Николай Иванович Лобачевский – великий реформатор геометрии

XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2022

Николай Иванович Лобачевский – великий реформатор геометрии

Игольникова Е.В. 1
1МБОУ СОШ №1г.о.Красногорск Московская область
Утешева О.Р. 1
1МБОУ СОШ №1г.о.Красногорск Московская область
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Для того, чтобы познакомиться с Н.И. Лобачевским, я поставила цель и определила задачи.

ЦЕЛЬ: изучить биографию Н.И. Лобачевского и выяснить, внёс ли он вклад в геометрию.

ЗАДАЧИ:

Выяснить, как жил Н.И. Лобачевский до учёбы.

Узнать, как проходила жизнь Н.И. Лобачевского во время учёбы в университете.

Познакомиться с открытием Н. И. Лобачевского.

Узнать, чем отличается геометрия Н.И. Лобачевского от геометрии Евклида.Познакомиться с представлением геометрии Н.И. Лобачевского в пространстве.

Выяснить, где используются открытия Н.И. Лобачевского.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Жизнь Н.И. Лобачевского до учёбы.

Великий русский математик и основатель неевклидовой геометрии Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря 1792 года в Нижнем Новгороде. Лобачевский был вторым из трёх детей, рождённых в семье землеустроителя в городе Нижний Новгород. Когда ему было всего 8 лет, его отец умер, оставив вдову и трёх детей практически без средств к существованию. В попытке избежать бедности его мать переехала в Казань к своим родителям. Здесь она смогла поместить сыновей в специальную гимназию, которая готовила студентов к поступлению в Московский университет. Все три ребёнка любили учиться, а у Николая ещё в детстве обнаружился особый математический дар.

Жизнь Н.И. Лобачевского во время учёбы в университете.

В феврале 1807 года в возрасте 14 лет Н.И. Лобачевский поступил в Казанский университет.

Одним из самых интересных и уважаемых профессоров в университете был Мартин Бартельс. И он заметил талантливого молодого человека. Бартельс учил Лобачевского четыре дополнительных часа в неделю.

Лобачевский полностью посвятил себя учёбе и развитию математических способностей. В 1811 году он получил степень магистра по математике и физике. Кроме того, ему было разрешено продолжить обучение в университете для получения звания профессора.

Через пять лет Лобачевский стал лектором, что положило начало его 30-тилетней карьере в Казанском университете. Профессор Бартельс, который к тому времени преподавал в России уже в течение 12 лет, передал все обязанности лучшему ученику и уехал в Европу.

В 1927 году 35-летний Лобачевский был избран ректором Казанского университета. Он принёс долгожданное пробуждение — реорганизовал персонал, построил новые лаборатории и обсерватории, наладил издание местной газеты «Казанский вестник».

Открытие Н.И. Лобачевского.

В 1826г Лобачевский представляет «Изложение начал геометрии». В статье «О началах геометрии» ученый пишет о том, как уже много веков научное сообщество не подвергало сомнению гипотезу Евклида «о параллельных прямых». Николай Иванович доказал эту гипотезу до полного отрицания оной.

Лобачевский вместо пятого постулата сформулировал новую аксиому параллельных прямых, которая по смыслу оказалась прямо противоположна пятому постулату Евклида:

Через точку вне прямой можно провести не одну прямую, не встречающуюся с данной прямой, а по крайней мере две.”

Чем отличается геометрия Н.И. Лобачевского от геометрии Евклида.

Ло­ба­чев­ский стро­ил свою гео­мет­рию, отталкива­ясь от ос­нов­ных гео­мет­рических по­ня­тий и сво­ей ак­сио­мы, и до­ка­зы­вал тео­ре­мы гео­мет­рическим ме­то­дом.Ос­но­вой слу­жи­ла тео­рия па­рал­лель­ных ли­ний, т. к. имен­но здесь на­чи­на­ет­ся от­ли­чие его геометрии от гео­мет­рии Евк­ли­да. Ни­же пе­ре­чис­ле­ны несколько фак­тов, ус­та­нов­лен­ных са­мим Н. И. Ло­ба­чев­ским, ко­то­рые от­ли­ча­ют его геометрию от гео­мет­рии Евк­ли­да.

1) В геометрии Лобачевского не су­ще­ст­ву­ет по­доб­ных, но не рав­ных, тре­уголь­ни­ков; тре­уголь­ни­ки рав­ны, ес­ли их уг­лы рав­ны. По­это­му су­ще­ст­ву­ет аб­со­лют­ная еди­ни­ца дли­ны, т. е. от­ре­зок, вы­де­лен­ный по сво­им свой­ст­вам, по­доб­но то­му, как пря­мой угол вы­де­лен свои­ми свой­ст­ва­ми. Та­ким от­рез­ком мо­жет слу­жить, например, сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка с дан­ной сум­мой уг­лов.

2) Сум­ма уг­лов вся­ко­го тре­уголь­ни­ка мень­ше π и мо­жет быть сколь угод­но близ­кой к ну­лю.

3) Че­рез точ­ку O, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой a, про­хо­дит бес­ко­неч­но мно­го пря­мых, не пе­ре­се­каю­щих и на­хо­дя­щих­ся с ней в од­ной плос­ко­сти; сре­ди них есть две край­ние b и b′, ко­то­рые назы­ва­ют­ся па­рал­лель­ны­ми пря­мой a в смыс­ле Ло­ба­чев­ско­го.

4) Ес­ли пря­мые име­ют об­щий пер­пен­ди­ку­ляр, то они бес­ко­неч­но рас­хо­дят­ся в обе сто­ро­ны от не­го.

5) Ли­ния рав­ных рас­стоя­ний от пря­мой есть не пря­мая, а осо­бая кри­вая, на­зы­вае­мая эк­ви­ди­стан­той или ги­пер­цик­лом.

6) Пре­дел бес­ко­неч­но рас­ту­щих ок­руж­но­стей есть не пря­мая, а осо­бая кри­вая, на­зы­вае­мая пре­дель­ной ок­руж­но­стью или ори­цик­лом.

7) Пре­дел сфер бес­ко­неч­но уве­ли­чи­ваю­ще­гося ра­диу­са есть не плос­кость, а осо­бая по­верх­ность – пре­дель­ная сфе­ра, или ори­сфе­ра; приме­ча­тель­но, что на ней име­ет ме­сто евк­ли­до­ва гео­мет­рия. Это по­слу­жи­ло Ло­ба­чев­ско­му ос­но­вой для вы­во­да фор­мул три­го­но­мет­рии.

8) Дли­на ок­руж­но­сти не про­пор­цио­наль­на ра­диу­су, а рас­тёт бы­ст­рее, чем ра­ди­ус.

9) Чем мень­ше об­ласть в про­стран­ст­ве или на плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го, тем мень­ше мет­рические со­от­но­ше­ния в этой об­лас­ти от­ли­ча­ют­ся от со­от­но­ше­ний евк­ли­до­вой гео­мет­рии. Например, чем мень­ше тре­уголь­ник, тем мень­ше сум­ма его уг­лов от­ли­ча­ет­ся от π.

Представление геометрии Н.И. Лобачевского в пространстве.

Плос­кость Ло­ба­чев­ско­го – это плос­кость (мно­же­ст­во то­чек), в ко­то­рой оп­ре­де­ле­ны пря­мые ли­нии (а так­же дви­же­ния фи­гур, рас­стоя­ния, уг­лы и пр.), под­чи­няю­щие­ся всем ак­сио­мам евк­ли­до­вой гео­мет­рии, за ис­клю­че­ни­ем ак­сио­мы о па­рал­лель­ных прямых, ко­то­рая за­ме­ня­ет­ся сфор­му­ли­ро­ван­ной вы­ше ак­сио­мой Ло­ба­чев­ско­го. Сход­ным об­ра­зом оп­ре­де­ля­ет­ся про­стран­ст­во Ло­ба­чев­ско­го. 

Если точкам и прямым на конечном участке плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие (геодезические) линии на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере.

Однако здесь даётся только локальная интерпретация геометрии, то есть на ограниченном участке, а не на всей плоскости Лобачевского.

Где используются открытия Н.И. Лобачевского.

Формулы геометрии Лобачевского используются в физике высоких энергий, а именно в расчетах ускорителей заряженных частиц. Гиперболические пространства встречаются и в самой природе.

Сам Лобачевский применял неевклидову геометрию для вычисления определенных видов интегралов при нахождении длины, площади или объема фигуры в своей геометрии. Но применение новых знаний не ограничилось математикой.

Спутниковые навигационные системы (GPS и ГЛОНАСС) состоят из двух частей: орбитальная группировка из 24–29 спутников, равномерно расположенных вокруг Земли, и управляющий сегмент на Земле, обеспечивающий синхронизацию времени на спутниках и использование ими единой системы координат. Для работы навигаторов нужны очень точные часы на спутниках орбитальной группировки. Поэтому на них установлены очень точные атомные часы, а в приемниках (GPS-навигаторах) обычные, кварцевые. Ход часов в этих условиях изменяется благодаря известному в специальной теории относительности эффекту: из-за большой скорости спутника часы на орбите идут иначе, чем такие же часы на Земле. Но кроме этого, есть и специфический для общей теории относительности эффект такого рода, связанный как раз с неевклидовой геометрией пространства-времени. И если в какой-то момент отключить учёт этих эффектов, то уже за сутки работы в показаниях навигационный системы накопится ошибка порядка 10 км.

Также геометрия Лобачевского используется в астрономии: при описании голографической Вселенной или черных дыр.

Применяется геометрия Лобачевского и в живописи. Нидерландский художник Мауриц Корнелис Эшер известен благодаря своим работам, где он использует геометрию Лобачевского. Самые знаменитые работы Эшера построены как визуальные обманки, но по сути являются визуальным воплощением неевклидова пространства. Эшер не доказывал теорем с помощью своих рисунков, просто демонстрировал удивительные возможности нашего восприятия. Его самые известные работы – это “ Картинная галерея” и “Относительность”.

Замечательное применение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным, то оказывается, что при определённых условиях пространство подчиняется геометрии Лобачевского.

Геометрия Лобачевского проглядывает в структурах кораллов, в организации клеточных структур у растений, в архитектуре, в строении цветков некоторых растений и т.д.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Н. И. Лобачевский умер 24 февраля 1856г. И, к сожалению, так и не дожил до признания своего главного открытия.

ВЫВОД: можно сказать, что Н.И. Лобачевский был одним из великих математиков, который открыл совершенно новый раздел геометрии, над которым никто и не задумывался. Он опроверг постулат великого учёного Евклида. Благодаря Н.И. Лобачевскому люди смогли усовершенствовать свои изобретения и, тем самым, упростить себе жизнь. Кроме того, человечество сильно продвинулось в науке и познании мира.

Просмотров работы: 9