XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2022
Николай Иванович Лобачевский – великий реформатор геометрии
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Для того, чтобы познакомиться с Н.И. Лобачевским, я поставила цель и определила задачи.
ЦЕЛЬ: изучить биографию Н.И. Лобачевского и выяснить, внёс ли он вклад в геометрию.
ЗАДАЧИ:
Выяснить, как жил Н.И. Лобачевский до учёбы.
Узнать, как проходила жизнь Н.И. Лобачевского во время учёбы в университете.
Познакомиться с открытием Н. И. Лобачевского.
Узнать, чем отличается геометрия Н.И. Лобачевского от геометрии Евклида.Познакомиться с представлением геометрии Н.И. Лобачевского в пространстве.
Выяснить, где используются открытия Н.И. Лобачевского.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Жизнь Н.И. Лобачевского до учёбы.
Великий русский математик и основатель неевклидовой геометрии Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря 1792 года в Нижнем Новгороде. Лобачевский был вторым из трёх детей, рождённых в семье землеустроителя в городе Нижний Новгород. Когда ему было всего 8 лет, его отец умер, оставив вдову и трёх детей практически без средств к существованию. В попытке избежать бедности его мать переехала в Казань к своим родителям. Здесь она смогла поместить сыновей в специальную гимназию, которая готовила студентов к поступлению в Московский университет. Все три ребёнка любили учиться, а у Николая ещё в детстве обнаружился особый математический дар.
Жизнь Н.И. Лобачевского во время учёбы в университете.
В феврале 1807 года в возрасте 14 лет Н.И. Лобачевский поступил в Казанский университет.
Одним из самых интересных и уважаемых профессоров в университете был Мартин Бартельс. И он заметил талантливого молодого человека. Бартельс учил Лобачевского четыре дополнительных часа в неделю.
Лобачевский полностью посвятил себя учёбе и развитию математических способностей. В 1811 году он получил степень магистра по математике и физике. Кроме того, ему было разрешено продолжить обучение в университете для получения звания профессора.
Через пять лет Лобачевский стал лектором, что положило начало его 30-тилетней карьере в Казанском университете. Профессор Бартельс, который к тому времени преподавал в России уже в течение 12 лет, передал все обязанности лучшему ученику и уехал в Европу.
В 1927 году 35-летний Лобачевский был избран ректором Казанского университета. Он принёс долгожданное пробуждение — реорганизовал персонал, построил новые лаборатории и обсерватории, наладил издание местной газеты «Казанский вестник».
Открытие Н.И. Лобачевского.
В 1826г Лобачевский представляет «Изложение начал геометрии». В статье «О началах геометрии» ученый пишет о том, как уже много веков научное сообщество не подвергало сомнению гипотезу Евклида «о параллельных прямых». Николай Иванович доказал эту гипотезу до полного отрицания оной.
Лобачевский вместо пятого постулата сформулировал новую аксиому параллельных прямых, которая по смыслу оказалась прямо противоположна пятому постулату Евклида:
“Через точку вне прямой можно провести не одну прямую, не встречающуюся с данной прямой, а по крайней мере две.”
Чем отличается геометрия Н.И. Лобачевского от геометрии Евклида.
Лобачевский строил свою геометрию, отталкиваясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом.Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие его геометрии от геометрии Евклида. Ниже перечислены несколько фактов, установленных самим Н. И. Лобачевским, которые отличают его геометрию от геометрии Евклида.
1) В геометрии Лобачевского не существует подобных, но не равных, треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому, как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.
2) Сумма углов всякого треугольника меньше π и может быть сколь угодно близкой к нулю.
3) Через точку O, не лежащую на данной прямой a, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих a и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние b и b′, которые называются параллельными прямой a в смысле Лобачевского.
4) Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него.
5) Линия равных расстояний от прямой есть не прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой или гиперциклом.
6) Предел бесконечно растущих окружностей есть не прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью или орициклом.
7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса есть не плоскость, а особая поверхность – предельная сфера, или орисфера; примечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это послужило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
8) Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее, чем радиус.
9) Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше метрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от π.
Представление геометрии Н.И. Лобачевского в пространстве.
Плоскость Лобачевского – это плоскость (множество точек), в которой определены прямые линии (а также движения фигур, расстояния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется сформулированной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется пространство Лобачевского.
Если точкам и прямым на конечном участке плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие (геодезические) линии на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере.
Однако здесь даётся только локальная интерпретация геометрии, то есть на ограниченном участке, а не на всей плоскости Лобачевского.
Где используются открытия Н.И. Лобачевского.
Формулы геометрии Лобачевского используются в физике высоких энергий, а именно в расчетах ускорителей заряженных частиц. Гиперболические пространства встречаются и в самой природе.
Сам Лобачевский применял неевклидову геометрию для вычисления определенных видов интегралов при нахождении длины, площади или объема фигуры в своей геометрии. Но применение новых знаний не ограничилось математикой.
Спутниковые навигационные системы (GPS и ГЛОНАСС) состоят из двух частей: орбитальная группировка из 24–29 спутников, равномерно расположенных вокруг Земли, и управляющий сегмент на Земле, обеспечивающий синхронизацию времени на спутниках и использование ими единой системы координат. Для работы навигаторов нужны очень точные часы на спутниках орбитальной группировки. Поэтому на них установлены очень точные атомные часы, а в приемниках (GPS-навигаторах) обычные, кварцевые. Ход часов в этих условиях изменяется благодаря известному в специальной теории относительности эффекту: из-за большой скорости спутника часы на орбите идут иначе, чем такие же часы на Земле. Но кроме этого, есть и специфический для общей теории относительности эффект такого рода, связанный как раз с неевклидовой геометрией пространства-времени. И если в какой-то момент отключить учёт этих эффектов, то уже за сутки работы в показаниях навигационный системы накопится ошибка порядка 10 км.
Также геометрия Лобачевского используется в астрономии: при описании голографической Вселенной или черных дыр.
Применяется геометрия Лобачевского и в живописи. Нидерландский художник Мауриц Корнелис Эшер известен благодаря своим работам, где он использует геометрию Лобачевского. Самые знаменитые работы Эшера построены как визуальные обманки, но по сути являются визуальным воплощением неевклидова пространства. Эшер не доказывал теорем с помощью своих рисунков, просто демонстрировал удивительные возможности нашего восприятия. Его самые известные работы – это “ Картинная галерея” и “Относительность”.
Замечательное применение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным, то оказывается, что при определённых условиях пространство подчиняется геометрии Лобачевского.
Геометрия Лобачевского проглядывает в структурах кораллов, в организации клеточных структур у растений, в архитектуре, в строении цветков некоторых растений и т.д.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Н. И. Лобачевский умер 24 февраля 1856г. И, к сожалению, так и не дожил до признания своего главного открытия.
ВЫВОД: можно сказать, что Н.И. Лобачевский был одним из великих математиков, который открыл совершенно новый раздел геометрии, над которым никто и не задумывался. Он опроверг постулат великого учёного Евклида. Благодаря Н.И. Лобачевскому люди смогли усовершенствовать свои изобретения и, тем самым, упростить себе жизнь. Кроме того, человечество сильно продвинулось в науке и познании мира.