XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке. Летняя площадка 2022

Финансовая математика: кредиты и платежи в современном мире

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Санников А.А. 1

---

1МБОУ "Многопрофильный лицей №10" ЕМР РТ

Санникова Г.И. 1

---

1МБОУ "Многопрофильный лицей №10" ЕМР РТ

Работа в формате PDF

122.3 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение Финансовая грамотность – понимание основных финансовых понятий и использование этой информации для принятия разумных решений, способствующих благосостоянию людей. К ним относятся принятие решений о тратах и сбережениях, планирование бюджета, накопление средств на будущие цели, например, получение образования или обеспеченная жизнь в зрелом возрасте. Финансы – одна из важнейших сфер жизни и деятельности современного человека. Эти и многие другие финансовые операции требуют от человека элементарных представлений об экономических понятиях и умений разбираться в финансовых вопросах. Чтобы уметь выбрать наиболее выгодный для себя вариант действий в той или иной финансовой ситуации человеку необходимо владеть определенным набором знаний и умений в области экономики и финансов. Сегодняшний день открывает возможность через математику познавать сложный, информационный мир. И одна из этих возможностей – это исследование финансового мира. Я в будущем решил посвятить себя экономике и финансам, сегодня нуждаюсь в теоретических и в практических знаниях. Сказанное выше определяет актуальность проблемы развития моего финансового образования. Экономическая грамотность становится одним из основных критериев развития конкурентоспособной личности, приспособленной к самостоятельной жизни. Под экономической грамотностью в моем исследовании понимается спектр понятий, информации и знаний из экономической области, а также владение навыками решения практических задач ЕГЭ с экономическим содержанием – это задачи на проценты, вклады и кредиты, продажи и покупки ценных бумаг, выпуск производственной продукции и получение максимальной прибыли. Работа посвящена исследованию основных понятий и решению задач с

экономическим содержанием. Экономические задачи – это задачи реальной жизни . Актуальность: в жизни человек постоянно сталкивается с экономическими процессами. Он должен разбираться в них. Задачи с экономическим содержанием включены в задания ЕГЭ и вызывают у меня повышенный интерес. Я хочу научиться их решать. Гипотеза: в современном мире необходимы знания по экономике и в этом может помочь математика. Объект исследования: экономические понятия и задачи с экономическим содержанием. Предмет исследования: экономические понятия в финансовых операциях, задачи о кредитах, вкладах и ценных бумагах. Цель работы: изучить основные понятия и провестиисследование способов решений задач с экономическим содержанием. Задачи: изучить основные понятия из литературы по экономике и финансам; разобрать задачи ЕГЭ с экономическим содержанием ( на проценты, на вклады, на кредиты и ценные бумаги); проанализировать собранный материал. Методы исследования: сбор информации, обобщение, обработка материала, расчет и анализ, сравнение.

1.Понятия финансовой математики

Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами.

Решение финансовых задач основывается на использовании различных

математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий. Прежде чем рассмотреть способы решения экономических задач, целесообразно привести основные определения, понятия, таблицы и формулы.

Один процент – это одна сотая доля. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

При решении задач необходимо понимать механизм начисления процентов по вкладам или кредитам. Например, если банк выдаёт кредит (S) клиенту, то через год клиент должен банку не только сумму кредита, но и некий процент (r).Возникает необходимость введения нового коэффициента b, b=1+0,01r. С учётом этого, долг клиента банку через год можно записать следующим образом:

S (1 + 0,01r) = Sb Аннуитетные платежи - постоянные ежемесячные или ежегодные платежи, которые не меняются на протяжении всего периода кредитования.

Дифференцированные платежи- ежемесячные или ежегодные платежи, уменьшающиеся к концу срока кредитования и обеспечивающие уменьшение суммы долга на одну и ту же величину.

Арифметическая прогрессия - последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа. Геометрическая прогрессия- последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего изменением на одно и

то же число g.

2. Кредит

Наиболее прочно вошла в жизнь современного человека финансовая операция кредитование.

Кредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определённые

проценты за пользование деньгами. Огромный интерес к разному роду

кредитам вполне понятен, люди хотят упростить свою жизнь и жить лучше. И в настоящее время кредиты позволяют достичь желанной цели немедленно, когда это необходимо. Однако при всей выгодности приобретения любого товара в кредит перед каждым человеком встает проблема ежемесячной выплаты ощутимой суммы из зарплаты и ожидание того времени, когда наконец-то он освободится от финансовой кабалы. Сегодня банки и магазины очень умело пользуются создавшимся положением, деньги в кредит предлагаются на каждом шагу. Практически любую вещь в магазине можно приобрести в рассрочку. И здесь для каждого человека встает вопрос: «У кого и каким предложением воспользоваться?» А чтобы ответить на него, нужны умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий.

Кредиты (деньги в долг под проценты):

клиент взял кредит в банке;

банк начисляет проценты;

клиент банка погашает этот кредит платежами.

3. Теоретическая часть. Платежи

Что необходимо знать и понимать при решении задач на погашение кредита? То что наиболее распространенными платежами по кредитам являются аннуитетные и дифференцированные платежи.

3.1 Аннуитетные платежи (платежи равными долями)

Аннуитетными называются платежи банку одинаковыми суммами. Они применяются при выдаче кредитов на длительный срок (например, ипотека). Заемщик платит каждый месяц одну и ту же сумму денег банку. В первую очередь уплачиваются проценты банку, которые составляют большую сумму платежа, а оставшаяся сумма платежа направляется на погашение кредита. Пусть размер кредита S, процентная ставка банка равна r %, увеличение долга в к раз, к = (1+ 0,01r) , ежегодная выплата по кредиту - Х, тогда Sn – размер долга через n лет. В работе предлагаю один из подходов к решению экономических и задач на оптимальный выбор с помощью таблиц. Решение с

помощью таблицы мне понятно.

При условии полного погашения кредита размер долга через n платежных

периодов S n = 0, тогда

через 1 год после начисления процентов и выплаты суммы Х размер долга равен: S к – X;

через два года долг составит: (S к – X) к –X;

через три года долг будет: ((S к – X) к- X) к– Х;

через четыре года долг - банку: (((S к – X) к-X) к – Х) к – Х;

через n лет долгполучается: ) для подсчета

величины в скобках иногда применяется формула суммы n членов геометрической прогрессии: здесь b1 = 1, q = k Sn = - формула для суммы n членов геометрической прогрессии

Sn = – – формула для вычисления размера долга через n платежных лет

S=Х , гдек=1+0,01r – формула,связывающая кредиты, процентыи

платежи.

3.2. Дифференцированные платежи

Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по

кредиту погашается, равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты

начисляются на фактический остаток. При таком способе сумма ежемесячной выплаты будет всегда разная, и она будет постепенно уменьшаться.

Пусть размер кредита S. Срок – n платежных периодов. В каждый платежный период долг сначала возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платёжного периода. Начисления r %, увеличение в к раз: ( 1 + 0,01r) = к.

Выплаты вычисляются так:

В= кS - +…+ ((n + ( n-1) + ( n-2) + … + 1 ) - Sk= S ( – )= =S = S = S (1+ = S (1+ ).

В= S (1+ ) - формула полной величины выплат

П = В-S, П=S -переплата.

4. Практическая часть: задачи о кредитах на аннуитетные платежи

В зависимости от того, какая из переменных неизвестна в формулах S=Х , В= S (1+ ), можно выделить типы экономических задач.

4.1. Нахождение количества лет выплаты кредита

Задача 1. 1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей? Решение. Сумма кредита – 1000000 рублей, процентная ставка: r =1%,

коэффициент к=1,01, ежегодная выплата Х, Х≤ 125000 рублей. Нужно найти количество минимальное количество лет. Составлю таблицу.

Ответ: 9 месяцев.

4.2. Нахождение выплаты (платежа) кредита

Задача 2. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными

платежами (то есть за два года)?

Решение. Сумма кредита – 4290000 рублей , процентная ставка: r =14,5%

коэффициент к=1,145%, ежегодная выплата Х рублей, срок кредитования 2

года. Чему равен платеж Х?

S- Х=0; S Х=0; Х= ; Х= ; Х=2622050. Ответ: 2622050 рублей.

4.3. Задачи на фиксированные платежи. Задача 3. Евгений взял 15 января кредит на сумму 1000000 рублей на 6 месяцев. Условия возврата таковы. Каждый месяц 1-го числа долг возрастает на целое число r % по сравнению с концом предыдущего месяца. Со 2-го по14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга. Каждый месяц 15-го числа долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найти наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять более 1250000 рублей. Решение. Пусть для определенности Евгений выплачивает долг 14-го числа каждого месяца. Запишу в виде таблицы сумму этих выплат.

Согласно условию задачи имеем следующее неравенство: 1+ 0,9 +0,9(1+) 0,8 +0,8(1+) 0,7 + 0,7(1++ 0,6(1+) + 0,5(1+)(1+) ( 1+0,9+0,8+0,7+0,6+0,5) 4,5 (1+) 4,5 (1+)(1+)(1+) ; r 5 . Наименьшее целое число, удовлетворяющее полученному неравенству, это r=6. Ответ: 6%.

Задача 4. 31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Антон переводит очередной транш. Антон выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 510 тыс. рублей, во второй – 649 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Антону? Решение:Сумма кредита – 1000000 рублей, процентная ставка: r%

коэффициент к=1+0,01r , первый транш (выплата, платеж) – 510000 рублей, второй транш – 649000 рублей.

S; 1000000 1000000

=0; 1000 =0; квадратное уравнение

относительно коэффициента ; D=+4 2856100= ; k1 =1,1 и k2=. Итак, 1,1=1+0,01r; r=10. Ответ: 10%.

4.4.Практическая часть: задачи о кредитах на дифференцированные платежи При расчете дифференцированного платежа общая сумма первоначального кредита делится на абсолютно равные части. Как правило, количество частей равно количеству проводимых платежей. Ежемесячно в течение всего срока погашения кредита мы будем выплачивать банку ровно одну часть основного долга плюс начисленные на его остаток проценты. Вообще, сразу хочу заметить, что в конечном итоге нам придется заплатить банку сумму, которую грубо можно разбить на 2 составляющих: Выплаты = Кредит +Проценты.

Характеристики дифференцированного платежа: кредит уменьшается равными долями, количество которых совпадает с количеством платежей

(платежи проводятся еженедельно, ежемесячно, ежегодно и т. п.); первая кредитная выплата является наибольшей из всех выплат, а последняя, соответственно, наименьшей; при построении математической модели  дифференцированного платежа  включается арифметическая прогрессия, которую нужно увидеть; суммы всех выплат различны, то есть размер каждой выплаты отличается от всех остальных. Задача 5. Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей? Решение. Кредит S =100 000 рублей, срок кредитования – n лет, процентная ставка 10%, коэффициент k = 1,1, ежегодные выплаты Х рублей

S – Х – … –kХ–Х=0; +…+k+1); Х=; Х= ; Х14000 • ≥ 24000; ≥ ; 1,71, при n=6 1,77. Итак, 1,77 Ответ: 6.

Задача 6.15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей? Решение. Сумма кредита –S рублей, процентная ставка: 3 %, коэффициент k=1,03, срок кредитования 21 месяцев. Нужно найти сумму кредита S, если все выплаты составляют 1604000 рублей.

Общая сумма выплат: k((S+(S-30)+(S-60)+(S-90)+…+(S+600))-((S-30)+(S-60)+(S-90)+…+(S-600))= =1604.

Упрощаю с помощью формулы суммы n членов арифметической прогрессии, получаю: k (S-300) по условию k=1,03 S=1100 тыс. рублей Ответ:1100000 рублей

Заключение. Таким образом, понимание финансовой математики и умение производить расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку.Работая над темой, я расширил свой кругозор, ознакомился с задачами о кредитах, узнал о видах платежей. Изучил виды экономических задач, представленных на ЕГЭ и овладел навыками их решения. Я сделал еще один шаг к успешной сдаче ЕГЭ. Работая над задачами, сформулированными в условиях, начал задумываться о реальной жизни. О том, что кредиты, отношения с банками, игра на бирже, колебания курсов ценных бумаг, начисление процентов дело сложное и требует больших знаний.  К этому нельзя относиться легкомысленно. С чего начинать решать экономические задачи – очень внимательно читать условия задачи и по шагам распределить действия, затем постараться математически выразить их и постараться прийти к ответу. Литература 1. Ященко И. В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2018 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин. – М.: МЦНМО, 2015. – 288 с. 3. Спецификация контрольно-измерительных материалов для проведения в 2018 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень. Сайт http://www.ege.edu.ru/ 4. Образовательный портал для подготовки к экзаменам www.reshuege.ru 5. Сайт репетитора Александра Ларина www.alexlarin.net. 6. СтатГрад www.statgrad.org. 7. Федеральный институт педагогических измерений www.fipi.org