Признаки делимости натуральных чисел

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кладов А.А. 1

---

1МАОУ «Средняя общеобразовательная школа № 132 с углубленным изучением предметов естественно-экологического профиля» г.Перми

Петрова С.В. 1

---

1МАОУ "СОШ №132" Г ПЕРМИ

Работа в формате PDF

410.3 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

I. Введение

Всем известно, что вычитание и деление на натуральных числах выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности натуральных чисел a и b решается просто – достаточно установить, что a < b(или a > b). Для деления натуральных чисел такого признака нет. Поэтому в математике с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнать, делится ли оно на число b или нет, при этом не выполняя деления a на b. В результате этих поисков и были открыты признаки делимости. Задачи на делимость натуральных чисел интересны и красивы, не зря они привлекают ученых в течении многого времени. Во все времена человека поражало, что на простые вопросы о числах так трудно найти ответ. В курсе математики 6-го класса мы изучаем основные признаки делимости, но существуют еще и другие признаки делимости, которые в школе мы не изучаем. Их очень много, и многие из них в применении очень непросты (например, признак делимости на 7). [3]

Я своей работой хотел заинтересовать одноклассников этой темой, захотел их привлечь в науку «Математика».

Цель работы: Изучить и систематизировать признаки делимости натуральных чисел.

Задачи: 1) Исследовать теорию делимости чисел.

2) Изучить литературу по признакам делимости, не входящим в школьный курс.

3) Обобщить признаки делимости.

4) Изучить задачи: олимпиадные, ОГЭ/ ЕГЭ, решаемые с помощью признаков делимости; разработать авторские задачи – признаки делимости в бытовых ситуациях.

5) Оформить буклет в помощь учащимся и составить числовые кроссворды «Проверь себя».

Предмет исследования: Признаки делимости чисел.

Методы исследования:

1) Изучение литературы.

2) Систематизация и обобщение изученной информации.

3) Применение изученной теории к решению задач.

Практическое применение: Выпуск буклета и составление числовых кроссвордов по теме «Признаки делимости натуральных чисел» для учащихся 6-9 классов.

II. История возникновения признаков делимости чисел

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.). [4]

Простые и составные числа тоже затрагивают признаки делимости, потому что чтобы узнать, большое число простое или составное, нужно знать признаки делимости.

III. Свойства делимости чисел.

- Всякое число, отличное от нуля, делится на само себя.

- Нуль делится на любое число, кроме нуля.

- Если число a делится на число b (не равное нулю) и b делится на c (не равное нулю), то а делится на c.

- Если a делится на b (не равное нулю) и b делится на a, то a = b (натуральные).[2]

IV. Свойства делимости суммы и произведения.

- Если в сумме натуральных чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

- Если в разности натуральных чисел уменьшаемое и вычитаемое делятся на

некоторое число, то и разность делится на это число.

- Если в сумме натуральных чисел все слагаемые, кроме одного делятся на

некоторое число, то сумма не делится на это число.

- Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое

число, то и произведение делится на это число.

- Если в произведении целых чисел один из множителей делится на k, а другой

делится на p, то произведение делится на kp.[2]

V. Признаки делимости чисел

Делимость – способность одного числа делиться на другое. Свойства делимости зависят от того, какие множества чисел рассматривают.

Если рассматривают натуральные числа, то говорят, что одно число делится на другое (является кратным другого), если частное от деления первого числа на второе будет также натуральным числом.

Признак делимости– алгоритм, позволяющий быстро определить, является ли число кратным заданному числу.

Признаки делимости, изучаемые в школе:

На 2 – число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной или нулем (число 3754 делится на 2, т.к. его последняя цифра 4 – четная).

На 5 – число делится на пять в том случае, если запись этого числа оканчивается нулем или пятеркой (число 7320 делится на 5, т.к. его последняя цифра 0).

На 10 – число делится на 10 в том случае, если оно оканчивается на 0 (число 732100 делится на 10, т.к. его последняя цифра 0).

На 3 – число делится на 3, если сумма всех цифр этого числа делится на 3 (число 7320 делится на 3, т.к. 7+3+2+0 = 12, а 12 делится на 3).

На 9 – число делится на 9, если сумма всех цифр этого числа делится на 9 (число 17325 делится на 9, т.к. 1+7+3+2+5 = 18, а 18 делится на 9).

На 4 – число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4 (7516 делится на 4, т.к. 16 делится на 4).

На 25 – число делится на 25, если две его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 25, т.е. если число оканчивается на 00, 25, 50 иди 75. [1]

Признаки делимости, полученные самостоятельно:

На 6 – это совмещение признаков делимости на 2 и 3 (6=2*3), значит число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3, т.е. если оно четное и сумма его цифр делится на 3 (число 9750 делится на 6 – четное и 9+7+5+0=21)

На 12 – это совмещение признаков делимости на 4 и 3 (12 = 4*3), значит число делится на 12, если оно делится и на 4, и на 3 (7224 делится на 12).

На 15 – это совмещение признаков делимости на 5 и 3, значит число делится на 15, если оно делится и на 5, и на 3, т.е. если число оканчивается на 0 или на 5 и сумма его цифр делится на 3 (число 6420 делится на 15).

На 18 – это совмещение признаков делимости на 6 и 3, значит число делится на 18, если оно делится и на 2, и на 3, и на 9, так как есть ещё одна тройка (.

На 8 – число делится на 8, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 8 (57120 делится на 8, т.к. 120 делится на 8).

На 16 – число делится на 16, если его четыре последние цифры нули или образуют число, которое делится на 16 (250000 делится на 16).

Признаки делимости, изученные из разных источников:

На 4 – число делится на 4 тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его

десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре (756 делится на 4, т.к. 5*2+6 = 16 и 16 делится на 4).

На 7 – число делится на 7, если разница между этим числом без последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7 (868 делится на 7, т.к. 86 – 8*2=70).

На 11 – число делится на 11, если разница сумм нечётных (сотни, 3 разряд) и чётных (тысячи, 4 разряд) разрядов в числе равна 0 или делится на 11 (число 16764 делится на 11, т.к. (1+7+4) – (6+6)=0).

На 13 – число делится на 13 тогда, когда число его десятков (не только в разряде десятков), сложенное с учетверённым числом единиц (только в разряде единиц), кратно 13 (143 делится на 13, т.к. 14+4*3=26, а 26 делится на 13).

На 14 – это совмещение признаков делимости на 2 и 7, значит число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7 (число 1162 делится на 14, т.к. это число четное и 116 – 2*2=112, 11 – 2*2=7, а 7 делится на 7).

На 17 – число делится на 17 тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (6035 делится на 17, т.к. 603+12*5=663, 66+12*3=102, 10+12*2=34, а 34 делится на 17).

На 19 – число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (число 152 делится на 19, т.к. 15+2*2=19). [5]

Признак Паскаля – Если число x имеет остаток при делении на n равный k, а число y имеет остаток при делении на n равный r, то число х∙у имеет остаток при делении на n равный к∙r. Аналогично и число (х+у) будет иметь остаток от деления на n равный k+r. [6]

VI. Классификация признаков делимости

Таким образом, признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

1 группа - определение делимости по последней или нескольким последним цифрам (на 2, 5, 4, 8, 16, 25, 50).

2 группа - определение делимости по сумме цифр числа (на 3, 9, 7, 37).

3 группа - определение делимости после выполнения действий над цифрами числа (на 7, 11, 13, 19).

4 группа - определение делимости по комбинации предыдущих признаков делимости (на 6, 15, 12, 18, 14).

VII. Применение признаков делимости:

В олимпиадных задачах:

Задание 1: Будет ли число 10²²²² + 2000 делится на 3? На 9?

Решение: число равняется 100…2000, значит оно состоит из цифр 1, 0, 2. Дальше всё очень легко: 1 + 0 + 0 +…+ 2 + 0 + 0 + 0 = 3. 3 делится на 3, но на 9 не делится.

Задание 2: Делится ли число 576 на 4? На 25?

Решение: 76 делится на 4, но не делится на 25. Значит данное число делится на 4, а на 25 не делится.

Задача 3: Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код, открывающий сейф.

Решение: 1) Число должно оканчиваться на 2, чтобы оно делилось на 4; 2) Возьмём число 3332222 и сложим его цифры, мы получим 17, а 17 не делится на 3. Тогда 17 – 2 = 15, а 15 делится на 3, то есть взять число 3222222; 3) Теперь просто поменяем цифры местами, чтобы две последние цифры как число (32) делилось на 4. Код 2222232.

Задача 4: Вася умножил некоторое число на 10 и получил простое число. А Петя умножил то же самое число на 15, но всё равно получил простое число. Может ли быть так, что никто из них не ошибся?

Решение: они оба ошиблись, так как при умножении любого числа получившееся число не может не делится на число, на которое его умножили.

Задача 5: На двух карточках записаны четыре различные цифры — по одной с каждой стороны карточки. Может ли оказаться так, что всякое двузначное число, которое можно сложить из этих карточек, будет простым?

Решение: все двузначные числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8, чётны, а оканчивающиеся на 5 кратны пяти. Поэтому такие числа не будут простыми, и писать эти цифры на карточках не имеет смысла. Остаются цифры 1, 3, 7 и 9. Если цифры 3 и 9 записаны на разных карточках, то из них можно сложить составное число 39. Если же они записаны на одной карточке, то на второй записаны 1 и 7, и тогда можно сложить составное число 91 = 7 · 13. [7]

Задача 6: Среди четырех утверждений: «число a делится на 2», «число a делится на 4», «число a делится на 12», «число a делится на 24» – три верных, а одно неверное. Какое?

Решение: Заметим: 1) что если число делится на 24, то оно делится на 12; 2) если число делится на 12, то значит оно делится на 4; 3) если число делится на 4, значит оно делится на 2.

Следовательно, неверным может быть только утверждение «число a делится на 24». [8]«Числ

а и их свойства» (задание № 10 (ГВЭ), задание № 19 (ЕГЭ, базовый уровень))

1. Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Решение: Разложим число 20 на слагаемые различными способами: 20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6. При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. В разложении 8+8+4 сумма квадратов кратна девяти. Разложение 8+7+5 удовлетворяет условиям задачи. Значит ответ – например число 875.

2. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

Решение: Чтобы число делилось на 24 оно должно делиться на 3 и на 8. Т.к. искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000 и первые три цифры должны быть единицами (1+1+1=3, а 3 делится на 3). Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.

3. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27. В ответе укажите получившееся число.

Решение. Если число делится на 27, тогда оно делится на 9. Число делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Следовательно, сумма цифр получившегося числа должна делится на 9 (но если число делится на 9, то оно необязательно делится на 27, поэтому потребуется проверка). Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Ближайшее число, делящееся на 9, число 18, но тогда надо вычеркнуть только 1 и 2 или цифру 3, что не соответствует условию. Берем сумму цифр, равную 9, вычеркнем три цифры, дающие в сумме 12 (21 – 12 = 9): 6, 5, 1 или 2, 4, 6. В первом случае получим число 234, оно не делится на 27, во втором – получим 135 — делится на 27.

В быту:

Ситуация 1: Вы покупаете в магазине только такие продукты, цены которых делятся на 6. А на кассе вам говорят, что к оплате с вас 244 рубля. Прав ли кассир?

Проверяем: число делиться на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2 и на 3. 244 делится на 2, так как последняя цифра чётная. Теперь признак делимости на 3: 2 + 4 + 4 = 10, 10 на 3 не делится. Соответственно, на кассе произошла ошибка.

Ситуация 2: Для строительства вам нужно определённое количество деталей, но к сожалению, вы забыли, сколько нужно деталей, а к счастью вы запомнили, что это количество было примечательно тем, что это «преднаибольшее» трёхзначное число, делящееся на 37.

Находим необходимое число деталей: 37 · 3 = 111, 111 · 9 = 999, 999 - 37 = 962.

Также в жизни могут проходить разные конкурсы на знание признаков делимости или олимпиады для знатоков, задачи в которых решить можно, зная признаки делимости.

VIII. Заключение

Таким образом, в ходе выполнения работы были решены поставленные задачи: - изучен теоретический материал по данному вопросу;

- обобщены и классифицированы признаки делимости;

- найдены и решены олимпиадные задачи, задания ОГЭ/ ЕГЭ, решаемые с помощью признаков делимости;

- составлены авторские задачи – признаки делимости в быту;

- оформлен буклет для пятиклассников, увлеченных математикой, и в помощь учителю и учащимся 6, 9, 11 классов (ПРИЛОЖЕНИЕ 2);

- составлен числовой кроссворд «Проверь себя» (ПРИЛОЖЕНИЕ 1).

Работая с разными источниками, анализируя найденный материал по исследуемой теме я узнал, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9, 10 и 25 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и др., и многие из них можно формулировать путем совмещения более простых признаков (делимость на 6, 15 и т.д.). Также я выяснил, что существует универсальный признак делимости, алгоритм которого нашел французский математик Блез Паскаль. С помощью этого алгоритма, можно получить признак делимости на любое натуральное число.

Работая над данной темой, я заинтересовался математикой как наукой, а не только школьным предметом.

Так как в нашей школе реализуется углубленное изучение предметов естественно-экологического профиля, то в дальнейшем я предполагаю составить задачник на признаки делимости с биологическим, географическим и экологическим содержанием: животные, растения и географическое расположение Пермского края.

СПИСОК использованных источников:

Мерзляк А.Г., Полонский В.Г., Якир М.С. Математика: 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений – 2-е изд., перераб. – М.: Вента-Граф, 2017. – 304 с.

Воробьев В.Н. Признаки делимости. – М.: Наука,1988. – 96 с.

Юный ученый. Международный научный журнал. № 11 (52) / 2021 – 27 с.

https://poisk-ru.ru/s10308t12.html

https://www.math.com.ua/articles/priznaki-delimosti-chisel.html

https://pandia.ru/text/78/053/93034.php

https://mathus.ru/math/matholymp67.pdf

Пчелинцев Ф.А., Чулков П.В.. Математика. 5-6 класс. Уроки математического мышления с решениями и ответами. 2 изд. Испр. – М.: «Издат-школа 2000» – 112 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2