XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2022
Фокусы в математике
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Мы все привыкли, что основными инструментами фокусника являются карты, шарики, бумага, разнообразные животные и даже люди. Но однажды я узнал, что инструментом фокусника могут быть простые числа! Такие фокусы называются математическими.
Математические фокусы – это эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур и чисел, и лишь обличенные в экстравагантную форму. И понять суть того или иного эксперимента – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность.
Способность человека отгадывать задуманные другими числа кажется удивительной для непосвященных. Но если мы узнаем секреты фокусов, то сможем не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы. А понятен секрет фокуса становится тогда, когда мы записываем предложенные действия в виде математического выражения, где выполнены действия, получаем секрет отгадывания чисел.
В своей работе я хочу доказать, что математические фокусы помогают развивать память, сообразительность, способность мыслить логически, совершенствовать навыки устного счета и, наконец, просто повышают заинтересованность учеников в математике, что должно улучшить качество их знаний.
Тема работы «Фокусы в математике».
Объект исследования: математические фокусы.
Предмет исследования: математические закономерности как секрет любого математического фокуса.
Цель работы: разобраться в чудесах некоторых математических фокусов и убедиться, что за каждым математическим фокусом стоят строгие математические правила.
Задачи:
• изучить литературу по данной теме;
• узнать секрет некоторых математических фокусов и установить закономерность с математикой;
• выбрать более интересные фокусы и научиться их показывать.
Гипотеза исследования: математика может удивлять, зачаровывать, восхищать!?
Ожидаемый результат: представление копилки математических фокусов.
Глава 1. Теоретическая часть
1 .1 Что такое фокус?
Фокус - искусный трюк, основанный на обмане зрения, внимания при помощи ловкого и быстрого приема, движения.1
Иллюзионное искусство привлекает зрителей своей фантастичностью происходящего на сцене. Зритель сам может убедиться в том, что на сцене происходит невероятное, невозможное действие. Показывая и наблюдая фокусы, люди развлекаются. Но не только. Один человек создал фокус, другие удивляются ему, пытаются разобраться в фокусе, понять его и добраться до истины. Действия фокусника, на самом деле, не представляют собой чего-то необыкновенного, сверхъестественного. Они просты, естественны и логичны, но зрителю они представляются невероятными потому, что фокусник применил приём, в результате чего зритель сам сделал ошибочный вывод и поверил в него. Не всё, что летает — самолёт. Так и в фокусах. Не всё, что непонятно — обязательно фокус.
1.2. История возникновения математических фокусов
Первый документ, в котором упоминается об иллюзионном искусстве, древнеегипетский папирус. В нем содержатся предания, относящиеся к 2900 году до н.э., эпохе царствования фараона Хеопса.
Изначально фокусы использовали колдуны и знахари. Жрецы Вавилона и Египта создавали огромное количество уникальных трюков с помощью прекрасных знаний математики, физики, астрономии и химии. В перечень чудес исполняемых жрецами, можно включить: раскаты грома, сверкание молний, сами собой раскрывающиеся двери храмов, появляющиеся вдруг из-под земли статуи богов, сами звучащие музыкальные инструменты, голос.2
К онец XVIII - начало XIX века – время появления сотен профессиональных фокусников. В эту пору модными стали “научные фокусы”. Миллионы людей во всех частях света увлекаются математическими фокусами. В Древней Элладе без игр не мыслилось гармоническое развитие личности. И игры древних не были только спортивными. Наши предки знали шахматы и шашки, не чужды им были ребусы и загадки. Таких игр во все времена не чуждались ученые, мыслители, педагоги. Они создавали их. С древних времен известны головоломки Пифагора и Архимеда, русского флотоводца С.О. Макарова и американца С. Лойда.
Головоломка Пифагора Головоломка Архимеда
Математические игры и головоломки появились вместе с возникновением математики, как науки. Учитывая то, что математическими умениями владели немногие, то для большинства всё это представлялось из ряда «чудес», «магии». Людей, демонстрирующих разгадки головоломок, занимательных задач, зачастую называли фокусниками.
Первое письменное изложение о математических фокусах можно встретить в книгах.
Сочинения Леонардо Пизанского (1202 г.) - первый крупный математик средневековой Европы, наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи. «Занимательные и приятные числовые задачи» Башие де Мезириака (1612 г.) - французский математик, в некоторых русских источниках называется Мезирьяк.3
Упоминание о математических фокусах мы встречаем в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого, опубликованной в 1703 году.
Отдельно хочется отметить американского математика, фокусника, журналиста, писателя и популяризатора науки Мартина Гарднера (Gardner).
Он родился 21 октября 1914 года. Окончил математический факультет Чикагского университета. Основатель (середина 50-х годов), автор и ведущий (до 1983 года) рубрики «Математические игры» журнала «Scientific American» («В мире науки»). Гарднер трактует занимательность как синоним увлекательного, интересного в познании, но чуждого праздной развлекательности. Среди произведений Гарднера есть философские эссе, очерки по истории математики, математические фокусы и «комиксы», научно-популярные этюды, научно-фантастические рассказы, задачи на сообразительность.
Особую популярность снискали статьи и книги Гарднера по занимательной математике. В нашей стране было издано семь книг Мартина Гарднера, которые увлекают читателя и подталкивают к самостоятельным исследованиям. «Гарднеровский» стиль характеризуют доходчивость, яркость и убедительность изложения, блеск и парадоксальность мысли, новизна и глубина научных идей.
Среди наших соотечественников хочется назвать имя Я.И.Перельмана. Яков Исидорович Перельман не совершил никаких научных открытий, ничего не изобрел в области техники. Он не имел н икаких ученых званий и степеней. Но он был предан науке и в течение сорока трех лет нес людям радость общения с наукой. Именно с его книг начинается путешествие в увлекательный мир математики, физики, астрономии. 4
Свой огромный вклад в популяризацию математики внесли Игнатьев Е.И., Кордемский Б.А. и многие другие российские ученые, педагоги, методисты.
Математические фокусы интересны именно тем, что каждый фокус основан на математических законах. Смысл их состоит в отгадывании чисел, задуманных зрителями. Миллионы людей во всех частях света увлекаются математическими фокусами. И это не удивительно. «Гимнастика ума» полезна в любом возрасте. А фокусы тренируют память, обостряют сообразительность, вырабатывают настойчивость, способность логически мыслить, анализировать и сопоставлять.
1.3. Классификация математических фокусов5
Существует большое разнообразие фокусов, основанных на применении математических правил и свойств чисел и действий над ними. Для некоторых из них требуются мелкие предметы: шашки, спички, фишки. Для других используются наборы для игр: игральные кости, домино, колода крат. Есть фокусы, проводимые с календарем, циферблатом часов или требующие специально подготовленных таблиц чисел или рисунков. Можно условно разделить математические фокусы на три вида:
1. С мелкими предметами:
колода карт;
игральные кости, домино;
камешки.
2. С непосредственными расчётами:
предсказывание результата;
угадывание даты, номера;
мгновенный устный счёт.
3. С готовыми таблицами:
календарь;
циферблат часов;
таблицы рисунков или чисел.
Глава 2. Практическая часть
Чтобы повысить познавательный интерес к математике и доказать значимость математических фокусов в жизни (помогают развивать память, сообразительность, способность мыслить логически, совершенствовать навыки устного счета) в классе на уроке математики показал ряд математических фокусов: «Волшебная таблица», «Угадать задуманный день недели», «Угадать задуманное число», «Любимая цифра», «Угаданный день рождения». Часть секретов фокусов была раскрыта, а часть предложена раскрыть самостоятельно. В конце занятия провел анкетирование среди учащихся 6 А класса. Присутствовало 22 ученика.
Вопросы анкетирования:
1. Понравились ли Вам математические фокусы?
2. Как Вы считаете, развивают ли они математическое мышление?
3. Если учитель иногда на уроке будет удивлять, показывая математический фокус, станет ли урок интереснее?
4. Хотите ли Вы удивить кого-нибудь математическими фокусами?
На первый вопрос все ребята дали положительный ответ. Фокусы всем понравились.
На второй вопрос 15 человек ответила «Да», 7 – «Нет».
На третий вопрос все ответили положительно.
Отвечая на следующий вопрос, все дети захотели сами делать фокусы, тем самым удивлять близких.
Все полученные данные мы оформили в виде диаграмм. Вопросы анкетирования предоставлены. (см. Приложение 2).
Таким образом, проанализировав полученные результаты, мы сделали вывод, что разгадывание секретов ранее известных математических фокусов и создание своих, вызывает большой интерес у учащихся, побуждает их к самостоятельным исследованиям. Равнодушным никто не остался.
Заключение
В ходе данной работы я подобрал и изучил литературу по данной теме, познакомился с различными видами математических фокусов, исследовал природу этих фокусов. При этом выяснил, что математические фокусы – очень своеобразная форма демонстраций математических закономерностей. В математических фокусах изящество математики соединяется с занимательностью. Здесь для достижения эффективности и занимательности, как можно хитрее маскируют суть дела. Именно поэтому, вместо отвлеченных чисел, так часто используются различные предметы или наборы предметов, связанные с числами: домино, спички, часы, календарь, монеты и даже карты. Основной темой арифметических фокусов является угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь секрет фокусов в том, что "отгадчик" знает и умеет использовать особые свойства чисел, а задувающий этих свойств не знает. Математический интерес каждого фокуса и заключается в разоблачении его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольно просты, но иногда бывают хитро замаскированы. Секрет многих фокусов становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения и проанализировать его. Стержнем мною рассмотренных фокусов, являлись такие математические понятия, как: свойства чисел и арифметических действий, состав числа, приемы преобразования алгебраических выражений; решения уравнений, свойства двоичной системы счисления;
Собрал копилку математических фокусов, который может не только развлечь человека, но и привлечь внимание, развить интерес к «королеве наук» у тех, кто еще не оценил её по достоинству. Удовлетворил свои познавательные потребности.
Список источников и литературы
«Занимательная математика». /Я.И.Перельман/ - М. «АСТ.Астрель», 2011.
«Новые математические развлечения» /Мартин Гарднер/ - М. «АСТ. Астрель», 2009.
Энциклопедия Кирилла и Мефодия (электронный вариант).
«Системы счисления» /С. В. Фомин/ - М. «Наука», 1964.
«Забавная математика» /Н. Н. Аменицкий, И. П. Сахаров/ М. «Наука», 1991.
http://freemath.ru/publ/zanimatelnaja_matematika/matematicheskie_fokusy/ время доступа 04.03.2022
http://www.micromagic.ru/content/view/233/ время доступа 01.03.2022
8. http://focusomania.ucoz.ru/publ/istorija_vozniknovenija_fokusa_pokusa/1-1-0-1 время доступа 24.02.2022
9. http://www.scorcher.ru/any/magic.htm время доступа 24.02.2022
10. http://goodmagic.ru/category/fokus-matematicheskie 24.02.2022
11. URL: https://science-start.ru/ru/article/view?id=1189 время доступа 21.02.2022
Приложение 16
Копилка математических фокусов
1. Фокус «Предугадывание результата»
«Фокусник» пишет на доске шестизначное число и предлагает записать зрителю под этим числом ещё любое шестизначное число. Затем эта операция повторяется и «фокусник» дописывает ещё одно шестизначное число. А перед этим «фокусник» записал ответ на листе бумаги. Затем он предлагает зрителю найти суммы всех пяти чисел. Когда зритель сосчитал ответ, «фокусник» его удивил, так как ответ совпал с числом на бумаге.
Секрет:
Например:
134532 – написал фокусник
316874 – написал зритель
683125 – написал фокусник
839013 – написал зритель
160986 – написал фокусник
Ответ получается, если из первого числа вычесть два и прибавить 2000000, т. к. два дополняет число 1999998 до 2000000.
2. Фокус «Угадать зачеркнутую цифру»
Пусть кто-либо задумает какое-нибудь многозначное число, например, число 847. Предложите ему найти сумму цифр этого числа (8+4+7=19) и отнять ее от задуманного числа. Получится: 847-19=828. в том числе, которое получится, пусть он зачеркнет любую цифру и сообщит вам все остальные. Вы немедленно назовете ему зачеркнутую цифру, хотя не знаете задуманного числа и не видели, что с ним проделывалось.
Выполняется это очень просто: подыскивается такая цифра, которая вместе с суммой вам сообщенных цифр составила бы ближайшее число, делящееся на 9 без остатка. Если, например, в числе 828 была зачеркнута первая цифра 8 и вам сообщили цифры 2 и 8, то, сложив 2+8, вы соображаете, что до ближайшего числа, делящегося на 9, т. е. до 18 – не хватает 8. Это и есть зачеркнутая цифра.
Почему так получается? Потому, что если от какого-либо числа отнять сумму его цифр, то останется число, делящееся на 9 без остатка, иначе говоря такое, сумма цифр которого делится на 9. В самом деле, пусть в задуманном числе а – цифра сотен, в – цифра десятков, с – цифра единиц. Значит всего в этом числе единиц 100а+10в+с. Отнимая от этого числа сумму цифр (а+в+с), получим: 100а+10в+с-(а+в+с)=99а+9в=9(11а+в), т. е. число, делящееся на 9. При выполнении фокуса может случиться, что сумма сообщенных вам цифр сама делится на 9, например 4 и 5. Это показывает, что зачеркнутая цифра либо 0, либо 9.Тогда вы должны ответить: 0 или 9.
3. Фокус «Угадать задуманное число»
Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся написать на листе бумаги любое трехзначное число. Далее приписать к нему это же число еще раз. Получится шестизначное число. Передать лист соседу, пусть он разделит это число на 7. Передать листочек дальше, пусть следующий ученик разделит полученное число на 11. Снова передать результат дальше, следующий ученик пусть разделит полученное число на 13. Затем передать листочек “фокуснику”. Он может назвать задуманное число.
Разгадка фокуса. Когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то мы тем самым умножили его на 1001, а затем, разделив последовательно на 7, 11, 13, мы разделили его на 1001, то есть получили задуманное трехзначное число.
4. Фокус «Феноменальная память»7
Для проведения этого фокуса необходимо заготовить много карточек, на каждой из которых поставить ее номер (двузначное число) и записать семизначное число по особому алгоритму. “Фокусник” раздает карточки участникам и объявляет, что он запомнил числа, записанные на каждой карточке. Любой участник называет номер карточки, а фокусник, немного подумав, говорит, какое на этой карточке записано число. Разгадка данного фокуса проста: чтобы назвать число “фокусник” проделывает следующие действия – прибавляет к номеру карточки число 5, переворачивает цифры полученного двузначного числа, затем каждая следующая цифра получается сложением двух последних, если получается двузначное число, то берется цифра единиц. Например: номер карточки – 46. Прибавим 5, получим 51, переставим цифры – получим 15, будем складывать цифры, следующая – 6, затем 5+6=11, т. е. возьмем 1, потом 6+1=7, дальше цифры 8, 5. Число на карточке: 1561785.
5. Фокус «Волшебная таблица»
На доске или экране таблица, в которой известным образом в пяти столбцах записаны числа от 1 до 31. Фокусник предлагает присутствующим задумать любое число из этой таблицы и указать, в каких столбиках таблицы находится это число. После этого он называет задуманное вами число.
Разгадка фокуса:
Например: вы задумали число 27. Это число находится в 1-ом, 2-ом, 4-ом и 5-ом столбиках. Достаточно сложить числа, расположенные в последней строке таблицы в соответствующих столбиках, и получим задуманное число. (1+2+8+16=27).
6. Фокус «У кого какая карточка?»
Для проведения фокуса необходим ассистент. На столе лежат три карточки с оценками: “3”, “4”, “5”. Три человека подходят к столу и каждый берет одну из карточек и показывает ее ассистенту “фокусника”. “Фокусник”, не глядя, должен угадать кто что взял. Ассистент говорит ему: “Угадывай” и “фокусник” называет у кого какая карточка.
Разгадка фокуса. Рассмотрим возможные варианты. Карточки могут располагаться следующим образом: 3, 4, 5 4, 3, 5 5, 3, 4
3, 5, 4 4, 5, 3 5, 4, 3
Так как ассистент видит, какую карточку взял каждый человек, то он будет помогать “фокуснику”. Для этого нужно запомнить 6 сигналов. Пронумеруем шесть случаев:
Первый – 3, 4, 5
Второй – 3, 5, 4
Третий – 4, 3, 5
Четвертый – 4, 5, 3
Пятый – 5, 3, 4
Шестой – 5, 4, 3
Если случай первый, то ассистент говорит: “Готово!”
Если случай второй – то: “Так, готово!”
Если случай третий – то: “Угадывай!”
Если четвертый – то: “Так, угадывай!”
Если пятый – то: “Отгадывай!”
Если шестой – то: “Так, отгадывай!”.
Таким образом, если вариант начинается с цифры 3, то “Готово!”, если с цифры 4, то “Угадывай!”, если с цифры 5, то “Отгадывай!”, а карточки учащиеся берут по очереди.
7. Фокус «Любимая цифра»
Любой из присутствующих задумывает свою любимую цифру. Фокусник предлагает ему выполнить умножение числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например, если любимая цифра 5, то пусть умножит на 35. Получится произведение, записанное только любимой цифрой. Возможен и второй вариант: умножить число 12345679 на любимую цифру, умноженную на 9, в нашем случае это число 45. Объяснение этого фокуса достаточно простое: если умножить 15873 на 7, то получится 111111, а если умножить 12345679 на 9, то получится 111111111.
8. Фокус «Число в конверте»
Фокусник пишет на бумажке число 1089, вкладывает бумажку в конверт и заклеивает его. Предлагает кому-нибудь, дав ему этот конверт, написать на нем трехзначное число такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались бы друг от друга больше, чем на 1. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он снова переставит крайние цифры и получившееся трехзначное число прибавит к разности двух первых. Когда он получит сумму, фокусник предлагает ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое у него и получилось.
9. Фокус «Угадывание дня, месяца и года рождения»
Фокусник предлагает учащимся выполнить следующие действия: “Умножьте номер месяца, в котором вы родились, на 100, затем прибавьте день рождения, результат умножьте на 2, к полученному числу прибавьте 2, результат умножьте на 5, к полученному числу прибавьте 1, к результату припишите 0, к полученному числу прибавьте еще 1 и, наконец, прибавьте число ваших лет. После этого сообщите, какое число у вас получилось”. Теперь “фокуснику” осталось от названного числа отнять 111, а потом остаток разбить на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две или одна – номер месяца, а последние две цифры – число лет, зная число лет, фокусник определяет год рождения.
10. Фокус «Угадать задуманный день недели»
Пронумеруем все дни недели: понедельник – первый, вторник – второй и т. д. Пусть кто-нибудь задумает любой день недели. Фокусник предлагает ему следующие действия: умножить номер задуманного дня на 2, к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5, к полученному числу приписать в конце 0, результат сообщить фокуснику. Из этого числа он вычитает 250 и число сотен будет номером задуманного дня. Разгадка фокуса: допустим, задуман четверг, то есть 4 день. Выполним действия: ((4×2+5)*5)*10=650, 650 – 250=400.
11. Фокус «Угадать возраст»
Фокусник предлагает кому-нибудь из учащихся умножить число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9, из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе “фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков – получится число лет.
Приложение №2
Вопросы анкетирования:
1. Понравились ли Вам математические фокусы?
2. Как Вы считаете, развивают ли они математическое мышление?
3. Если учитель иногда на уроке будет удивлять, показывая математический фокус, станет ли урок интереснее?
4. Хотите ли Вы удивить кого-нибудь математическими фокусами?
1 Толковый словарь С. И. Ожегова
2http://focusomania.ucoz.ru/publ/istorija_vozniknovenija_fokusa_pokusa/1-1-0-1
3http://free-math.ru/publ/zanimatelnaja_matematika/matematicheskie_fokusy/24
4 Я.И.Перельман «занимательная математика»
57http://goodmagic.ru/category/fokus-matematicheskie
6Развлекательный портал «Фокусы.RU» http://trick.fome.ru/main-5.html
7Храпалёв И.И. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ // Старт в науке. – 2018. – № 5-5. ;URL: https://science-start.ru/ru/article/view?id=1189 (дата обращения: 21.02.2022).