XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2022
История одной теоремы "Большая теорема Ферма"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
В текущем учебном году наши уроки математики разделились на уроки алгебры и уроки геометрии. И если на уроках алгебры мы по-прежнему решаем уравнения, задачи, учим формулы, то уроки геометрии начались с большого количества новых терминов и имен. Прозвучало страшное слово «теорема» и, просто ужасное «доказательство». Заинтересовало то, что часть теорем просто пронумерованы, какие-то из них – признаки, какие-то – свойства; некоторые теоремы названы так, как будто это реклама или краткий пересказ: теорема о трех перпендикулярах, теорема о параллельных прямых и секущей, теорема о параллельности трех прямых и прочее.
Каково было мое удивление, когда выяснилось, что теоремы встречаются не только в учебнике геометрии, но и в курсе алгебры тоже есть теоремы! Часть теорем известна всем, кто знает и любит математику, часть известна узкому кругу специалистов. Но есть среди них теоремы, которые «уважительно» названы именем человека, который имеет к ним непосредственное отношение.
Мне стало интересно – чем вызвана такая несправедливость? Много ли их, именных теорем? И есть ли среди «уважаемых» теорем «самая-самая уважаемая»? Королева теорем?! Со всех сторон сыпались имена: теорема Минелая, теорема Пифагора, теорема Коши, теорема Чевы… Но наставник моего проекта твердым голосом сказала: теорема Ферма.
Так появилась идея - выяснить какая история скрыта за именем теоремы, разобраться в том, что означает «доказать» теорему, ну и вообще понять, что за новые предметы пришли в мою школьную жизнь.
Цель работы – выяснить, возможно ли ученице 7 класса изучить великую теорему Ферма.
Задачи, которые мы перед собой поставили:
Познакомиться с историей возникновения теоремы и ее создателем.
Изучить доказательство теоремы Ферма.
Рассмотреть возможность ее применения в школьном кусе математики.
Предполагаемый продукт нашего творческого проекта: учебная презентация, которую можно будет использовать как на уроках, так и вне урочных рамок, например, при проведении недели математики, на занятиях по истории математики.
1 АНАЛИЗ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ.
1.2 Личность Пьера Ферма
16 августа 1601 года во Франции, близ Тулузы, в гасконском городке Бомон-де-Ломань, около Монтобана на Тарне, притока Гаронны, у советника Доминика Ферма и его жены Франсуазы родился сын. Советник Ферма был уважаемым и зажиточным человеком, торговцем кожей, но сына захотел выучить в университете: для этого Пьера отправили в Тулузу изучать право. После Тулузы он учился в Бордо и Орлеане и только в 30 лет выпустился из университета адвокатом, но решил перейти на государственную службу и в 1631 году стал советником кассационной палаты Тулузского парламента — проще говоря, принимал прошения от населения. В том же году он женился на дочери советника кассационной палаты Луизе де Лонг и всю жизнь (счастливо или нет) провел в этой должности. У Ферма было пятеро детей, и спокойная провинциальная жизнь способствовала размеренным занятиям — юрист увлекался языками (он был полиглотом) и математикой; спорил с Декартом (о неверном методе решения задач, такт и вежливость Ферма привели спор к дружественному завершению) и приятельствовал с Паскалем. [1]
Сохранились весьма скромные данные о его жизни. Для своих современников Ферма был обычным человеком, хотя и состоящим в переписке с лучшими математиками своего времени - оба Паскаля, Декарт, Кавальери, Торричелли, Гюйгенс. Казалось бы - провинциальный адвокат-любитель, чего от него ждать! [3] Он занимался математикой в свободное от работы время, но был талантлив и обладал научной интуицией: его занимали самые важные вопросы современной науки
Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в Кастре, ему было 64. Во время Французской революции его могила оказалась утрачена.
Знаете, что в этой истории показалось мне самым удивительным? «Великая» теорема принадлежит маленькому чиновнику тулузского органа исполнительной власти, служащему кассационной палаты, для которого математика была лишь «хобби»! Мы могли бы никогда не узнать ни о ее существовании, ни о существовании ее скромного автора!
Мир многим обязан старшему сыну Ферма, так как он издал в 1670-м собрание работ Пьера де Ферма (письма и статьи). Классическое собрание сочинений Ферма в трех томах издано специалистом по истории математики Полем Таннери в Париже в 1896-м. Ферма работал в разных отраслях математики: ему принадлежат открытия в аналитической геометрии, теории чисел, анализе. Он много сделал для интегрального вычисления. [2]
Интересно, что алгебра в те времена считалась математикой второго сорта, подручным средством для нужд математиков, но, по сути, способы Ферма переводят геометрическую задачу на аналитический язык. Ферма нашел способ находить максимум и минимум функции, и это еще до появления дифференциального исчисления, открытого Ньютоном. Сам Ньютон писал, что работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа.
Изучив биографию Пьера Ферма, я стала понимать, что его имя теорема носит заслуженно. Пора уже с ней познакомиться.
1.3 Великая теорема Ферма
Одна из самых популярных теорем в истории была сформулирована в 1637 г. , как мы уже выяснили, французским математиком – самоучкой Пьером де Ферма на полях книги «Арифметика» Диофанта с загадочной припиской, что «найденное им поистине остроумное доказательство теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях.»
И когда старший сын Ферма в 1670 г. издал посмертное собрание трудов отца,то современники и узнали о замечательных открытиях учёного. Отдельно были опубликованы комментарии к переводу той самой «Арифметики», после чего математическое сообщество обратило внимание на проблему:
Уравнение не имеет решений при любых целых ненулевых числах a, b и c, если n-целое число больше двух (n > 2).
Вот она. Великая. Однако, чем же всё-таки популярна эта теорема, на фоне остальных нерешённых задач математики, мало кто может объяснить. Может быть простотой восприятия, доступной даже школьнику, увлекательной игрой для ума и необъяснимой мистикой. Далеко не все поддерживали возникший на пустом месте ажиотаж. Король математики Карл Фридрих Гаусс, живший на рубеже XVII – XVIII в.в. просто отмахивался от проблемы: «Не понимаю, почему я должен тратить на неё время, когда вокруг есть более увлекательные вещи…». [5]
Но были и те, кто положил жизнь на разрешение теоремы. Немецкий математик Эрнст Эдуард Куммер доказал её для множества частных случаев, но так и не смог свести их к общему результату. [5]. Над полным доказательством теоремы трудилась целая плеяда учёных, от известных математиков до любителей. Теорема Ферма считается абсолютным рекордсменом по количеству выдвинутых некорректных доказательств. Были найдены доказательства для всех значений n примерно до 4 миллионов, сначала вручную, а затем при помощи компьютера, при его появлении. Однако, не было найдено общего доказательства, которое было бы справедливым для всех возможных значений n, а также ни одного намёка на то, что такое доказательство может существовать в принципе.
Английский математик Эндрю Джон Уайлс (Andrew John Wiles) провел семь лет, уединившись, на даче, с 1986 по 1993 г., посвятив свою жизнь поиску доказательства. В 1993 г. Эндрю Уайлс уже был совершенно уверен, что Великая теорема Ферма доказана.
Но Уайлз не объявил напрямую о том, что теорема доказана. У него были запланированы три лекции в Кембридже на математической конференции, причем тема лекций не содержала даже намека на теорему Ферма.
На первой лекции несколько человек в зале напряглись, подозревая, к чему клонит профессор – к теореме Ферма, на второй лекции это понимало уже большое число приглашённых математиков. На третью лекцию можно было продавать билеты. Все ждали сенсацию, которая в итоге грянула…Эндрю Уайлс закончил лекцию и затем, как бы спохватившись, отметил, что «Великая теорема Ферма» доказана. Зал встретил фразу громовыми аплодисментами.
2. СОБСТВЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
2.1 Что известно лицеистам 7 класса о теореме Ферма?
Когда изучали литературу, появилось ощущения, что перед нами приключенческий роман! Очень захотелось с кем-нибудь поделиться информацией. Но сначала мы решили выяснить – знают ли мои одноклассники хоть что-нибудь о Ферма и его теореме?
Нами был составлен опросник, с которым я обратилась к своим одноклассникам. Опросник представлен в работе, в приложении № 3, а я представлю его результаты. Нами были предложены четыре вопроса, опросе участвовало 28 человек. Не скрою, что мы предполагали нечто подобное, но все-равно обидно, что об одной из самых известных теорем, с такой захватывающей историей, многие лицеисты узнали впервые. Итоги опроса представлены в таблице №1.
Таблица № 1. Итоги опроса обучающихся 7а класса на предмет информированности о теореме Ферма.
|
№ вопроса |
Вопрос |
Да |
Нет |
Где-то слышал |
|
1 |
Знаете ли вы кто такой Пьер де Ферма? |
2 |
21 |
5 |
|
3 |
Слышали вы что-нибудь про Великую теорему Ферма? |
4 |
24 |
- |
|
4 |
Как думаете имеет ли эта теорема смысл в математической жизни? Пользуются ли ей в настоящее время? |
11 |
27 |
- |
Таким образом, становится понятно, что одна из целей реализации проекта – просветительская. Обучаясь в лицее, изучая основы наук, мы, конечно, должны понимать, что за всеми теориями и открытиями стоят конкретные люди.
2.2 Теорема Ферма доказана?!
Спустя месяц после успеха Уайлса в Кембридже, в доказательстве была найдена досадная оплошность. Сначала Уайлс не придал этому значения, сказав: «Это мелочь, я сейчас всё поправлю за пару дней…» [6]. Но шли дни, недели, месяцы и профессор понял, что не избежал грандиозного позорного провала. Много раз казалось, что теорема Ферма доказана, но находилась какая-то мелочь и всё рушилось.
Но Уайлз был человеком твердого характера, он пригласил аспиранта Ричарда Тейлора и вдвоём они исправили ошибку в доказательстве теоремы Ферма к концу 1994 г. Доказательство Великой теоремы Ферма представленное Эндрю Уайлсом перепроверялось длительное время, но до абсолютного признания его результата прошло более 20 лет. В 2016 г. ему присуждена «Абелевская премия» (аналог «Нобелевки» в математике).
Давайте попытаемся понять, почему доказательство теоремы более 300 лет ускользало от стольких светлых умов?
Начиная с 3, 4, 5 – действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25. Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Ну и так далее. А если взять похожее уравнение x³+y³=z³ ? Может, тоже есть такие числа?
И так далее.
Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение. Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). А как доказать отсутствие? Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.
В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис.1):
Рис.1 Наглядное доказательство теоремы Ферма для случая n=2.
Как можно доказать, что при n=3 равенство не имеет решений? Проделаем то же с третьим измерением (рис. 2) – не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:
Рис.2 Наглядное доказательство теоремы Ферма для случая n=3.
А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение xn+yn=zn. И сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вметить его».
Теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Кто только не пытался доказать теорему Ферма! Любой свежеоперившийся студент считал своим долгом приложиться к Великой теореме, но доказать ее всё никак никому не удавалось. Сначала не удавалось сто лет. Потом еще сто. Среди математиков стал развиваться массовый синдром: "Как же так? Ферма доказал, а я что, не смогу что ли?" и некоторые из них на этой почве свихнулись в полном смысле этого слова. Самый виртуозный и плодотворный математик XVIII века Леонард Эйлер, архив записей которого человечество разгребало почти целый век, доказал теорему Ферма для степеней 3 и 4 (вернее, он повторил утерянные доказательства самого Пьера Ферма); его последователь в теории чисел, Лежандр - для степени 5; Дирихле - для степени 7. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной, пока за нее не взялся Уайлс.
Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.
Еще в далеком V веке до н.э. пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.
Говорят, на сегодняшний день в мире существует не более 1000 человек способных понять доказательство Эндрю Уайлса. Простота формулировки теоремы и, в то же время, сложность единственного известного доказательства, вдохновляют математиков на попытки найти другое, более простое решение задачи. При этом предполагается, что оно является настолько очевидным, что вполне разрешимо на уровне знаний XVII века.
2.2.1 Теорема Ферма для "чайников"
Поскольку мало кто владеет математическим мышлением, то я расскажу о наикрупнейшем научном открытии – элементарном доказательстве Великой теоремы Ферма – на самом понятном, школьном, языке.
Доказательство было найдено для частного случая (для простой степени n>2), к которому (и к случаю n=4) легко сводятся и все случаи с составным n.
Итак, нужно доказать, что уравнение An =Cn –Bnрешения в целых числах не имеет.
Доказательство проводится в системе счисления с простым основанием n. В этом случае в каждой таблице умножения последние цифры не повторяются. В обычной, десятичой системе, ситуация иная. Например, при умножении числа 2 и на 1, и на 6 оба произведения – 2 и 12 – оканчиваются на одинаковые цифры (2). А, например, в семеричной системе для цифры 2 все последние цифры разные: 0х2=...0, 1х2=...2, 2х2=...4, 3х2=...6, 4х2=...1, 5х2=...3, 6х2=...5, с набором последних цифр 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.
Благодаря этому свойству для любого числа А, не оканчивающегося на ноль (а в равенстве Ферма последняя цифра чисел А, ну или В, после деления равенства на общий делитель чисел А, В, С нулю не равна), можно подобрать такое множитель g, что число Аg будет иметь сколь угодно длинное окончание вида 000...001. Вот на такое число g мы и умножим все числа-основания A, B, C в равенстве Ферма. При этом единичное окончание сделаем достаточно длинным, а именно на две цифры длиннее, чем число (k) нулей на конце числа U=А+В-С.
Число U нулю не равно – иначе С=А+В и An <(А+В)n -Bn, т.е. равенство Ферма является неравенством.
Вот, собственно, и вся подготовка равенства Ферма для краткого и завершающего исследования. Единственное, что мы еще сделаем: перепишем правую часть равенства Ферма Cn –Bn, используя школьную формулу разложения: Cn –Bn=(С-В)Р, или аР. А поскольку далее мы будем оперировать (умножать и складывать) только с цифрами (k+2)-значных окончаний чисел А, В, С, то их головные части можем в расчет не принимать и просто их отбросить (оставив в памяти лишь один факт: левая часть равенства Ферма является СТЕПЕНЬЮ). Единственное, о чем стоит сказать еще, это о последних цифрах чисел а и Р. В исходном равенстве Ферма число Р оканчивается на цифру 1. Это следует из формулы малой теоремы Ферма, которую можно найти в справочниках. А после умножения равенства Ферма на число gn число Р умножается на число g в степени n-1, которое, согласно малой теореме Ферма, также оканчивается на цифру 1. Так что и в новом эквивалентном равенстве Ферма число Р оканчивается на 1. И если А оканчивается на 1, то и An тоже оканчивается на 1 и, следовательно, число а тоже оканчивается на 1. Итак, мы имеем стартовую ситуацию: последние цифры А', а', Р' чисел А, а, Р оканчиваются на цифру 1. Ну а дальше начинается милая и увлекательная операция, называемая в преферансе «мельницей»: вводя в рассмотрение последующие цифры а'', а''' и так далее числа а, мы исключительно «легко» вычисляем, что все они также равны нулю! Слово «легко» мы берем в кавычки, ибо ключ к этому «легко» человечество не могло найти в течение 350 лет! А ключик действительно оказался неожиданно и ошарашивающее примитивным: число Р нужно представить в виде P=q(n-1)+Qn(k+2). На второй член в этой сумме обращать внимание не стоит – ведь в дальнейшем доказательстве мы все цифры после (k+2)-й в числах отбросили (и это кардинально облегчает анализ)! Так что после отбрасывания головных частей чисел равенство Ферма принимает вид: ...1=аq(n-1), где а и q – не числа, а всего лишь окончания чисел а и q! (Новые обозначения не ввожу, так это затрудняет чтение.)
Остается последний философский вопрос: почему число Р можно представить в виде P=q(n-1)+Qn(k+2)? Ответ простой: потому что любое целое число Р с 1 на конце можно представить в таком виде, причем ТОЖДЕСТВЕННО. (Можно представить и многими другими способами, но нам это не нужно.) Действительно, для Р=1 ответ очевиден: P=1(n-1). Для Р=hn+1 число q=(n-h)n+1, в чем легко убедиться, решая уравнение [(n-h)n+1](n-1)=hn+1 по двузначным окончаниям. И так далее (но в дальнейших вычислениях у нас необходимости нет, так как нам понадобится представление лишь чисел вида Р=1+Qnt).
Уф-ф-ф-ф! Ну вот, философия кончилась, можно перейти к вычислениям на уровне второго класса, разве что лишь еще изучить формулу бинома Ньютона,
после чего мы переходим к решающему выводу. Но я поняла, что в 7 классе мне разобраться до конца с доказательством в общем виде, для любого n, будет НЕВОЗМОЖНО. Но я горда уже тем, что могу объяснить выполнение условия теоремы для n= 3.
2.2.2 Практическая ценность теоремы Ферма
Практическая ценность доказательства знаменитой теоремы Ферма состоит именно в самом доказательстве. Если ученые найдут другой способ доказательства - это наверняка будет новым направлением в математике, ведь традиционные способы тут уже не пригодны.
А практическая ценность проявится не скоро, как например произошло с геометрией Лобачевского, как это стало с самой теоремой Ферма (появился. Вообще математика, как и философия, наука, которая подготавливает почву для других, более практичных наук (физика, астрофизика, информатика, ...).
Речь не касается побочных открытий сделанных в поиске решения данного доказательства, а в непосредственной прикладной ценности данного доказательства.
Что ученые получат (если найдут её решение) такого чего они не имеют сейчас? Знают ли они это или только надеются, что от этого будет какая-то польза, понимают - ради чего бьются? Или это просто амбиции разума. Или же все-таки дело в науке и в ценности её прикладных аспектов? А пока нет доказательства - это просто математический парадокс и никакая не теорема?
Выводы
1. Мы познакомились с историей возникновения теоремы и ее создателем - юристом Пьером Ферма, для которого математика была всего лишь хобби. Из литературных источников мы увидели, что теорема имеет большое теоретическое значение для такого раздела математики как «Теория чисел». Несмотря на простоту формулировки, более трехсот лет не могли доказать теорему именно в связи с ее формулировкой: очень трудно доказать «отсутствие чего-либо». Но несмотря на мнение людей , далеких от математики, что теорема Ферма недоказуема, она доказана в 1994.
2. Изучить доказательство теоремы Ферма. На сегодняшний день в мире существует не более 1000 человек способных понять доказательство Эндрю Уайлса: настолько оно сложно. Нам доступно доказательство нескольких случаев конкретных значений n ( в моей работе это n=2; 3). В общем случае, для любого n ≥ 2, доказательство, приведенное Уайлсом, сложно даже для подготовленного человека.
3. Возможность применения Великой теоремы Ферма в школьном кусе математики не приходится даже обсуждать. Она имеет ценность сама по себе, как величайшая математическая загадка, которую решали как именитые математики, так и «чайники» более трехсот лет. С доказательством теоремы в 1994 году интерес к ней подугас. Но теперь математики снова и снова обращаются к ней, пробуя найти более легкое решение. Уже сейчас всем понятно, что с появлением нового, более понятного и простого доказательства, может появиться и новый раздел математики, а значит, и новый абелевский лауреат.
Заключение
В своей работе мы прикоснулись к мировому интеллектуальному достоянию. Я очень впечатлена тем, как скромный стряпчий, занимаясь любимым делом в свободное время, создал нечто мистическое, почти такое же недостижимое как мечта. Но человек сильной воли способен расширить рамки сознания и решить любые задачи!
Список использованной литературы
1. Интернет-издание «Мел»; автор – Лада Бакал, «Загадка теоремы адвоката Пьера Ферма: её решали три века и доказали только в 1994 году». https://mel.fm/zhizn/istorii/4129705-samouchka-pyer-ferma-i-zagadka-ego-teoremy-eye-reshali-tri-veka-i-dokazali-tolko-v-1994-godu
2. Бать Л. Великое призвание / Л. Бать. - М.: Детгиз, 2011. - 296 c.
3. Блинов, В.Ф. Великая теорема Ферма. Исследование проблемы / В.Ф. Блинов. - Москва: ИЛ, 2008. - 714 c.
4. В. М. Тихомиров Великие математики прошлого и их великие теоремы / .М. Тихомиров. Москва: Гостехиздат, 1999. - 733 c.
5. Зайцева, Павлина Сергеевна Великая теорема Ферма. Ретро-доказательство / Зайцева Павлина Сергеевна. - М.: Авторская книга, 2015. - 469 c.
6. Орлов, П. М. Великая теорема Ферма. Арифметическое решение / П.М. Орлов. - М.: Либроком, 2009. - 563 c.
7. Тихомиров, В.М. Великие математики прошлого и их великие теоремы Изд. 2-е, испр. / В.М. Тихомиров. - Москва: ИЛ, 2003. - 286 c.
8. Хинчин, А.Я. Великая теорема Ферма / А.Я. Хинчин. - М.: ЛКИ, 2007. - 222 c.
Приложения
Приложение №1.
Пьер Ферма, портрет кисти Роллана Лефевра
Приложение № 2
Английский математик Эндрю Джон Уайлс
Приложение № 3
Анкета:
1. Знаете ли кто такой Пьер де Ферма?
А) да
Б) нет
В) где-то слышал
2. Если да, то что?
3. Слышали вы что-нибудь про Великую теорему Ферма?
А) да
Б) нет
4. Как думаете имеет ли эта теорема смысл в математической жизни? Пользуются ли ей в настоящее время?
А) да
Б) нет
П риложение № 4
Издание «Арифметики» Диофанта, в которое поместили приписку Ферма, которую он сделал в свое время на полях книги Диофанта.
Приложение № 5
Лауреат "Абелевской премии" Эндрю Уайлс