XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2022
Наполеон и геометрия
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Осмысление хода истории неизбежно вызывает вопросы о роли в ней той или иной личности: изменила ли она ход истории или что нового привнесла в мир науки и т.д. Нам знакомо немало имен выдающихся известных исторических деятелей, которые смогли значительно повлиять на мир своими идеями, действиями, изобретениями или открытиями. В ряду этих имен – Наполеон Бонапарт.
Мало кому известно, что французский император Наполеон был не просто любителем математики, а ученым, который был избран в 1797 году членом Института Франции по отделению физико-математических наук, секции механики и внес определенный вклад в развитие науки математики. Бонапарт, будучи государственным деятелем, находил возможность и время заниматься математикой, для собственного удовольствия, чувствовал ее красоту и видел в ней объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Свидетельством этого факта являются составленными им самим геометрические задачи, которые отличаются простотой постановки и изяществом решения.
Принимаясь за исследовательскую работу по данной теме, я понимал, насколько, она актуальна. Во-первых, она не является темой школьной программы, поэтому мало изучена. Во-вторых, эта тема расширяет и углубляет знания о произвольном треугольнике, полученные нами на уроках математики. В-третьих, и это важно, результаты работы могут быть использованы как на уроках математики, так и во внеклассной работе и подготовке к олимпиадам различного уровня.
Объектом исследования является произвольный треугольник.
Предмет исследования – свойство внутреннего треугольника, построенного на сторонах исходного треугольника.
Цель работы – изучение геометрических теорем, составленных, доказанных и решенных Наполеоном Бонапартом; разгадывание головоломки Наполеона.
Задачи работы.
- изучить литературу по данной тематике и провести анализ данных;
- доказать задачу-теорему, получившую его имя;
- разгадать секрет головоломки Наполеона.
Гипотеза. Думаем, что теорема Наполеона - утверждение евклидовой геометрии о равносторонних треугольниках.
Методы исследования: описательный метод, прием решения, прием сопоставления.
Бонапарт Наполеон и его друзья
Наполеон I Бонапарт родился 15 августа 1769 года на острове Корсика в городке Аяччо в небогатой многодетной дворянской семье.
Он был вторым из 13 детей Карло Буонапарте и Летиции Рамолино, пятеро из которых умерли в раннем возрасте. До зрелого возраста кроме самого Наполеона дожили 4 его брата и 3 сестры. Отец наполеона был составителем Конституции Корсики, но был вынужден подчиниться французской верховной власти для того, чтобы иметь возможность дать детям образование во Франции.
Первоначально дети учились в городской школе Аяччо, позже Наполеон и некоторые из его братьев и сестры обучались письму у аббата. Благодаря сотрудничеству с французами Карло Буонапарте в 1778 году удалось отвезти двух старших сыновей – Жозефа и Наполеона – во Францию и определить их на казенный кошт (счет). Жозеф готовился стать священником, Наполеону была определена военная карьера.
Наполеон был помещен на стипендию в Бриеннское военное училище. Он пробыл в Бриенне пять лет. Друзей в колледже у Наполеона не было, так как он происходил из небогатой семьи, кроме того, он был корсиканцем с ярко выраженным патриотизмом к родному острову и неприязнью к французам как поработителям Корсики. В период учебы в училище Наполеон нередко участвовал в различных драках, из которых не раз выходил победителем. Именно в Бриенне его имя стали произносить на французский манер – «Наполеон Бонапарт». В училище Бонапарт обнаружил исключительные способности к математике, оставаясь всегда в этом предмете первым. Он показывал отличные успехи по истории, географии и по другим дисциплинам, кроме латыни и немецкого языка, т.к. не имел склонности к их изучению.
В 1784 году в октябре, благодаря победе в конкурсе «Ожерелье королевы», его перевели в Парижскую военную школу, помещавшуюся тогда на Марсовом поле. Парижская военная школа справедливо считалась одной из лучших в стране, поскольку она располагала знающими, опытными преподавателями. Там Наполеон изучал гидростатика, дифференциальное исчисление, вычисление интегралов, а также государственное право. Во время учебы в военной школе проявил необыкновенную работоспособность и трудолюбие. Он много читал книги из различных областей знаний: путешествия, география, философия, история, стратегия, тактика, артиллерийское дело.
Будущий император заслужил лестные отзывы почти всех своих преподавателей. Своей специализацией он выбрал область артиллерии и, успешно сдав экзамены, в 1785 году был выпущен из училища в звании младшего лейтенанта.
Во время учебы в училище он познакомился с Гаспаром Монже, будущим «отцом» начертательной геометрии. Его брат обучал Наполеона математике Лапласа, а сам Лаплас был его экзаменатором. Впоследствии оба стали его друзьями.
Окончив военную школу, Бонапарт стал быстро делать карьеру, и в 1796 году уже был командующим французской армией в Италии. Во время итальянской кампании молодой генерал знакомится с химиком Бертолле, который тоже стал ему настоящим другом.
Уже став первым консулом, Наполеон находит время, чтобы прочесть «Небесную механику» Лапласа, которую ученый посвятил ему. Обладая аналитическим умом, Наполеон сумел добиться определенных успехов в области математики. Своими знаниями он поражал многих великих математиков того времени. За заслуги в математике он в 1797 году был избран академиком Французской академии наук по отделению физико-математических наук, секции механики и стал магистром математики. Выборы проходили в обстановке жесткой конкуренции, у Наполеона было 11 соперников. Все трое друзей, Монж, Лаплас и Бертолле, поддержали прием Наполеона в Институт Франции.
Наполеон тоже не забывал о них: Монжа он назначил директором ведущего инженерного вуза Франции, созданного в годы революции, — Ecole polytechnique, членом сената, а потом и председателем сената, а Лапласа наградил титулом графа империи и всеми мыслимыми орденами и должностями. Он даже пробовал его на посту министра внутренних дел, но спустя шесть недель предпочел признать свою ошибку. Лаплас внес в управление, как выразился позднее Наполеон, «дух бесконечно малых», то есть мелочность. Впрочем, взамен утраченной должности министра Наполеон назначил Лапласа сенатором, так же как Бертолле.
После королевской военной школы он за 10 лет прошёл всю иерархию чинов, а в 1804 году стал императором Франции.
Наполеон – математик
В период правления, несмотря на строгий политический контроль, интеллектуальная жизнь при Наполеоне процветала, хотя и носила утилитарный характер, что объяснимо с его видением роли науки. Особенно Бонапарт покровительствовал шести основным естественным дисциплинам: химии, биологии, зоологии, геологии, физике и математике. Как первый консул он учредил несколько наград и денежных поощрений за научные достижения.
Через много лет генерал Лассаль, вспоминая первый итальянский поход молодого республиканского генерала Бонапарта, писал: «... наружность его была незначительна, он имел репутацию математика и мечтателя. Никакого еще дела не было за ним, и ни одного друга; он слыл медведем, потому что был всегда один и погружен в свои мысли. Он должен был создать все, и создал. Вот где он был всего изумительнее».
Увлечение Наполеона наукой известно, а вот его математические успехи известны мало. Занимаясь математикой для собственного удовольствия, предложил простой способ построения квадрата одной линейкой с двумя засечками. Это решение стало существенным шагом к доказательству возможности при помощи только циркуля или только линейки с двумя засечками делать любые построения, выполнимые циркулем и линейкой без засечек.
Бонапарт считается также автором задачи о делении на четыре равные части окружности с помощью одного лишь циркуля. Данная тема не включена в школьную программу и очень мало изучена, да и литературы не так много.
В Наполеоновскую эпоху блистали и восходили такие звезды, как Гумбольдт, Гей-Люссак, Лаплас, Кулон, Араго, Ампер, Фурье, Френель, Коши, Пуассон. Более привычно звучат для нашего слуха эти фамилии не в сочетаниях со своими именами, а в следующих формах: «теорема Коши», «ряды Фурье», «зоны Френеля», «закон Гей-Люссака», «распределение Пуассона».
«Наука, которая открыла нам столько тайн и уничтожила столько предрассудков, призвана, чтобы оказать нам еще большие услуги; новые истины, новые открытия обнаружат нам тайны, еще более существенные для блага человечества, но необходимо, чтобы мы любили ученых, и чтобы мы покровительствовали науке», - писал Наполеон и сам сохранил это уважение на всю жизнь, требуя уважительного отношения к науке и от других.
Некомпетентность, неосведомленность, невежество в научных вопросах были в его глазах непростительным пороком. Однажды Бернарден де Сен-Пьер, прославленный писатель, чей талант Наполеон высоко ценил, пожаловался Бонапарту на то, что в Институте Франции, членами которого они оба состояли, к нему относятся без должного уважения. Наполеон на минуту задумался. «Скажите, — спросил он после недолгой паузы, — а вы знакомы с дифференциальным исчислением?» «Нет!» — чистосердечно признался писатель. «Так что же вы жалуетесь?!»
2.1 Теоремы Наполеона и их обобщения
Один из современников Наполеона писал, что во времена Наполеона «только цифрам все разрешали, только цифры чествовались, осыпались благами и награждались». Известно, что он больше всего увлекался математикой, в частности, геометрией. О математике он говорил: «Процветание и совершенство математики тесно связаны с благосостоянием государства».
Сам Наполеон отметился реальным достижением в области математики — доказал теорему, которая теперь так и называется — теорема Наполеона. Теорема, о которой пойдёт речь впервые была опубликована английским математиком Уильямом Резерфордом (1798–1871) в 1825 году, спустя 4 года после смерти Наполеона.
Если на сторонах треугольника построить правильные треугольники, то получим конфигурацию из четырех треугольников, которую называют треугольниками Наполеона. Окружности, описанные вокруг построенных правильных треугольников, называют окружностямиТорричелли.
Формулировка теоремы 1 такова: Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний.
Возможно, кому-то эта теорема покажется недостаточно серьезной для звания академика, но сам Наполеон гордился своими научными достижениями не меньше, чем военными и всегда подчеркивал, что он с учеными «одной крови».
В различных источниках приводятся разные ее доказательства. Чаще всего можно встретить доказательства, основанные на свойствах поворота или использующие комплексные числа. С одним из элементарных доказательств, основанном на применении теоремы косинусов, можно познакомиться на сайте «Математика, которая мне нравится». Я приведу доказательство этой теоремы, используя свойства окружности.
Пусть на сторонах треугольника АВС построены равносторонние треугольники АВС1, А1ВС и АВ1С; ω1, ω2 и ω3 – окружности, описаны вокруг этих треугольников (соответственно). Докажем, что ω1, ω2 и ω3 пересекаются в одной точке – точке Торричелли.
Обозначим точку пересечения окружностей, описанных вокруг треугольников А1ВС и АВ1С, как М. Тогда
∠АМС = 180° – 60° = ∠ВМС. Отсюда ∠АМВ = 360° – 2 · 120° = 120°, и точка М лежит на окружности, описанной вокруг АВС1. Прямые О1О3 и О1О2 перпендикулярны к общим хордам АМ и ВМ окружностей ω1 и ω3, ω1 и ω2 соответственно.
Тогда
∠О1 + ∠АМВ = 180°, ∠О1 = 180° – ∠АМВ = 60°.
Аналогично: ∠О2 = ∠О3 = 60°, и треугольник О1О2О3 – правильный.
Теорема Наполеона доказана.
Мы строили правильные треугольники извне заданного треугольника на его сторонах. Их ещё называют внешними треугольниками Наполеона для заданного треугольника. По аналогии, если правильные треугольники строят на сторонах треугольника внутрь его, то их называют внутренними треугольниками Наполеона для заданного треугольника. Треугольник с вершинами в центрах внутренних треугольников Наполеона также является правильным.
Рассмотрим еще один вариант доказательства этой теоремы.
Итак, задан произвольный треугольник АВС (красного цвета), к каждой его стороне достроены по равностороннему треугольнику.
Осталось найти центр каждого из треугольников. Есть два пути как это сделать (хотя может кто-то найдет больше):
1. Вписать равносторонний треугольник в окружность и центр этой окружности будет центром треугольника;
2. Провести из каждой вершины по высоте и точка пересечения высот - центр треугольника.
Я воспользуюсь первым способом, мне так проще.
Получили три точки О1, О2, О3, соединив которые получили треугольник О1О2О3 – равносторонний.
Теорема 2 формулируется следующим образом: центры правильных треугольников, построенных вовнутрь на сторонах произвольного треугольника, образуют правильный треугольник (так называемый внутренний треугольник Наполеона).
Теорема 1 Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников теоремой Петра-Дугласа-Неймана:
Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так, что каждый повёрнут относительно предыдущего, и три соответствующие точки этих треугольников соединены, то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольникам.
Существует аналог теоремы Наполеона для параллелограммов, который называется первой теоремой Тебо (по имени автора) и читается так: центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма, лежат в вершинах квадрата.
Следует обратить внимание ещё на один математический факт, который опубликовал в 1878 году фламандский математик ван Обель, из которого теорема Тебо следует естественным образом: Если на сторонах произвольного несамопересекающегося четырехугольника построить квадраты внешним образом и соединить центры противоположных, то полученные отрезки будут равны и перпендикулярны.
Для треугольников Наполеона справедливы следующие утверждения:
- разность площадей внутреннего и внешнего треугольников Наполеона равна площади заданного треугольника.
- если один из углов исходного треугольника равен 60, то одна из сторон треугольника, вершинами которого являются внутренние центроиды, лежит на биссектрисе этого угла.
- если исходный АВС равносторонний, то все внутренние центроиды, стягиваются в точку, а треугольник, вершины которого являются внешними центроидами, вместе с исходным АВС образуют фигуру, известную как “звезда Давида”.
2.2 Применение теорем Наполеона
Будучи утилитарным руководителем, Наполеон большое внимание уделял пользе и практическому применению того или иного продукта исследования.
Так, например, с теоремами Наполеона связаны два замечательных замощения плоскости.
Если долго смотреть на эти замощения, то и теоремы станут очень понятными!
Например, если смотреть на правую картинку, то можно заметить, что центры больших квадратов образуют квадратную сетку - т. е. можно считать, что картинка нарисована на клетчатой бумаге и центры больших квадратов лежат в ее узлах. А центры маленьких квадратов тогда лежат в центрах клеточек. Поэтому теорема Тебо верна. Аналогично, на левой картинке можно увидеть теорему Наполеона. Только треугольники теперь лежат в вершинах не квадратной, а треугольной сетки.
Деления окружности на части тоже имеет практическое применение. В декоративно-прикладном искусстве дизайнеры, ювелиры и представители многих других профессий с успехом применяют деление окружности, создавая прекрасные произведения. К ним, по праву, можно отнести монеты и ювелирные украшения, ордена, медали. Построение правильных многоугольников можно использовать в графическом дизайне. Самым распространенным является создание на их основе эмблем, логотипов и тварных знаков различных фирм.
Заключение
В результате исследовательской работы я изучил большой объем литературы, который помог мне открыть Наполеона с новой для меня стороны. Он был знаком мне как выдающаяся историческая личность: полководец, император. Но то, что это был эрудированный в разных областях наук человек, академик математики - узнал впервые. Человек, обладающий необыкновенной трудоспособностью и трудолюбием, целеустремленностью и умением добиваться поставленной цели. Такой человек, несомненно, заслуживает внимания. С него можно брать пример!
Сухомлинский считал, что “Чувство удивления - могучий источник желания знать: от удивления к знаниям - один шаг”. А математика замечательный предмет для удивления. Именно это я попытался показать. Исследуя и изучая материал по данной теме: теоремы и задачи, составленные Бонапартом Наполеоном, я пришел к выводу, что не перестаю удивляться, что мне хочется погружаться в изучение предмета все глубже и глубже.
Считаю, что поставленной цели в своей исследовательской работе я достиг, так как сумел изучить и классифицировать теоретический материал, применяя его, смог разобраться с решением различных теоремы Наполеона разными методами. Кроме того, потренировал свой мозг, разгадывая его головоломку.
Материал этой темы очень полезен и может быть использован для работы на уроках математики, во внеклассных занятиях, при подготовке к олимпиадам, а также расширении и повышении математической грамотности учащихся школы.
Список литературы
Геометрия, 7-9 классы/Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Камодцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. 15-е изд., М.: “Просвещение”, 2005
“Математика для школьника” №2/ 2009
Научно-популярный физико-математический журнал “Квант” (6-е изд., июнь 1972)
Никитин Н. Н., Маслова Г. Г. Сборник задач по геометрии. Задача № 31.
Перельман Я. И. Занимательная геометрия. - М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950. - 296 с.
Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика, 2-е изд., исп. и доп./Сост. Э-68 А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1989.-352 с.: ил., стр. 298.
Теорема Наполеона в Большой Советской Энциклопедии
Материалы сайта “Математика, которая мне нравится”. – Режим доступа: http://hijos.ru/
Интернет-ресурсы:
http://festival.1september.ru
http://napaleon.ru/napoleon
http://kvantik.com
http://jidigest.narod.ru/dig2_02/napol.htm
http://oldskola1.narod.ru/NiktinZ/d05.htm
http://webgrossmeister.dreamwidth.org/5035.html
http://uchinfo.com.ua/zadachi/zadachi3.htm