XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке. Летняя площадка 2022

Способы решения логических задач

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Санникова А.А. 1

---

1МБОУ “Многопрофильный лицей №10” ЕМР РТ

Санникова Г.И. 1

---

1МБОУ “Многопрофильный лицей №10” ЕМР РТ

Работа в формате PDF

154.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Мои одноклассники думают, что для занятий математикой необходимо особые способности. Я считаю, что это не так. Обычных средних способностей вполне достаточно для того, чтобы сознательно усвоить математику. Успех в математике зависит от умения пользоваться научной литературой, от памяти, от умения анализировать, последовательно рассуждать и делать выводы. Все способности, необходимые для математиков, не даются человеку готовыми при рождении. Они развиваются и крепнут в ходе творческого изучения математики. Нужно помнить, что математический талант – это прежде всего напряженный труд. Я полагаю, что именно, логические задачи развивают умение анализировать и обобщать данные, искать возможные пути решения, формировать стратегию, проверять данные на достоверность, развивают математические способности и талант человека.  Каждый день мы, сами того не замечая, решаем логические задачи.  Логические навыки применяются во многих профессиях: например, строителю нужно уметь логически мыслить, чтобы купить нужный материал для строительства. Рабочим в цехах нужно знать логику, чтобы сократить время производства одной единицы вырабатываемого объекта и, следовательно, увеличить дневную выработку. Космонавтам при проблемах с космическим кораблём необходима логика для продумывания дальнейшей стратегии. Планировщикам также нужна логика, чтобы подобрать правильное место для строительства здания и так далее. Также логика используется и в обычной жизни, например, поход за продуктами, выбор одежды, сбор вещей, посадка растений в саду и в огороде . К логическим задачам относятся текстовые задачи, цель решения которых состоит в распознавании объектов или расположении их в определенном порядке в соответствии с заданными условиями. Задачи на перемещение, перекладывание, взвешивание, переливание — самые яркие примеры нестандартных задач на логику. Знание и понимание различных методов решения поможет определить, какой способ подойдет лучше в каждом конкретном случае, чтобы выбрать наиболее быстрый и простой путь получения ответа. Моя работа посвящена изучению способов решения логических задач. Логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.  При решении логических задач предоставляется возможность подумать над необычным условием, рассуждать. Это у меня  вызывает и сохраняет интерес к математике. Логически обоснованное решение – лучший способ развития творческих способностей. Актуальность работы в том, что знание различных методов решения логических задач увеличивает успешность их решения, позволяет учиться мыслить логически, творчески рассуждать и ясно излагать свои мысли.  Методы, используемые при работе над темой: теоретический анализ литературы, практическая работа – решение задач, анализ собственного опыта. Объект исследования: логические задачи. Предмет исследования: методы решения логических задач Цель исследовательской работы: рассмотреть методы решения логических задач. Гипотеза исследования: знание различных методов решения логических задач позволит хорошо подготовиться к олимпиаде по математике, к ЕГЭ. . Цель, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие задачи: изучить литературу по данной теме; рассмотреть виды логических задач; изучить различные методы решения логических задач. проанализировать и оценить достоинство каждого метода. привести примеры решения олимпиадных задач, задач из КИМ ЕГЭ

1. Что такое логическая задача

Рассматриваются различные взгляды на понятие "логическая задача" в современной литературе. Подходы к определению понятия «логическая задача» в литературе не имеют строгой трактовки. В.А. Далингер, говоря о роли логических задач в обучении математике, относит к таковым те задачи, которые «вызывают у ученика непроизвольный интерес, являющийся следствием необычности сюжета задачи, необычности формы её подачи. Решение таких задач вызывает у учащихся внутренний положительный отклик, развивает у них любознательность. Успешность решения таких задач не должна жестко зависеть от уровня обученности школьников, от овладения ими программного материала». [1] Д.В. Клеменченко относит к логическим задачам те, при решении которых главное определяющее – это отыскание связей между фактами (часто скрытыми), их сопоставление; установление для достижения поставленной цели цепочки рассуждений, а вот вычисления, построения играют здесь как бы вспомогательную роль. [2] Под логической задачей Шатова Н. Д. понимает задачу, где основным видом деятельности является выявление отношений между объектами задачи, а не нахождение количественных характеристик объекта. [3] Задачи на логику – это такие задачи, при решении которых определяющим фактором является обнаружение связей между данными задачи и их анализ, причем, результатом является составление последовательных суждений, а любые вычисления и построения играют вспомогательную роль или отсутствуют.

2. Виды логических задач

В ходе анализа литературы я узнала, что существуют различные классификации логических задач. Классификация О.Б. Богомоловой считается более полной. Богомолова, проводя классификацию логических задач по смысловому содержанию и методическим приемам решения, выделила в 6 видов: задачи с отношениями; задачи с использованием схем и таблиц; задачи, решаемые на переправу; задачи, решаемые с помощью графов; задачи на перебор возможных вариантов; занимательные задачи.

2.1. Задачи с отношениями Логические задачи с транзитивными отношениями: «больше» , «меньше», «равно» и другими.

Необходимым условием успешного решения таких задач является умение перейти от отношений разного вида между элементами задачи к отношениям одного вида. Например, если в задаче встречаются отношения «легче» и «тяжелее», то надо заменить отношение «легче» отношением «тяжелее» с соответствующей перестановкой исходных данных.

их излишек или несоответствие. Такие задачи нужно очень внимательно читать. Задача 1. В одном классе учатся три товарища Сережа, Толя, Юра. По росту они немного отличаются друг от друга, поэтому на уроке физкультуры в шеренге они стоят подряд по росту. Сережа не ниже Толи, Юра не выше Толи, Сережа выше Юры. Кто из них ниже всех, средний по росту и выше всех? Ответ: нельзя ответить на вопрос задачи, так как ребята могут быть одного роста («не ниже», «не выше»); избыток условий. Есть такие логические задачи, требующие дополнительные условия (ограничения). Задача 2. Два мальчика играют на гитарах, а один — на балалайке. На чем играет Юра, если Миша с Петей играют на разных инструментах и Петя с Юрой — тоже? Ответ: Юра играет на гитаре. Задачи с несколькими отношениями. Задачи на сравнение элементов в отношениях. Результат сравнения обозначается с помощью терминов «равно», «больше» , «меньше» в зависимости от отношения сравниваемого объекта к другому объекту, с которым его сравнивают. Существует много разнообразных задач, которые решаются с помощью сравнения данных. Для решения таких задач надо найти одинаковые компоненты, исключить их и по оставшимся условиям сделать вывод. Задача 3. На чашечных весах взвесили четырех кошек и трех котят, их вес оказался равным 15 кг. Затем взвесили трех кошек и четырех котят, их вес составил 13 кг. Найти вес одной кошки и одного котенка, считая вес всех кошек одинаковым и вес всех котят также одинаковым. Ответ: кошка весит З кг, котенок — 1 кг.

2.2. Задачи, решаемые с помощью схем и таблиц.

С помощью схем и таблиц решаются задачи с четырьмя, пятью и более парами элементов. Задача 4. Галя, Марина и Оля пришли на праздничный утренник в платьях разных цветов — желтом, синем и розовом. Галя была не в жёлтом, Марина — не в желтом и не в розовом. В платье какого цвета была каждая из девочек?

Ответ: Оля была в жёлтом платье, Марина — в синем, Галя — в розовом. Задача 5. Три товарища — Аркаша, Дима, Володя — пошли в лес за грибами, причем каждый из них со своей сестрой. Девочек зовут Галя, Лена, Оля. Мальчики быстро наполнили грибами свои корзинки и стали помогать девочкам. Назовите имя каждого из ребят, если оказалось, что ни один из них не помогал своей сестре и что Дима несколько грибов положил в корзинку Гале, а Аркаша — в корзинку Гале и Оле. Ответ: сестра Володи — Галя, Димы — Оля, Аркаши — Лена. Задача 6. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в спортивном соревновании. На вопрос, какие места они заняли, они честно ответили:— Коля не занял ни первое, ни четвертое место; — Боря занял второе место; — Вова не был последним. Какое место занял каждый мальчик?

Ответ: в соревнованиях Вова занял первое место, Боря — второе, Коля — третье, Юра — четвертое.

2.3. Задачи на переправу.

Трудность задач на переправу связана с ограниченной грузоподъемностью плавательных средств в условиях задач и с количеством и особенностями пассажиров. Запись хода решения задачи в виде схемы помогает представить содержание задачи и, что самое главное, помогает пониманию хода рассуждений.

Задача 7. Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река, у берега которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям? Сколько времени (минимально) потребуется на переправу, если каждая поездка через реку занимает З минуты?

Ответ: на переправу потребуется 15 минут.

2.4. Задачи, решаемые с помощью графов. Граф – это набор точек, некоторые из которых соединены линиями.

Не все точки могут соединяться друг с другом и не обязательно отрезками, а произвольными линиями-дугами. Четкого, строгого обозначения вершин не существует, обозначают из контекста задачи: или буквами (русскими, латинскими) или цифрами. Причем нужно особо подчеркнуть, что бывают графы, состоящие только из одних вершин.Графы используются не только в математике.  Например, люди часто пользуются графами, не догадываясь об этом, когда изображают различные объекты: населенные пункты, карты городов, схемы электроприборов. Задача 8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, З, 5 при условии, что цифры в записи повторяться не будут? Перечислите эти числа. Решение .Рассуждения:

Ответ: 6 чисел         135, 153, 351, 315, 513, 531.

2.5. Задачи на перебор возможных вариантов

Задачи на перебор возможных вариантов решаются так: выдвигается гипотеза, которая подтверждается или опровергается в ходе дальнейших рассуждений. Гипотеза выдвигаются до тех пор, пока не найдется истинный вариант. Решение задач сопровождается записью рассуждений, а там, где это необходимо для наглядности, еще и рисунок. В рассуждениях выдвижение гипотезы начинается со слова «Пусть». Если при рассмотрении какой-то гипотезы получен ответ на вопрос задачи, то надо обязательно проверить и

другие варианты для подтверждения того, что найденное решение является единственным верным. Задача 9. Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: « Это я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое – нет. Кто из мальчиков разбил стекло? Решение. Пусть Олег сказал правду, тогда и Коля сказал правду, а это противоречит условию задачи. Следовательно, Олег сказал неправду, а Коля – правду. Из их утверждений следует, что стекло разбил Олег. Ответ: Олег разбил стекло.

2.6. Занимательные задачи.

Занимательные задачи это задачи, правильное решение которых чаще всего не требует никаких дополнительных знаний. Нужно внимательно прочитать условие задачи и пройти расставленные ловушки. Задача 10. Человек разглядывает портрет. « Чей это портрет вы рассматриваете?» - спрашивает у него , и человек отвечает: «В семье я рос один, как перст, один. И все ж отец того, кто на портрете,- сын моего отца ( вы не ослышались, все верно – сын!)». Чей портрет разглядывает человек? Решение. Ответ получится легко , если переформулировать условие задачи, опустив лишние слова и заменив словосочетание «сын моего отца» словом «я». Ответ: свой

3. Способы решения логических задач

Изучите азы науки, прежде чем взойти на её вершины. Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущее. И.П. Павлов

Изучая литературу, узнала, что каждая группа логических задач решаются определенным способом. Решать логические задачи очень увлекательно. В них есть лжецы и мудрецы, истина и ложь и так далее.

Известно, различные способы решения логических задач:

задачи, решаемые с помощью рассуждений;

табличное решение логических задач;

способ графов;

с помощью кругов Эйлера;

способ блок-схем;

задачи, решаемые с конца.

Остановимся отдельно на каждом из способов, иллюстрируя их примерами решения конкретных задач.  Желательно учиться решать каждый вид за­дач постепенно, поэтапно.

Итак, разными способами можно решать логические задачи. На примерах покажу, как используются перечисленные способы при решении задач.

3.1. Задачи, решаемые с помощью рассуждений

Идея способа: Последовательные рассуждения и выводы из утверждений, содержащихся в условии задачи. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

3.2. Табличное решение логических задач Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. Задача 11. Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой – красное, на третьей – белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: « Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям» Кто в какое платье был одет? Решение. Из условия следует, что на Беловой не белое платье, на Черновой не чёрное платье, на Красновой не красное платье. Поставлю минусы в соответствующие клетки таблицы:

По условию девочка в белом платье не Чернова- поставлю минус в соответствующей клетке. Теперь понятно, что белое платье может быть только на Красновой, - поставлю в соответствующую клетку плюс и так далее. Ответ: Краснова в белом платье, Белова в черном, Чернова в красном платье.

3.3. Способ графов Понятие графа используется не только в математике, но и в технике и даже в повседневной жизни под разными названиями – схема, диаграмма .Особенно большую помощь графы оказывают при решении логических задач. Представляя изучаемые объекты в наглядной форме, «графы» помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними. Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа. Точки пересечения рёбер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают не точками, а маленькими кружочками. Рёбра иногда удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами. Задача 12. Дан рисунок

В классе шестеро дежурных: Аня, Вера, Евгений, Данила, Сергей и Фёдор. дежурные — это вершины графа, две вершины соединены ребром, если соответствующие ребята дружат между собой. Получившийся граф изображён выше. Сколько рёбер в этом графе? С кем дружит Евгений? Ответ: 7, с Сергеем и с Федором.

3.4.С помощью кругов Эйлера Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами для наглядного представления. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие.  Задача 13. В лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом? Решение. Изобразим множества следующим образом: 70-(6+8+10+3+13+6+5)=19 Ответ:5 человек

3.5. Способ блок- схем Суть метода блок-схем состоит в следующем: выделяют операции для точного отмеривания жидкости, которые называются командами; устанавливают последовательность выполнения команд, которая оформляется в виде блок-схемы Задача 14. Имеются два сосуда вместимостью 3л. и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л. воды? Решение. Начну с конца. Как в результате может получиться 4л.? Из 5л. отлить 1л. Как это сделать? Надо в 3л. сосуде иметь 2 л. как их получить? Из 5-литрового сосуда отлить 3л. Запишу решение в таблице.

Ответ: смотри в таблице. Задача 15. В нашем классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – ровно с четырьмя мальчиками. Кого у нас больше: девочек или мальчиков? Решение. Пусть в классе м- мальчиков, д- девочек. Каждый мальчик пожмет руку каждой девочке, с которой он дружит. Число рукопожатий можно подсчитать двумя способами: м 3 2 и д 4:2. Понятно ,что м д. Ответ: мальчиков больше.

4. Заключение

Целью данной работы было рассмотреть способы решения логических задач, научиться находить нестандартные подходы, проявлять сообразительность, овладеть умением рассуждать и анализировать.  Я самостоятельно изучила способы решения логических задач. Прочитала большое количество методической литературы, разбирала интересные статьи из интернета. Решила множество задач. Подтвердилась гипотеза исследования: решение логических задач развивает мышление, расширяет кругозор. По результатам исследования можно сделать такой вывод, что существуют разные типы логических задач и разные способы их решения, каждый из этих способов обладает своим достоинством при решении задач определенного типа. Решение логических задач – это не только увлекательный, но и полезный способ времяпровождения. Логические задачи - это зарядка для ума! Данную работу по теме: «Способы решения логических задач » можно использовать как на уроках математики, так и на внеклассных занятиях учащимся 5-11-х классов, учителям с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных заданий, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру». Я считаю, что достигла цели, которую ставила перед собой: изучила способы решения логических задач.   Буду решать занимательные, нестандартные. логические задачи, требующие смекалки, находчивости . Заканчиваю работу словами Д.Пойа « Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их».

5.Литература 1. Разенкова С.Д. Различные подходы к определению понятия «логическая задача» // Психология, социология и педагогика. 2018. № 5 2.Далингер, В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений / В. А. Далингер. М. : Просвещение. 2006. 256с .3. Клеменченко, Д. В. Задачи по математике для любознательных / Д. В. Клемченко. М. : Про­свещение. 1999. 191 с. 4. Шатова, Н. Д. Логические задачи как средство развития рефлексивной деятельности учащихся 5-6 классов при обучении математике: автореф. дис. … канд. пед. наук / Н. Д. Шатова. Омск. 2004. 198 c. 5.Фарков А.В. Внеклассная работа по математике. 5 – 11 классы – М.: Айрис-пресс, 2007. 288с.

6. Интернет-ресурсы: https://ru.wikipedia.org/wiki/