XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке. Летняя площадка 2022

Золотая пропорция

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Тонкова М.М. 1

---

1МБОУ "Верещагинский образовательный комплекс" СП Школа №1

Мехоношина Е.В. 1

---

1МБОУ "Верещагинский образовательный комплекс" СП Школа №1

Работа в формате PDF

1.7 MB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота,

то второе – с драгоценным камнем…»

Иоганн Кеплер

Окружающий нас мир многообразен… Мы относимся к окружающим нас предметам и явлениям неодинаково. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целостность и гармония, воспринимаются как красивые и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

Людей с древности волновал вопрос: подчиняются ли такие неуловимые вещи, как красота и гармония, каким-либо математическим расчетам. Можно ли «алгеброй гармонию проверить», как сказал А.С. Пушкин.

На уроках математики в этом учебном году я познакомилась с понятиями: отношение, пропорция. Данные понятия занимают важное место не только в курсе математики 6 класса, но и в курсе всей математики вообще. Пропорциональность можно встретить в природе, искусстве, архитектуре и в других сферах нашей деятельности. Соотношений между отдельными частями и является непременным условием гармонии и красоты. Золотое сечение или золотая пропорция – это венец гармонии и красоты.

Я поставила перед собой цель узнать, что такое золотая пропорция, где она применяется и действительно ли является наиболее гармоничной. Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

Изучить историю появления золотой пропорции.

Научится строить математические объекты в золотом отношении.

Выяснить в каким областях знаний, повседневной жизни применяется золотая пропорция.

Проверить практическим путем гармонию и красоту золотой пропорции.

Сделать вывод по результатам исследования.

Гипотеза: в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой золотой пропорцией и на них человек обращает больше внимание, так как они более гармоничны и красивы.

Объектом исследования является пропорциональные зависимости величин. Методы исследования: анализ и обобщение литературы, наблюдение, измерение, сравнение, практическая деятельность. 

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Из истории золотой пропорции

Сейчас невозможно достоверно установить ни человека, впервые открывшего золотую пропорцию, ни время, когда это произошло. Очевидно, ее неоднократно открывали, забывали и открывали заново в разное время и в разных странах. Многие исследователи считают первооткрывателем золотой пропорции греческого математика и философа Пифагора. Последователи Пифагора представляли мир, вселенную, космос, природу и человека как единое целое, где все взаимосвязано и находится в гармонических отношениях. Гармония здесь выступает как начало порядка — упорядочивания хаоса. Гармония присуща природе и искусству: «Одни и те же законы существуют для музыкальных ладов и планет». Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено; что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание). Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что в основе мироздания лежат симметричные геометрические формы. Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте. Они исследовали пропорции человеческого тела и утвердили математический канон красоты [2], [1].

Вслед за пифагорейцами средневековый ученый Августин назвал красоту «числовым равенством». Философ – схоласт Бонавентура писал: «Красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же прежде всего существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению». Об использовании пропорции в искусстве Леонардо да Винчи писал в своем трактате о живописи: «Живописец воплощает в форме пропорции те же таящиеся в природе закономерности, которые в форме числового закона познает ученый» [10], [2].

Таким образом, пропорциональность, соразмерность частей целого является важнейшим условием гармонии целого и может быть выражена математически посредством пропорций.

 Слово пропорция происходит от латинского слова proportion, означающее вообще соразмерность, выровненность частей (определенное соотношение частей между собой). Пропорция означает равенство двух или нескольких отношений [11].

Существует несколько видов пропорциональности: математическая, гармоническая, геометрическая и др.

В математической равенство двух отношений выражается формулой , каждый член ее может быть определен через остальные три.

В гармонической пропорции 3 элемента. Они являются или попарными разностями некоторой тройки элементов, или самими этими элементами, например: .

В геометрической пропорции тоже всего 3 элемента, но один из них общий, .

Разновидностью геометрической пропорции является пропорция так называемого «золотого сечения», имеющая всего два члена – «a» и «b» [7].

Термин «золотое сечение» ввел в XVI веке великий художник, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи. В истории утвердились три варианта названия: золотое сечение, золотая пропорция и третье – деление отрезка в среднем и крайнем отношениях. Кроме того, золотое сечение награждали эпитетами «божественное», «чудесное», «превосходящее», потому что оно вызывает ощущение красоты и гармонии [8].

Деление отрезка в золотом отношении

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:

или  (см. рис.1).

Рис.1

Построим золотое сечение отрезка AB, т.е. точку С так, чтобы

Рис.2

Построим прямоугольный треугольник, к которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок . Далее, соединив точки A и D, отложим DE=BD и наконец, AC=AE. Точка С является искомой, она производит золотое сечение (см. рис. 2) [7], [10].

Деление отрезка в золотом отношении – очень древняя задача. Она присутствует в «Началах» Евклида, который решил ее другим способом.

Особенностью пропорции золотого сечения является то, что в ней последний член представляет собой разность между двумя предыдущими членами. Для удобства длину отрезка АВ обозначим за , а длину отрезка АС – за , то длина отрезка СВ будет Обозначения представлены на рисунке 3.

Рис.3

Пропорция примет вид:

Из уравнения получим

— это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке н.э., который часто использовал золотое отношение в своих произведениях и создавшего храм Парфенон в Афинах. На самом деле в числе φ бесконечно много знаков после запятой – это бесконечная непериодическая дробь. Можно привести запись этого числа с большим количеством цифр:

φ=1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544… [6].

В геометрии существует объекты, которые подчиняются золотой пропорции. Рассмотрим некоторые из них. Золотой треугольник – это такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении. Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине дает число , называется золотым прямоугольником.

Если продолжить работу с золотым прямоугольником и в нём построить квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, у которого с прямоугольником общий прямой угол. Окажется, снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. В этом прямоугольнике снова построим квадрат, у которого с прямоугольником общий угол, и со стороной равной меньшей стороне прямоугольника. Снова получим золотой прямоугольник. Произведём несколько аналогичных построений. Видим, что весь прямоугольник оказался составленным из вращающихся квадратов. Соединим противолежащие вершины квадратов плавной кривой. Сделаем это с помощью циркуля следующим образом, как показано на рисунке 4.

Рис.4

Мы получим кривую, которая является золотой спиралью. Ви природе встречаются и золотое сечение, и золотая спираль [9].

Применение золотой пропорции и золотой спирали в природе

Интерес человека к природе привел к открытию ее физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготения и инерции. Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлет юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. Тогда тоска С делит отрезок АВ в золотом отношении, точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее (рис. 5).

Рис.5

Расположение семечек в корзине подсолнуха также подчинено золотой пропорции. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнуха закручено 13 спиралей , в другую – 21. Отношение 13/214 равно . У более крупных соцветий подсолнуха число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу . Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. По золотой спирали свернуты раковины многих улиток и моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.

Природа повторяет свои находки как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы. Примеры смотри на рисунке 6.

Рис. 6

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина её хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38 (рис.7).

Рис. 7

Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Можно сделать вывод, что золотая пропорция – это один из основных основополагающих принципов природы. Человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Человек и сам венец творения природы. Установлено, что золотым отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела.

Оказывается, что у большинства людей верхняя точка уха, делит высоту головы вместе с шеей в золотом отношении. Нижняя точка уха делит в золотом отношении расстояние от верхней части уха до основания шей. Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи золотом отношении (рис. 8).

Рис.8

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человек в золотом отношении. Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении [3].

В классике изобразительного искусства на протяжении многих веков прослеживается приём построения пропорции, называемый золотым сечением, или золотым числом.

Исследователи обнаружили, что композиция рисунка «Джоконда» основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Также пропорция золотого сечения проявляется в картине «Корабельная роща» Шишкина. Ярко освещенная солнцем сосна делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны – освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали (рис. 9).  

Рис. 9

Парфенон – красивейшее произведение древнегреческой архитектуры. Построено в V веке до н. э. Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада (рис. 10).

Рис.10

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари), и в пирамиде Хеопса. Не только египетские пирамиды построены в соответствии с совершенными пропорциями золотого сечения, то же самое явление обнаружено и у мексиканских пирамид [4].

Исследования гармоничности и красоты золотой пропорции

Во многих источниках утверждается, что человек на подсознании, интуитивно, понимает гармоничный предмет или нет. А наиболее гармоничными и красивыми считаются объекты, связанные с золотой пропорцией. Я решила проверить этот факт.

Исследование с лавкой

Ученикам предлагалось сесть на лавку в любое понравившееся место. Гипотеза: большинство учеников присядет на лавку в точку золотого сечения. В исследовании приняли участие 50 учеников моей школы в возрасте от 12 до 16 лет. Длина лавки – 110 см. Выбранное место фиксировалось и измерялось расстояние от края лавки до данной точки. Затем я нашла отношение большей часто отрезка (выделена желтым цветов в таблице) к длине лавки и сравнила полученное отношение с числом . Полученные значения представлены в таблице №1.

Таблица №1

Данные эксперимента с лавкой

Число , возьмем погрешность измерений 0,05. Прибавим и вычтем погрешность из значения числа , получим значение от 0,568 до 0,668. Округлим полученные значения до сотых, получим, что будет принимать значения от 0,57 до 0,67 (выделены в таблице зеленым цветом). Подберем одинаковые промежутки и подсчитаем количество значений на каждом промежутке. Данные занесем в таблицу ниже.

Из таблицы видно, что значений из прожитка близкому к больше, а это и значит, что ученики чаще присаживались именно в точку золотого сечения. Гипотеза подтвердилась.

Исследования с золотыми прямоугольниками

В исследовании приняли участие 26 учеников моего класса. Одноклассникам предлагалось из пяти прямоугольников одного цвета выбрать два наиболее гармоничных на их взгляд. Гипотеза: большинство выберет золотые прямоугольники, так как они более гармоничны. Золотые прямоугольники были зашифрованы под номерами 3 и 5. Результаты исследования представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Данные эксперимента с прямоугольниками

Подсчитаем сколько раз каждый прямоугольник выбрали. Занесем в таблицу ниже.

Прямоугольник по номером 5 выбирали чаще, однако прямоугольник 3, 2,1 выбирали с одинаковой частотой, хотя некоторые из них гармоничными не являются. Подсчитаем сколько человек выбрали хотя бы один золотой прямоугольник. Их получилось – 19, это 73%. Значит гипотеза подтвердилась.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На протяжении всей работы передо мной была поставлена цель: узнать, что такое золотая пропорция, найти области ее применения и подтвердить, что она является наиболее гармоничной. Свою цель я достигла, в результате работы получил следующие выводы и результаты:

Изучила историю появления золотой пропорции.

Научилась делить отрезок в золотом отношении.

Познакомилась с золотыми математическими объектами такими как золотой треугольник, золотой прямоугольник, золотая спираль.

Выяснить в каким областях знаний, повседневной жизни применяется золотая пропорция.

Проверила практическим путем гармонию и красоту золотой пропорции.

В ходе исследования моя гипотеза подтвердилась. Теперь я уверена, что в красоте и гармонии скрыта математика. Я бы хотела в дальнейшем продолжить изучать данную тему и поделится своими наработками со сверстниками.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. – М.: Школа-пресс, 1998.

Васюткинский Н.Н. Золотая пропорция. – М., 1990.

Виппер Ю.ЙФ. Золотое деление как основа морфологический закон в природе и искусстве. – М., 1976.

Волошинов А. В. «Математика и архитектура». – М.: «Просвещение». 2000.

Кованцов Н.И. Математика и романтика. – Киев, 1976.

Лаврус В. «Золотое сечение». – электронная библиотека. «Наука и техника».

Мурадова Р. Обобщающий урок по теме «Золотое сечение» // Математика (Приложение к газете «Первое Сентября»). – 1999. – №14.

Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Минр, 1989.

Прохоров А. И. Золотая спираль // Квант. – 1984. - №9.

Савин и др. Я познаю мир: математика: детская энциклопедия: математика – М.: АСТ, 1995.

Энциклопедический словарь юного математика. – М., 1989.