XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2022
Использование краеведческого материала на уроках геометрии
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Геометрия – один из сложных предметов в школе. Однако, знание получаемые в рамках изучения этого предмета имеют значительное практическое применение.
На сегодняшний день стало очень модно говорить о математическом краеведении. Суть данного направления сводится к применению краеведческих материалов исторического, географического и биологического характера для составления математических задач. Этот подход является достаточно перспективным, а его быстрое распространение можно объяснить необходимостью объяснения математических (в том числе и геометрических) задач на более приближенные к жизни практические примеры.
Несмотря на очевидное практическое применение геометрии, ученики особенно в 7-8 классе затрудняются сопоставлять реальные объекты и геометрические тела. Вычисление объемов и площадей поверхностей абстрактных моделей не вызывает интерес. В рамках математического краеведения выпускаются целые сборники задач по тем или иным регионам. Но в основном в этих сборниках содержаться расчетные задачи, а задач, связанных с геометрией, очень мало. Включение в уроки геометрии элементов краеведения делает процесс обучения интересным и занимательным, облегчает преодоление трудностей в усвоении учебного материала, показывает практическую значимость геометрии. Данное обстоятельство и обуславливает актуальность нашего проекта.
Цель нашего исследования - показать семиклассникам и восьмиклассникам на примере изучения родного края практическую значимость геометрических знаний.
Исходя из цели были сформулированы задачи нашего исследования:
1. Проанализировать темы, которые проходят ученики в 7-9 классе в рамках уроков геометрии и вычленить наиболее подходящие темы для нашего исследования.
2. Изучить историю и географию города, собрать необходимый материал.
3. Изучить требования к составлению задач на историко-краеведческом материале.
4. Начать составлять банк задач в соответствии с программой по геометрии 7-8 класса.
Применение краеведческого материла в школьных занятиях имеет в наше стране глубокие корни. Идею познания своей родины и своего края развивал К.Д. Ушинский. В первые годы советской власти в школе обучение и воспитание было ориентировано на широкое применение краеведческого материала, подбор которого осуществлялся учителем самостоятельно, но постепенно появилась тенденция снижения роли краеведческого материала, а затем подобный материал стал выступать лишь как дидактическое средство. Начиная с 90-х годов XX в. вновь вспыхнул интерес к изучению культуры и истории своей страны и малой родины. В настоящее время интерес к применению на уроках материалов краеведческого характера начинает возрастать. Что же касается вопроса применения геометрии в изучении г. Суздаля, то данная проблема на сегодняшний день представлена только в одной работе - «Математика в путешествиях: геометрия храмов Суздаля» Бурцевой М. А., опубликованной в журнале «Юный ученый» в 2019 г. [1] В своей статье автор в общих чертах попытался рассмотреть геометрическое разнообразие суздальских церквей.
1. Определение разделов геометрии для составления краеведческих задач.
Согласно примерной образовательной программе, содержание курса геометрии в 7-9 классе представлено в виде следующих содержательных разделов:
«Наглядная геометрия. Наглядные представления о пространственных фигурах: куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр. Изображение пространственных фигур. Примеры сечений. Многогранники.
Правильные многогранники. Примеры развёрток многогранников, цилиндра и конуса. Понятие объёма; единицы объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда, куба.
Геометрические фигуры. Прямые и углы. Точка, прямая, плоскость. Отрезок, луч. Угол. Виды углов. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла. Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярные прямые. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых. Перпендикуляр и наклонная к прямой. Серединный перпендикуляр к отрезку. Геометрическое место точек. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.
Треугольник. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Теорема Фалеса. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Теорема Пифагора. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0 до 180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Решение треугольников: теорема косинусов и теорема синусов. Замечательные точки треугольника.
Четырёхугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции.
Многоугольник. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники.
Окружность и круг. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный угол, вписанный угол, величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности, их свойства. Вписанные и описанные многоугольники. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника.
Геометрические преобразования. Понятие о равенстве фигур. Понятие о движении: осевая и центральная симметрии, параллельный перенос, поворот. Понятие о подобии фигур и гомотетии.
Построения с помощью циркуля и линейки. Основные задачи на построение: деление отрезка пополам; построение угла, равного данному; построение треугольника по трём сторонам; построение перпендикуляра к прямой; построение биссектрисы угла; деление отрезка на n равных частей. Решение задач на вычисление, доказательство и построение с использованием свойств изученных фигур.
Измерение геометрических величин. Длина отрезка. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Периметр многоугольника. Длина окружности, число π; длина дуги окружности. Градусная мера угла, соответствие между величиной центрального угла и длиной дуги окружности. Понятие площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие фигуры. Площадь прямоугольника. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. Площадь многоугольника. Площадь круга и площадь сектора. Соотношение между площадями подобных фигур.
Решение задач на вычисление и доказательство с использованием изученных формул.
Координаты. Уравнение прямой. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.
Векторы. Длина (модуль) вектора. Равенство векторов. Коллинеарные векторы. Координаты вектора. Умножение вектора на число, сумма векторов, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов.
Теоретико-множественные понятия. Множество, элемент множества. Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством. Подмножество. Объединение и пересечение множеств.
Элементы логики. Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство. Доказательство от противного. Теорема, обратная данной. Пример и контрпример. Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок если ..., то ..., в том и только в том случае, логические связки и, или.
Геометрия в историческом развитии. От землемерия к геометрии. Пифагор и его школа. Фалес. Архимед. Построение правильных многоугольников. Трисекция угла. Квадратура круга. Удвоение куба. История числа π. Золотое сечение. «Начала» Евклида. Л. Эйлер. Н. И. Лобачевский. История пятого постулата. Изобретение метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Р. Декарт и П. Ферма. Примеры различных систем координат на плоскости.» [3]
Как видно из приставленных данных треугольник является важнейшей фигурой, и потому, в геометрии 7-9 классов, в первую очередь изучают свойства этой фигуры. С ними связаны многие методы, используемые при решении различных геометрических задач. Любой многоугольник может быть разделён на треугольники, а изучение свойств этого многоугольника, сводится к изучению составляющих его треугольников [7]. В каком-то смысле изучаемая в школьном курсе геометрия за 7-9 классы — это геометрия треугольника.
В связи с этим, основой для составления задач будет являться теория треугольников.
2. Краеведческая база для составления задач
В качестве краеведческого объекта для изучения был выбран наш родной город – Суздаль - небольшой провинциальный город, который имеет давнюю историю.
Суздаль – административный центр Суздальского района Владимирской области. Расположен на извилистой реке Каменке, притоке реки Нерли, в 26 км к северу от Владимира. Рельеф города – слабо-волнистый.
Согласно археологическим данным, древнейшее поселение, которое позже стало городом Суздалем, находилось в излучине реки Каменки. В середине — второй половине X века древнейшее славяно-мерянское поселение было мысовым городищем с тремя линиями рвов и валом в северо-западной части кремля площадью около 1,5 га.[6] В русской летописи Суздаль впервые упоминается как город, когда говорится о восстании волхвов в 1024 году.
Первые укрепления были срыты не позднее первой четверти XI века, очевидно, после восстания волхвов 1024 года. После этого Ярославом были сооружены более мощные укрепления.[5]
При князе Юрии Долгоруком (начало XII века) Суздаль стал центром Ростово-Суздальского княжества. В 1107 году волжские булгары осадили и взяли Суздаль. В 1157 году князь Андрей Боголюбский перенёс столицу из Суздаля во Владимир.
С середины XIII века Суздаль — столица самостоятельного Суздальского княжества. В начале XIV века — столица Суздальско-Нижегородского княжества. В 1392 году Суздаль вошёл в состав Великого княжества Московского. В этот период времени начинают строиться большинство суздальских монастырей.
В 1445 году под стенами Спасо-Евфимиева монастыря состоялась не очень масштабная по количеству войск, но имевшая большие последствия битва под Суздалем, в результате которой татарами был захвачен в плен великий князь московский Василий II. Суздаль разграблен.
В 1565 году Суздаль попал в число опричных городов, а после уничтожения опричнины стал «царскою отчиною». С XVI века в Суздале вели строительство монастырей, расширяли старые, возводили новые. Суздаль стал одним из крупнейших центров русского монашества. Из 11 монастырей грозненского времени к началу XIX века сохранилось пять монастырских комплексов.
Первая половина XVII века, как и в других областях России, ознаменовалась в Суздале хозяйственным упадком и сокращением населения. В Смутное время суздальцы изменили Василию Шуйскому и передали свой город тушинцам которые продержались в нём около восьми месяцев, несмотря на неоднократные попытки со стороны московского войска прогнать его оттуда. В 1608—1610 годах польско-литовские захватчики причинили городу страшный ущерб. В 1612 году поляки осаждали Суздаль, но безуспешно. В 1634 году на Суздаль совершили грабительский налёт крымские татары. В 1644 году пожар испепелил смежную с кремлём часть посада. В 1654—1655 годах моровая язва унесла почти половину населения города.
С начала XVIII века Суздаль был центром и негласной столицей странствующих торговцев «офеней». [2] В 1708 году город был приписан к Московской губернии в качестве центра Суздальской провинции. В 1778 году город стал уездным городом Суздальского уезда Владимирского наместничества, в 1796 году — уездным городом Владимирской губернии. В этом же году был принять новый генеральный план города, по которому в городе вводилась регулярная «квадратная» застройка. План так и не был реализован до конца. В следствии чего в планировке горда появляются отдельные причудливые черты, вызванные сочетанием регулярной и радиального городской застройки характерной для древнерусского города. К этому же периоду относиться и первые статистические писания города.
Со второй половине XIX века Суздаль считался глухим провинциальным городом без какой-либо промышленности. Отчасти это связано с тем, что Суздаль оказался в стороне от железной дороги. Такое положение позволило сохранить старинные постройки и старую планировку, от неуклюжих подновлений и перестроек.
За годы советской власти планировка города подверглась некоторым изменениям – происходило расширение города за счет присоединения расположенных по близости сел и строительства новых районов, было начато благоустройство города.
В 1967 году был принят генеральный план развития Суздаля, согласно которому он стал городом-музеем. На окраине города, в Коровниках был построен главный туристический комплекс, развёрнуты музейные экспозиции. Были проведены работы по реставрации памятников и благоустройству города. В 1974 г. Суздаль награждён орденом «Знак Почёта» за сохранение культурного наследия и развитие туризма. В 1992 году ЮНЕСКО включила белокаменные памятники Суздаля в список объектов Всемирного наследия.
В 2004 году законом Владимирской области городу Суздалю присвоен статус городского поселения. Через четыре года город Суздаль преобразован из города областного подчинения в город районного подчинения Суздальского района.
При такой богатой истории города сохранилось большое количество исторического материла, который можно найти как в статистических сборниках, так и в обширной краеведческой литературе. Для составления геометрических задач можно использовать богатейший материал по землеустройству города, его градостроительные описания. Сама планировка города богата разнообразными компонентами, на основе которых можно составить интересные геометрические задачи. Еще больший простор для составления задач по геометрии дает нам архитектурный облик города, который включает в себя более 200 памятников разных эпох. Как видно из результатов исследования, набрать числовой геометрический материал о родном крае возможно, хотя это сопряжено с определёнными трудностями пользования архивами и переводами числовых величин, которые в разные периоды различались.
3. Требования к составлению геометрических задач на краеведческом материале.
После определения теоретической и краеведческой баз работы необходимо выделить основные требования к составлению геометрических задач.
В математике под задачей понимается некоторая ситуация все объекты которой имеет числовое значение, требующая исследования и решения человеком. Для развития молодого поколения геометрические задачи, основанные на краеведческом материале, имеют большое значение так как в ходе решения таких геометрических задач изучаются дополнительные сведения о развитии города, его истории, географии и т.д.
План составления задач:
1. Сбор фактических данных. Каждую задачу необходимо сопроводить исторической справкой, содержащей цифровые данные.
2. Процесс составления задачи. Из исторической справки надо выбрать математическое содержание и тип задачи.
3. Формулировка условия задачи. Задача должна быть интересной, понятной и звучать корректно с точки зрения, как геометрии, так и краеведения.
4. Правильное оформление задачи. Требования: наличие исторической справки; корректность формулировки условия; наличие подробного решения.
Требования к формулировке задач, составленных на краеведческом материале:
Сюжет и числовые данные задачи должны отражать разнообразные стороны окружающей действительности, носить познавательный, воспитательный характер, возбуждать любознательность и интерес учащихся к математике.
Содержание задачи должно быть кратким, но понятным учащимся. Математическая сторона задачи не должна заслоняться излишними комментариями, поясняющими ее фабулу (события). Отдельные детали, связанные с композицией задачи, можно выяснить устно.
Числовой материал необходимо подбирать в строгом соответствии с программой данного класса по математике.
В тексте задачи для записи именованных чисел должны быть использованы только принятые сокращения; следует избегать произвольных сокращений слов [4].
Решение задач, в которых говорится об их родном крае, вызывает у учащихся большой интерес и способствует развитию не только математических способностей, но и формированию гражданских качеств личности, воспитанию любви к родному краю.
Образцы геометрических задач.
По итогам приведённой работы было начато составление банка заданий. Далее мы приведём несколько задач в качестве примера.
Задача №1. Спасо-Евфимиев монастырь в Суздале основан преподобным Евфимием, как сказано в его житии, в 1352 году по инициативе Суздальского князя Бориса Константиновича. Территория монастыря окружена крепостными стенами с двенадцатью мощными башнями, бойницами и амбразурами. Каменные стены были возведены в 1660 -1664 гг. вместо более старых деревянных, их протяженность составляет 1160 м. Найдите примерную площадь Спасо-Евфимьева монастыря используя карту (масштаб карты указан внизу) и формулы площади прямоугольных треугольников.
Рисунок 1. Карта к задаче №1
Задача №2. В юго-восточной части города Суздаля находится небольшой микрорайон, состоящий из трех улиц, который жители города называют Михали. Раньше это было село Михайлова Сторона, вошедшее в состав города в 1970-е годы. Много веков назад оно было вотчиной князя Михалки, одного из младших сыновей Юрия Долгорукого. В начале 2000-х годов были отреставрированы храмы прихода Архангела Михаила. Традиционной для Суздаля парой стоят церковь Архангела Михаила с колокольней (1769г.) и церковь Флора и Лавра (1803г.) – большая и маленькая, холодная и теплая, летняя и зимняя. А чуть в стороне стоит третий храм, церковь Александра Невского. При взгляде сверху эти три церкви образуют треугольник Используя карту (масштаб указан в низу карты) определите площадь и периметр образуемого церквями треугольника (при расчете за вершину треугольника брать центр храма).
Рисунок 2. Карта к задаче №2
Задача №3. Самым высоким сооружением города Суздаль является Преподобенская колокольня Ризоположенского монастыря построенная в 1811-1813 гг. Ее высота составляет 72 метра. Определите расстояние между школой и Преподобенской колокольней. Для выполнения задания используйте правила подобия треугольников и линейку.
Пояснение к выполнению задания. Определение расстояний по линейным размерам предметов основано на соотношении сторон подобных треугольников. Из рисунка 3 видно, что наблюдатель держит на вытянутой руке линейку (среднее расстояние 50 см) и определяет по ней величину отрезка АБ, закрывающего предмет с известными размерами (АБ = 20 м).
Рисунок 3. Рисунок к задаче № 3.
Из подобия треугольников Oab и ОАБ определяют расстояние ОА.
Задача № 4. Используя теорему Пифагора, найдете расстояние между точками 1 и 2 если бы маршрут проходил по прямой.
Рисунок 4. Ккарта к задаче №4
Задача № 5. Недалеко от Рождественского собора в Кремле до наших дней сохранился участок оборонительного вала XII в. С помощью эклиметра определите крутизну склонов оборонительного вала. Определите разницу уклонов внутренний и внешней сторон вала. Попытайтесь объяснить, чем вызвана эта разница. По имеющимся данным достройте треугольник. Определите угол, образовавшийся бы при пересечении склонов оборонительного вала.
Заключение
Решение исторических краеведческих задач на уроках геометрии не только знакомит учащихся с новыми данными и характеристиками того или иного процесса, объекта, но и развивает учебные умения. Составление задач краеведческого содержания мотивирует и активизирует познавательную деятельность школьников по использованию имеющихся знаний на практике.
Урок с использованием краеведческого материала, развивает личность школьника, его интеллектуальные и творческие способности и, что особенно немаловажно, - его ценностные ориентации: любовь к родине, родному краю, уважение к его истории, духовным и культурным ценностям.
Применение краеведческого материала на уроках геометрии обогащает содержание урока, делает его материал более убедительным и близким для каждого ученика.
В век высоких технологий «краеведческая нить» помогает связать нас с прошлым, увидеть настоящее и осознать будущее.
Список использованных источников и литературы
Бурцева, М. А. Математика в путешествиях: геометрия храмов Суздаля / М. А. Бурцева, О. Е. Пароднова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2019. — № 3.1 (23.1). — С. 7-9. — URL: https://moluch.ru/young/archive/23/1427/
Воронин Н. Н. Владимир, Боголюбово, Суздаль, Юрьев-Польский. — М., 2015.
Геометрия. Сборник рабочих программ. 7—9 классы : пособие для учителей общеобразов. организаций / [сост. Т. А. Бурмистрова]. — 2-е изд., дораб. — М. : Просвещение, 2014. — 95 с. — ISBN 978-5-09-027195-0. Стр. 9-11.
Исследовательская работа «История родного края в математических задачах» 6 класс // Учителя.соm. [Электронный ресурс] Режим доступа: https://uchitelya.com/matematika/891-issledovatelskaya-rabota-istoriya-rodnogo-kraya-v-matematicheskih-zadachah-6-klass.html
История появления Суздальского кремля // anashina.com. https://anashina.com/suzdalskij-kreml/
Макаров Н. А. Суздальское Ополье. / Макаров Н. А., Леонтьев А. Е. (отв. ред.). Русь в IX—X веках: археологическая панорама. — М.; Вологда: Древности Севера, 2012. — С. 194—212.
Михеева, М.А. Изучение темы "Треугольники" в курсе геометрии 7-9 классов средней школы // sinref.ru [Электронный ресурс] Режим доступа: https://www.sinref.ru/000_uchebniki/03800pedagog/000_lekcii_pedagog_09/601.htm?ysclid=l5hpr7orkp393651661#_Toc264325115