XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке. Летняя площадка 2022

Великое начинается с малого

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Погорелова А.В. 1

---

1МОУ СШ № 56

Буханцева А.А. 1

---

1МОУ СШ № 56

Работа в формате PDF

1.1 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Преодоление трудного начинается с легкого,

осуществление великого начинается с малого,

ибо в мире трудное образуется из легкого

а великое — из малого».

Лао-Цзы

(древнекитайский философ VI—V век до н. э.)

Введение. Легенда об изобретении шахмат.

Я играю в шахматы с 9 лет (Приложение 1). Многие считают шахматы азартной интеллектуальной игрой. Другие — развлечением и проведением досуга. Кто-то — искусством, причем наравне с театром или наукой. А некоторые приводят аналогию с военной битвой. Для меня шахматы – это интересное занятие, которому я посвящаю много времени, поэтому меня не мог не заинтересовать вопрос об истории возникновения этой замечательной игры.

История шахмат насчитывает не менее полутора тысяч лет. Считается, что игра-прародитель, чатуранга, появилась в Индии не позже 6 века нашей эры. По мере распространения игры на Арабский Восток, затем в Европу и Африку, правила менялись. В том виде, который игра имеет в настоящее время, она сформировалась к 15 веку. Так изобретённые в Индии в 5 - 6 столетии шахматы распространились практически по всему миру и стали неотъемлемой частью человеческой культуры. Русское название игры берёт начало из персидского языка: «шах» и «мат», что значит «властитель умер».

Но не это меня заинтересовало больше всего. Изучая историю возникновения игры в Интернете, я встретила немало интересных легенд . Но одна из них вызвала у меня наибольший интерес .

Звучит легенда так:

Когда индусский раджа Шерам познакомился с игрой в шахматы, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повели­теля. Это был скромно одетый ученый, получавший сред­ства к жизни от своих учеников.

– Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, – сказал раджа.

Мудрец поклонился.

– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, – продолжал раджа.– Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

– Не робей, – ободрил его раджа. – Выскажи свое пожелание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

– Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил раджу беспримерной скромностью своей просьбы.

– Повелитель, – сказал Сета,– прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

– Просто пшеничное зерно? – изумился раджа.

– Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32...

– Довольно, – с раздражением прервал его раджа.– Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом раджа вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

– Повелитель, – был ответ, – приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Раджа нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, раджа еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

– Повелитель, – ответили ему,– математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

– Почему медлят с этим делом? – гневно воскликнул раджа. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

Утром радже доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Раджа приказал ввести его.

– Прежде чем скажешь о твоем деле, – объявил Шерам,– я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

– Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час,– ответил старик.– Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико...

– Как бы велико оно ни было, – надменно перебил раджа, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана...

– Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду. С изумлением внимал царь словам старца.

– Назови же мне это чудовищное число, – сказал он в раздумье.
– Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиардов семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!..

Легенда показалась мне невероятной.

Гипотеза: Насколько реалистична древняя легенда? Если два (не беря во внимание единицу на первой клетке) умножить на два шестьдесят три раза, а затем к единице прибавить все шестьдесят три произведения, то получится столь «великое» число, о котором гласит легенда?

Проблема исследования: проверить число зёрен, подсчитанное древними математиками. Сколько зёрен пшеницы поместится на 64 клетках шахматной доски? Оценить столь «великое» число в привычных для современного школьника единицах измерения (масса и объём), а также оценить возможность получения такого количества зерна в условиях реального земледелия.

Объект исследования: исследовать математическую зависимость увеличения 1 зерна на первой клетке шахматной доски до «великого» числа зёрен на 64-й клетке, затем найти их сумму.

Цель исследования: высчитать количество зёрен доступным мне способом, оценить полученное количество зерна в привычных единицах объёма и массы.

В соответствии с поставленной целью мною были сформулированные следующие задачи:

- Проверить правдивость легенды (выполнить вычисления).

- Оценить полученное число.

- Оценить возможность получения такого урожая зерна в настоящее время.

- Оценить размер данного вознаграждения (объём или масса) и рассчитать размеры амбара для хранения столь «великого» урожая.

Математические расчёты, которые подтвердят или опровергнут легенду.

Чтобы убедиться в получении столь «великого» числа, мне было необходимо провести некоторые расчёты. Я начала считать:

1 клетка - 1 зерно, 2 клетка – 2 зерна, 3 клетка – 4 зерна, 4 клетка – 8 зерен, 5 клетка – 16 зерен, 6 клетка – 32 зерна и т.д.

Мне казалось, что такой подсчет пройдет быстро. Но дойдя до 11 клетки, я получила 1024 зерна. Я поняла, что количество зёрен на каждой последующей клетке начинает стремительно расти, и такой способ подсчёта не совсем удобен.

Еще я заметила, что количество зёрен на каждой клетке является степенью числа 2, т.е.:

1 = 2⁰, 2 = 2¹, 4 = 2², 8 = 2³, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵ и т.д.

Таким образом, сумму чисел 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +… можно заменить следующей суммой: 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + …+ 2⁶³.

 Последнее слагаемое показывает, сколько зёрен находится на 64-ой клетке шахматной доски.

 Обозначу данную сумму:

S = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + …+ 2⁶³, тогда
2S = 2 · (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + …+ 2⁶³) = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2⁶⁴ и 
S = 2S – S = (2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2⁶⁴) – (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + . . . + 2⁶³) = 

= 2⁶⁴ – 2⁰ = 2⁶⁴ – 1.

Необходимое число зёрен S = 2⁶⁴ – 1.

Значит, подсчет сводится лишь к перемножению 64 двоек! (А уж единицу потом вычесть смогу).

S = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · … · 2 · 2 – 1.   Чтобы облегчить вычисления, разделила 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и в последней группе - 4 двойки.

Произведение 10 двоек (т.е 2¹⁰), равно 1 024, а 4 двоек (т.е. 2⁴) = 16. Значит, искомый результат равен:

S = 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 16 – 1.

Так как 1024 · 1024 = 1 048 576 (для вычисления данного произведения воспользовалась калькулятором),

то S = 1 048 576 · 1 048 576 · 1 048 576 · 16 – 1.

Для вычисления произведения трёх семизначных чисел на одно двузначное воспользоваться калькулятором не получилось. Чтобы упростить свои вычисления я воспользовалась индийским способом умножения (Приложение 2). Терпение и аккуратность в подсчётах помогли мне получить следующий результат: S = 18 446 744 073 709 551 615 (зёрен) (Приложение 3).

Из малого получилось «великое»: Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

Но и это еще не все. Во время вычислений я обратила внимание на то, что на первой половине шахматной доски количество зёрен велико, но на второй половине многократно его превышает.

Количество зёрен на первой половине доски составляет 1 + 2 + 4 + … + 2 147 483 648, всего 2³² — 1 = 4 294 967 295 зёрен.

Количество зерна на второй половине доски составляет 

2³² + 2³³ + 2³⁴ … + 2⁶³ = 2⁶⁴ —2³² зёрен.

На одной только 64-й клетке доски будет 2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808 зёрен, более чем в 2 миллиарда раз больше, чем на первой половине доски.

После проведенных вычислений мне стало понятно, как в результате получается «великое» число зёрен, упомянутое в легенде.

Первая часть работы выполнена.

Эксперименты, опыты и снова расчёты

Мне трудно представить, какова масса или объём такого количества зёрен. Чтобы это оценить мне предстояло выполнить ещё кое-какие расчёты и эксперименты. Для этого мне пришлось ответить на несколько вопросов.

1 вопрос: Какова масса подсчитанного количества зёрен пшеницы?

Массу пшеничного зерна можно найти в Интернете, но я решила определить её экспериментально. На рынке я купила 1 кг пшеницы. Пересчитывать пшеницу массой 1 кг я не стала. Отмерила 100г и кропотливо пересчитала все зёрна (Приложение № 4.).

В этой, не сложной на первый взгляд работе, мне активно помогали одноклассники. Оказалось 1538 зёрен. Таким образом, средний вес одного зёрнышка пшеницы ≈ 0,065г.

Тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит: 

18 446 744 073 709 551 615 · 0,065 г = 1,8 · 10¹⁹ · 0,065г = 0,117 · 10¹⁹ г =

= 1,17 · 10¹⁸ г = 1,17 · 10¹⁵ кг = 1,17 · 10¹² тонн (примерно, один триллион тонн!). Для сравнения: В 2019 году от шельфового ледника Эймери в Восточной Антарктиде откололся самый крупный за последние 50 лет айсберг массой 1 триллион тонн! Его площадь равна 1,6 тыс. кв. км, его толщина около 210 метров.

2 вопрос: Во сколько раз «награда» мудреца превышает мировой урожай пшеницы 2021 года?

По сведениям Экспертно-аналитического центра «Агробизнес» в 2021 году мировой урожай пшеницы составил 746 млн тонн . А это, примерно, в 1600 раз меньше того, что предстояло выдать мудрецу. Это значит, что современное «земледелие» за 1600 лет справиться с поставленной задачей!

3 вопрос: В легенде было выдвинуто предположение: если высушить все моря и океаны, растопить льды на северном и южном полюсах и всю поверхность Земли засеять пшеницей, то за несколько лет можно получить такой урожай и расплатиться с мудрецом? Я решила узнать, за сколько лет можно получить такой урожай?

Пусть площадь поверхности Земли ≈ 510 млн кв км , соответственно 51 млрд га . Возьмем среднюю урожайность пшеницы по России (по статистике 2021 года) ≈ 40 ц/га . Теоретически мы можем получить урожай:

2040 млрд центнеров = 204 млрд тонн. Это количество зерна, примерно, в 5,7 раз меньше того, что причитается в награду. А значит, такой урожай (в условиях современного земледелия) можно получить в течение 6 лет.

4 вопрос: Если все-таки такой урожай удастся собрать, то какой потребуется амбар, чтобы его сложить?

Сначала высчитаю объём предполагаемого урожая. Нашла в Интернете информацию о том, что 1 куб м пшеницы весит ≈ 800кг = 0,8т . Значит, весь собранный урожай принимает объём:

≈ 1 500 000 000 000 куб м = 1 500 куб км.

А этот объём чуть больше запаса пресной воды в реках мира или почти в 2 раза больше объёма воды в озере Титикака (Южная Америка) , объём воды в котором 710 куб км.

Если начнем строить амбар шириной 10 м и высотой 5 м, то длина такого амбара (l) будет равна

30 000 000 000 м (или 30 000 000 км).

Такая длина амбара, примерно, в 750 раз превышает длину экватора (длина Экватора = 40 075 696 м) .

Заключение. Совет древнему правителю от современного школьника.

Работая над проектом, я провела вычисления, эксперименты, опыты, собирала информацию в различных источниках. Теперь я могу с уверенностью сказать, что-то в этой легенде правда, а что-то вымысел.

Очевидно, индусский раджа Шерам был не силен в математике, поэтому так опрометчиво дал обещание, которое выполнить не смог.

При написании этой работы я поняла простую истину, которую древний правитель так и не осознал: из небольших крупиц знаний мы получаем огромное представление об окружающем нас мире с его законами и закономерностями, которые помогут каждому в минуту принятия решения и подскажут правильный ответ.

Если бы у меня была возможность, я бы дала совет древнему правителю, как выпутаться из неловкой сложившейся ситуации: пусть великий мудрец - изобретатель шахмат, сам отсчитает себе награду.

Список источников и литературы

 Перельман Я.И. Легенда о шахматной доске // Живая математика. — 8-е изд., переработанное и дополненное. — M.: Наука, 1967. — С. 87—91.

https://chess-boom.online/legendy-o-shaxmat/

http://pochemuha.ru/kak-umnozhali-v-drevnej-indii

https://vz.ru/news/2019/10/1/1000567.html

https://zerno.ru/node/16668

https://zerno.ru/node/16790

https://delo1.com/udelnyi_ves_.php?kod=375

https://wikiway.com/peru/ozero-titikaka/

http://www.vokrugsveta.ru/article/206797/

https://in-space.ru/planeta-zemlya/

Приложение № 1

Приложение №2

Индийский способ умножения.

Такой способ умножения использовали в Древней Индии.

Для умножения, например,357 на 49 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Числа запишем в каждую клеточку одно под другим. Далее будем умножать каждую цифру числа 357 сначала на 4, затем на 9 и записывать произведения друг под другом так, как показано на рисунке.

Как можно видеть, мы получаем большой список произведений. Индийцы, имевшие большую практику, писали каждую цифру не в соответствующую колонку, а сверху, насколько это было возможно. Затем они складывали цифры в колонках и получали результат.

Вывод: Способ умножения очень похож на наш традиционный способ «столбиком». Метод удобен тем, что нет необходимости «держать в уме» цифру десятков в случае, если произведение цифр – двузначное число.

Приложение № 3

Приложение № 4