XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2022
Математическое обоснование движения бильярдных шаров
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Вступление
В начале работы над проектом я хотел рассчитать составляющую удара Лемана, которым можно выиграть всю партию за один удар. Но после консультации с А.Н. Калюжным, на чью работу я буду не раз опираться, и Ю.Г. Пащинским (чемпион страны по бильярду и единственный исполнитель этого удара на соревнованиях), пришел к выводу о высокой случайности удачного исполнения данного удара. Причем профессором Дж. Айзеком была создана программа, рассчитывающая удар Лемана.
После консультаций я пришел к выводу, что лучше будет изучить свойства движений бильярдных шаров после различного вида столкновений. Математическая проблема бильярда – это проблема возможных траекторий и столкновений шаров.
Коэффициент трения между 2 шарами во время удара
Опыт Кориолиса
Для того, чтобы понимать физическую суть удара подвижного шара о неподвижный, необходимо вычислить коэффициент трения между шарами.
Кориолис подвесил шар к нити и сделал на нем отметку, при помощи которой можно было наблюдать вращение.(Рис.1) Он сообщил шару равномерное вращение, для которого определил длительность одного оборота. Потом сообщил подвешенному шару сбоку горизонтальный косой удар другим шаром так, чтобы полностью уничтожить существующее вращение. Без влияния трения шар получил бы колебательное движение на нити, но в результате трения происходит тангенциальный удар, вследствие которого получилось изменение вращения шара. Пусть МVн- импульс, сообщающийся шару во время удара при наличии трения.
φ- угол трения
МV1*sin φ – импульс, обусловленный силой трения
f = tg φ = МVн*sin φ/ МVн*cos φ
h- высота , на которую поднялся шар во время своих колебаний
v2=2gh
w’- разность угловых скоростей до и после удара
Для вращательного движения:
0,4Rw’=vsin φ
sin φ =0.4Rw’/ √(2gh)
В проведенных опытах R=0,025 м, h=0,05м и при этом уничтожалась угловая скорость в 1 оборот в секунду , таким образом коэффициент трения между шарами при ударе незначителен и им при следующих расчетах можно пренебречь.
Рис.1
Общие положения
Для понимания закономерности движения битка необходимо рассмотреть стадии его движения.
1 стадия – нанесение удара, биток приобретает линейное и вращательно ускорение.
2 стадия – стадия свободного движения битка (скольжение, качение с вращением, винтовое скольжение)
3 стадия – стадия перераспределения энергии между битком и прицельным шаром.
На рисунке (Рис.2 в Приложении) приведены характерные точки для 4 принципиально разных ударов.
1.При ударе в накат биток приобретает энергию линейного движения и энергию попутного вращения вокруг горизонтальной оси.
2.При ударе в центр – энергию линейного движения.
3.При ударе с винтом – энергию линейного движения, энергию попутного вращения (вокруг горизонтальной оси) и энергию вращения винта (вокруг вертикальной оси). Удары с винтом будем рассматривать в стадии стабильного движения.
4.При ударе в оттяжку биток приобретает энергию линейного движения и энергию обратного вращения вокруг горизонтальной оси.
При нанесении удара битку передается энергия удара, Fтр. сукна действует на биток, как при скольжении, так и при качении. Какой путь пройдет биток определяется его энергией, переданной при ударе, и его скоростью в момент отделения от кия. Таким образом, размер удара удобно измерять длиной проката(Sбитка)
Перераспределение энергии и смещение траектории битка при его соударении с прицельным шаром.
В момент соударения происходит остановка битка, при этом биток действует на прицельный шар с силой F, которая перераспределяется между битком и прицельным шаром(Fбит1 и Fпр1) и определяет начальный скорости Vбит1 и Vпр1 после их соударения. В случае линейного движения Sбит1 и Sпр1(прокат битка и прокат шара) пропорциональны начальной скорости их движения Vбит1 и Vпр1.
Обозначаем вектором скалярную величину длины проката шара, а диаграммы раската шаров назовем векторными диаграммами раската шаров. Будем оперировать не F1 и V1`, а составляющими дали проката шаров S.
Sбит – длина возможного проката битка.
Sбит1 мин.., Sбит1 нак. (Sбит1 от.), Sбит1 винт. – доли длины проката битка (от единицы) после соударения.
Sбит1л + Sбит1 нак. (Sбит1 от.) + Sбит1 винт =1 или 100%
Индекс 1 – составляющая доля проката битка и прицельного шара после соударения
Индекс с - составляющая доля проката битка и прицельного шара после соударения по углу резки α.
В свою очередь Sбит1i + Sпр1i = 1 или 100%
В диаграммах раската шаров будем показывать доли проката шаров в %.
Удар в центр шара
При таком ударе справедливы законы сохранения энергии и импульса.
Выше 22 мм из-за отсутствия сцепления наклейки кия с шаром возникает вероятность «кикса» (проскальзывания удара). Выше 11 мм при ударе обязательно присутствует вращение шара вдоль горизонтальной оси.
2 вида столкновения при упругом ударе.(Рис.3)
В 1 случае Sпр.лин.1 = Sбит.лин.
После соударения шаров во 2 случае соотношение долей длин проката:
Sбит.лин.1 + Sбит.пр.1= 1
tg αi = Sбит.лин.1/Sбит.пр.1
Решив эту систему получаем Sбит.лин.1 = tg αi / (1+ tg αi) Назовем это тангенциальный коэффициент битка.
Соответственно Sпр.лин.1 = 1 – (tgα/(1+ tgα) = 1/(1+ tgα)
Эти соотношения будем использовать при более сложных ударах.
Рис.3
Накат
Рассмотрим удар в точку НТ2. Путь, пройденный битком составит 100% величины удара.
Sбит = Sбит.лин. + Sбит.нак. = 100%
Линейная составляющая – действие линейной силы битка.
Составляющая доли наката – действие угловой скорости вращения битка.
Стоит заметить, что в этом случае процесс столкновения шаров подобен столкновению шара большей массы (битка) с шаром меньшей массы. При ударе в накат выше 0,4 радиуса от центра шара, шар получает обязательное вращательное движение.
Определим энергетические составляющие битка при ударе в точку НТ1.(Рис.4 в Приложении)
Шар получает импульс силы от удара кием Fнtнак = Fнt*22/34 (0.4mRVвр)
Линейное движение центра шара от вращательного движения Fнt*11/34~0,32%
Таким образом, примем Sбит.лин. ~ 68% Sбит.нак. ~ 32%
Рассмотрим позицию удара в лоб при накате в точку НТ1. (Рис.5)
Рис.5
Данная позиция показывает перераспределение доли проката Sбит.нак до соударения на соответствующие доли наката. Равное перераспределение энергии наката обусловлено равенством масс.
Sпр1 н. = Sбит1 н. = 0,5Sбит н. = 16%
Sпр1 = Sпр1 л. + Sбит1 н. = Sбит л. + 0,5Sбит н. = 84%
Для угла резки Sбит лин. и Sбит нак. делятся пропорционально тангенциальным коэффициентам между битком и прицельным шаром. Причем в доле проката прицельного шара участвует кбит tgи наоборот, поскольку мы имеем дело с вращением.(Рис.6, Рис.7 в Приложении)
Таким образом,
Sбит1 i = Sбит1 лин. i + Sбит1 нак. i = кбит tgi * Sбит лин. + 0,5Sбит н. + кпр tgi* 0,5Sбит н.
Sпр1 i = 100% - Sбит1 i
Зная тангенциальные коэффициенты накат для угла резки 30°. кбит tg = 0,366
кпр tgi = 0,634 через теоремы косинусов можно приблизительно определить угол отклонения битка и доли прокатов шаров.
Sбит1 лин = 0,366 * 68% = 24,888
Sбит1 нак = 16% + 0,634*16% = 26,144
Sбит1 i= √24,888^2 + 26,144^2+ 2*24,888*26,144*0,5 = 44,19
Sпр1 i = 0,634*68%+0,366*16% = 43,11+5,856=48,966
44,19/(44,19+48,966) ~ 48% - доля проката битка, 52% - доля проката прицельного шара
52*sin30° = 48*sinx => x = 33.3°
Шары двигаются по прямым.
Векторная диаграмма раскатки шаров. (Рис.8 в Приложении)
ОТТЯЖКА
При ударе в оттяжку в точку ОА2 биток приобретает энергию линейного движения и энергию обратного вращения вокруг горизонтальной оси. Доля энергии обратного вращения тем больше, чем больше величина смещения удара кия от центра. Рассмотрим взаимодействие шаров при ударе в оттяжку в точку ОА2.
Позиция мимо шара (Рис.9) иллюстрирует, что длина проката битка меньше потенциальной длины проката(ПДП) на Sбит от . Доля оттяжки такая же, как доля простого наката – 32%, т.к. удар кия симметричен относительно центра шара. Таким образом, Sбит лин – 68%.
Рис.9
При прямолинейном попадании (в лоб) (Рис.10 в Приложении), происходит перераспределение энергии, как при накате, только биток меняет направление движения на противоположенное.
В случае попадания битка по резке с углом 30° (Рис.11), потенциальная длина проката перераспределяется на Sбит iи Sбит пр i
Рис.11
Sбит i= Sбит1 лин+ Sбит от i = кбит tgi * Sбит лин + кпр tgi * 0,5 Sбит от
Sбит1 лин = 0.366*68 = 24.888
Sбит от I = 0.634*0.5*32 = 10,144
Находим угол отклонения битка через теорему косинусов и синусов: √24,888^2 + 10,1444^2 - 2*24.888*10,144*0.5=21,676
21,676/sin60° = 10,144/sinβ
Sinβ ~ 0.405 => β=23° (принимается 20)
Таким образом, угол отклонения битка составит 80°. Вычислим доли прокатов по аналогии с накатом:√24,888^2 + 10,144^2 + 2*24.888*10,144*0.5 = 31,221 (Рис.12 в Приложении)
Sin40° = 0.64
31.221*0.64=y*0.5 => y=39.96
(31.221/(31.221+39.96))*100% = 44%(принимается 45%) – доля проката битка, 55% - доля проката прицельного шара.
Векторная диаграмма раскатки (Рис.13 в Приложении)
Следует отметить, что при увеличении силы удара, при сохранении доли прокатов, биток получает дуговую траекторию из-за проскальзывания битка.
Винт
Максимальный винт достигается нанесением удара «стремительный прокол» в точке ВТ2в, ВТ2н. В каждом случае имеют место разные соотношения составляющих энергий линейного движения, попутного вращение и вращения винта, что выражается углом наклона оси вращения битка ф, отмеренным от горизонтали в стабильной фазе своего движения:
ВТ2в-ф = 45°, ВТ2-ф = 58°, ВТ2н-ф = 66°
При ударах в точки ВТ2в, ВТ2 биток практически сразу приобретает стабильную фазу движения. При ударе в точку ВТ2н биток не сразу приобретает стабильную форму движения. В начальной фазе биток имеет составляющие линейного движения, винта и обратного вращения, потом происходит почти мгновенное перераспределение энергии битка, биток почти мгновенно приобретает составляющую попутного вращения и новые значения линейного движения и винта, при этом меняется угол ф на 66°.
За счет винта происходит искривление траектории движения битка, это связано с силами трения.(Рис.14 в Приложении)
Потеря на винтовое вращение, которое тратится на преодоление силы трения битка о сукно, можно примерно оценить изменением плеча момента силы удара. Прицельный шар после соударения с битком практически не вращается, поскольку в момент соударения сила трения шаров намного превосходит силу сцепления битка и прицельного шара. В результате биток не передает вращение прицельному шару.
Распределение энергии удара в зависимости от точки нанесения хорошо иллюстрируют вычисления плеча момента силы удара. (Рис.15)
Рис.15
√(56^2+34^2-22^2)=61.71-100% проката
√(45^2+11^2+34^2-22^2)=53.08-86% (практическое – 84%, 16% уходит на винтовое вращение)
√(34^2+34^2-22^2)=42.75-70% (практ. – 75%, 25% - винт)
√(25^2+11^2+34^2-22^2)=37.65-61% (практ. – 61%, 39%-винт)
Рассмотрим попадание в лоб при ударе с винтом. (Рис.16 в Приложении) В точке соударения действуют разнонаправленные и равные по величине F1пр в и F1бит в . Векторы этих сил направлены по касательной к точке соударения шаров. Дальнейшее после соударения движение битка обусловлено только имеющейся у битка составляющей наката.
При резке F1пр в остается постоянной величиной, а F1бит в соответствует соей тангенциальной составляющей F1бит в tg, в результате возникает ∆F (разнонаправленная для винта при ударе в точку ВТ2н (винт к лузе) и для винта от лузы (симметрично относительно вертикальной оси ). (Рис.17 в Приложении)
Винт к лузе называют расширяющим, т.к. он расширяет траекторию битка, а винт от лузы – сужающим, поскольку он сужает траекторию битка по отношению к траектории наката.
Если учесть, что 39% проката тратятся на винтовое вращение, то 39%*0,366(танг сост) = 14,27% - соответствует ∆F, но, вспоминая опыт Кориолиса, отнимаем 3%.
Таким образом, в прокат битка от винтового вращения добавляется 11%, перпендикулярно прокату прицельного шара.
Считая линейное движение, накат, составляющую винта, можно определить траекторию движения битка, длину его проката и длину проката прицельного шара. (Рис.18) Делается это аналогично как при накате.
Рис.18
Прокат прицельного шара по подсчетам 34,16% (принимается 35%). Прокат битка – 27,84% (линейное движение + накат) + составляющая винта (11%), принимается 37%, угол составляет 38°
При винте от лузы прокат прицельного шара – 42%, прокат битка – 30%, угол – 28°(Рис.19)
Рис.19
В связи с тем, что составляющая винта работает как при оттяжке, происходит уменьшение проката битка и увеличение проката прицельного шара. В обоих случаях доля энергии, тратящаяся на винтовое вращение, составляет около 28%. При вычислениях принимаем процент энергии наката – 16%, траектория битка представляет собой параболу.
Из всего вышеизложенного можно сделать вывод: траектория прицельного шара (вне зависимости от угла резки) зависит не от видов вращения битка, а только от точки попадания в него битка.
В результате многочисленных исследований, наблюдений, экспериментов, инструментальных измерений, проведенных Калюжным А.И. и математиками в Америке, созданы таблицы, которые представлены мною в виде графиков. На всех графиках можно заметить, что при угле резки от 18° до 30° угол отклонения битка наиболее стабилен. (Рис.20-23 в Приложении)
Заключение
При изучении различной литературы, посвященной бильярду, мне бросилось в глаза следующее: бильярд для великих математиков и физиков – импульс для новых открытий и теорем, которые потом находят применение в реальной жизни.
Кориолис считал свою работу о бильярде самой любимой. Из его построений Гамильтон ввел понятие годограф и доказал теорему о том, что годограф скорости тела, находящегося под влиянием одной только силы тяготения, является окружностью.
Л.Кэролл рассматривал бильярд внутри куба, придумал круглый бильярдный стол, правила игры на нем.
Якоби, Вейль, Пуанкаре, Ферма, Гюйгенс – все они доказывали теоремы, связанные с бильярдом. В 20 веке академики Синай и Крылов рассматривали газ как многомерный и криволинейный бильярд.
Любая проблема имеет много уровней решения, которые зависят от оснащенности того, кто пытается решить ее. Например: Кориолис, описывая движение шаров после столкновения, применял дифференциальные уравнения в логарифмах. В моем проекте я постарался показать и рассказать, что происходит на бильярдном столе в силу своих знаний. Надеюсь, что это вышло понятно и интересно. Особую благодарность хочу выразить Калюжному А.Н. за помощь при написании проекта.
Список литературы.
Г.А.Гальперин, А.Н.Земляков «Математические бильярды» (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики), Москва, «Наука», гл.ред.физ.-мат.лит., 1990 г. (Б-чка «Квант», вып.77), 288 стр.
А.Н.Калюжный «Пособие бильярдиста: математические закономерности игрового бильярда», г.Краснодар, Лицензионное соглашение № 205 от 30.11.2021 г., индивидуального использования книги Калюжный А.Н.-Николаев М.А., 170 стр.
Гаспар Кориолис «Математическая теория явлений бильярдной игры», Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва, 1956 г., 238 стр.
Анатолий Леман «Теория бильярдной игры», ид.1906 г., Санкт-Петербург, типография Н.Н.Клобукова, 296 стр.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ПРОЕКТУ
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ БИЛЬЯРДНЫХ ШАРОВ».
Рис.2
Рис.4
Рис.6
Рис.7
Рис.8
Рис.10
Рис.12
Рис.13
Рис.14
Рис.16
Рис.17
Графики зависимости проката шаров и угла отклонения битка от угла резки.
Рис.20
Рис.21
Рис.22
Рис.23