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Вариньона_(геометрия)

2 https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Вариньона_(геометрия)

3 https://urok.1sept.ru/articles/644122