XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2022
Исследование квадратичной функции
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В мире всё взаимосвязано. В математике все явления и зависимости можно описать с помощью функций. Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. «Математическими портретами» закономерностей природы и служит функция.
Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы, и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. И поэтому тему своего исследования мы обозначили как «Исследование квадратичной функции». Мы любим находить различные закономерности в окружающем нас мире, любим изучать числа, строить графики. Поэтому мы решилаи подробнее узнать, как можно связать различные моменты жизни с функциями и графиками.
Гипотеза: путем построения различных парабол можно исследовать квадратичную функцию.
Объект исследования: парабола как график квадратичной функции.
Предмет исследования: зависимость расположения параболы от её коэффициентов.
Цель: исследовать зависимость свойств параболы от её коэффициентов.
Задачи исследования:
1. Выяснить закономерность расположения вершин параболы.
2. Рассмотреть некоторые параболы, заданные квадратичной функцией.
3. Выявить общие черты семейства парабол.
Цель работы: исследовать зависимость свойств параболы от её коэффициентов заставляет решать следующие задачи:
1. Рассмотреть историю возникновения понятия функции.
2. Выяснить закономерность расположения вершин параболы.
3. Рассмотреть некоторые параболы, заданные квадратичной функцией.
4. Выявить общие черты семейства парабол.
Мы считаем, что данная исследовательская работа может помочь заинтересовать учащихся, дать возможность «заглянуть внутрь» такого сложного математического понятия как «квадратичная функция».
Глава 1. Из истории возникновения функций
Понятие «функция» уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере [1].
С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.
Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.
Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения – формулы.
Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли [2].
Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».
Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.
В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.
Глава 2. Определение, график и свойства квадратичной функции
2.1 Определение квадратичной функции
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax2+bx+c, где х- независимая переменная, a, b, c некоторые числа, причём a ≠0.
В уравнении квадратичной функции: a - старший коэффициент, b - второй коэффициент, с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой, вершина которой находится в точке .
Областью определения квадратичной функции является множество всех чисел.
Парабола обладает следующими свойствами: ветви параболы при a>0 направлены вверх, а при a<0 – вниз;
парабола симметрична относительно прямой, проходящей через ее вершину, параллельно оси ординат;
абсциссы точек пересечения параболы с осью Oх есть нули функции, т.е. такие значения переменной, при которых функция обращается в нуль;
форма и расположение параболы на координатной плоскости зависит от значений a, b, c.
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент а=1, то график квадратичной функции имеет такую же форму, как график функции у=х2 при любых значениях остальных коэффициентов.
В случае квадратичной функции y=ax2+bx+c нужно решить квадратное уравнение ax2+bx+c=0. В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: D=b2-4aс, который определяет число корней квадратного уравнения.
2.2 Зависимость графика квадратичной функции от дискриминанта
1 . Если D<0,то уравнение ax2+bx+c=0 не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax2+bx+c не имеет точек пересечения с осью Ох. Если a>0,то график функции выглядит так:
2 . Если D=0 ,то уравнение ax2+bx+c=0 имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax2+bx+c имеет одну точку пересечения с осью Ох. Если a>0,то график функции выглядит так:
3. Если D>0,то уравнение ax2+bx+c=0 имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax2+bx+c имеет две точки пересечения с осью Ох:
,
Если a>0,то график функции выглядит так
2.3 Свойства функции у = x2
1 . Область определения функции - вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).
2. Область значений функции - положительная полупрямая: E(f) = [0; ∞).
3. Функция у = x2 - четная: f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x). Ось ординат является осью симметрии параболы.
4. На промежутке (−∞; 0) функция монотонно убывает. На промежутке (0; + ∞) функция монотонно возрастает.
5. В точке x = 0 достигает минимального значения. Точка с координатами (0;0) является вершиной параболы.
6. Функция непрерывна на всей области определения.
7. Нули функции: y = 0 при x = 0.
2.4 Свойства квадратичной функции общего вида
1. Область определения функции - вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).
2. Область значений функции зависит от знака коэффициента a.
При a > 0 ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее, но не имеет наибольшего значения, при a < 0 ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее, но не имеет наименьшего значения
3. В общем случае функция у = ax2 + bx + c не является ни четной, ни нечетной. Осью симметрии параболы является прямая . Функция будет четной только в случае, когда эта прямая совпадает с осью Oy, т.е. при b = 0.
4. При a > 0 функция монотонно убывает на промежутке (−∞; ) и монотонно возрастает на промежутке ( ; ∞). При a < 0 функция монотонно возрастает на промежутке (−∞; ) и монотонно убывает на промежутке ( ; ∞).
5. В точке x = при a < 0 достигается максимум, а при a > 0 — минимум функции. Оба значения определяются по формуле Точка с координатами является вершиной параболы.
6. Функция непрерывна на всей области определения.
7. Парабола пересекает ось ординат в точке (0; c). Если квадратный трёхчлен имеет действительные корни x1 ≠ x2, то парабола пересекает ось абсцисс в точках (x1;0) и (x2;0). При x1 = x2 парабола касается оси абсцисс в точке (x1;0).
Глава 3. Влияние коэффициентов квадратного трёхчлена на расположение параболы
3.1. Исследование квадратного трехчлена
Рассмотрим квадратный трехчлен y=ax2+bx+с, где . Как известно, графиком функции y=ax2+bx+c является парабола. Напомним основные положения, которые будут использоваться в дальнейшем. Преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат: [19].
На основе этого преобразования выводятся основные формулы и теоремы. Приведем их.
1. Уравнение ax2+bx+c=0, где , имеет решение тогда и только тогда, когда . При этом корни уравнения вычисляются по формуле и квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители:
.
2. (Теорема Виета) Если - корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0, то
.
Из этой теоремы следует, в частности, что квадратный трехчлен можно записать в виде .
3. Парабола y=ax2+bx+c имеет вершину в точке .
4. Ветви параболы направлены вверх, если a>0 и направлены вниз, если a<0.
5. Парабола имеет две точки пересечения с осью Ox, если D>0; одну точку пересечения с осью Ox, если D=0 и не имеет точек пересечения с осью Ox, если D<0. Возможные случаи расположения параболы изображены на рисунке.
a>0, D>0 a<0, D>0
a>0, D=0 a<0, D=0
,
6. Парабола имеет единственную точку (0, с) пересечения с осью Oy.
7. Парабола симметрична относительно прямой .
8. Если a>0, то функция y=ax2+bx+c имеет единственную точку минимума , наименьшее значение функции достигается в этой точке и равно . Из этого следует, что множество значений функции y=ax2+bx+c , заданной на всей числовой прямой, есть луч .
Если a<0, то функция y=ax2+bx+c имеет единственную точку максимума , наибольшее значение функции достигается в этой точке и равно . Из этого следует, что множество значений функции , заданной на всей числовой прямой, есть луч .
3.2. Расположение параболы в зависимости от коэффициентов a, b, c
П реобразуем формулу у=ах2+bx+c.
Получим:
Выясним, как расположена парабола в зависимости от знака коэффициентов а, b, с.
Пользуясь полученной формулой:
выясним расположение параболы при a>0
Ветви параболы направлены вверх. При b>0, c>0 вершина находится во II или III четверти. При с вершина параболы находится во ΙΙ четверти, a>0, b>0, c>0.
При с вершина параболы находится в ΙΙΙ четверти, a>0, b>0, c>0.
При b>0, c<0 вершина параболы находится в III четверти, a>0, b>0, c<0.
П ри b<0, c>0 вершина находится в I или IV четверти.
При с вершина параболы находится в Ι четверти, a>0, b<0, c>0.
При с вершина параболы находится в ΙV четверти, a>0, b<0, c>0.
П ри b<0, c<0 вершина находится в IV четверти, a>0, b<0, c<0.
П ри b2=4ac вершина находится на оси абсцисс b<0, вершина справа от оси ординат, b>0, вершина слева от оси ординат
При b=0, вершина находится на оси ординат
b=0, c>0 b=0, c<0
b=0, c>0, вершина параболы находится выше оси абсцисс, b=0, c<0, вершина параболы находится ниже оси абсцисс. Пользуясь полученной формулой:
выясним расположение параболы при a<0
Ветви параболы направлены вниз.
П ри b>0, c>0 вершина параболы находится в I четверти, a<0, b>0, c>0.
При b>0, c<0 вершина находится вoI или IV четверти.
При с вершина параболы находится в Ι четверти, a<0, b>0, c<0.
При с вершина параболы находится в ΙV четверти, a<0, b>0, c<0.
П ри b<0, c>0 вершина параболы находится вo II четверти, a<0, b<0, c>0.
При b<0, c<0 вершина находится вoII или III четверти.
При с вершина параболы находится в ΙI четверти, a<0, b<0, c<0.
При с вершина параболы находится в ΙII четверти, a<0, b<0, c<0.
При b2=4ac вершина находится на оси абсцисс
b<0 b>0
При b=0, вершина находится на оси ординат
a<0, b=0, c<0 a<0, b=0, c>0
Расположение графиков квадратичных функций в зависимости от параметров a, b, c
y=ax2+bx+с
1 случай: с – параметр (меняется, при a и b постоянных), а и b – константы. 2 случай: а – параметр, с и b – константы.
3 случай: b – параметр, а и с – константы.
1 случай: Если с – параметр, а и b – константы, то все вершины будут располагаться на одной прямой, параллельной оси Oy, задаваемой прямой
Например, построим графики функций y=-2x2+8x-4, y=-2x2+8x-3,
y=-2x2+8x-1, y=-2x2+8x+2. Вершины парабол находятся на прямой х=2.
2 случай: Если а – параметр, с и b – константы, то все вершины семейства парабол будут расположены на прямой .
Например, построим графики функций y=x2+2x+1, y=2x2+2x+1, y=4x2+2x+1, y=0,5x2+2x+1, y=3x2+2x+1. Вершины парабол находятся на прямой у=х+1.
3 случай: Если b – параметр, а и с – константы, то все семейство парабол имеет «параболу вершин» у=-ах2+с
Например, построим графики функций y=2x2+3x+1, y=2x2+5x+1, y=2x2+7x+1, y=2x2-2x+1, y=2x2-4x+1, y=2x2-7x+1. Вершины парабол находятся на параболе у=-2х2+1.
Выводы: при изменении коэффициента с все вершины семейства парабол будут располагаться на одной прямой, параллельной оси Оу. При изменении коэффициента, а все вершины семейства парабол будут располагаться на одной прямой. При изменении коэффициента b все вершины семейства парабол имеют общую «параболу вершин» и пересекаются в одной точке, в вершине «параболы вершин».
Заключение
В ходе работы мы проанализировали и изучили литературу по истории развития квадратичной функции, применении её в науке и технике. Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция ещё далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия квадратичной функции и других математических понятий.
В работе мы исследовали квадратный трёхчлен, влияние коэффициентов квадратного трёхчлена на расположение параболы, выявили общие черты семейства парабол. В каждом случае мы строили график, делали выводы, обобщали. Таким образом, функции служат «математическими портретами» законов природы и жизненных ситуаций.
Гипотеза исследования: путем построения различных парабол можно исследовать квадратичную функцию подтверждена полностью.
Цель: исследовать зависимость свойств параболы от её коэффициентов, достигнута.
Задачи исследования решены.
В результате работы мы достигли понимания важности изучения математики и получили возможность показать одноклассникам красоту и значимость математики. Выполняя исследовательскую работу, мы приобрели не только необходимые знания, умения и навыки, которые пригодятся нам при подготовке к экзамену, но и определённый личностный опыт.
Мы считаем, что данная исследовательская работа может помочь заинтересовать учащихся, дать возможность «заглянуть внутрь» такого сложного математического понятия как «квадратичная функция».
Для нас работа по исследованию квадратичной функции была новой, интересной и полезной, поскольку проведена систематизация теоретического материала, изучено практическое применение квадратичной функции в окружающей нас жизни, подобраны и порешены типовые и необычные задания с применением квадратичной функции, которые позволили наиболее тщательно и целесообразно использовать данный материал.
Литература и интернет ресурсы
1.Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике, издательство «Просвещение», Москва, 1989 г.
2.Гельфанд И. М, Глаголева Е.Г. Функции и графики, издательство «Наука», Москва, 1988 г.
3.Глейзер Г. И. История математики в школе, издательство «Просвещение», Москва, 1982 г.
4.Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: книга для учащихся, издательство «Просвещение», Москва, 1988 г.
5.Дорофеев Г. В. и др. Математика. Алгебра. Анализ данных. 9 кл.: История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, том II издательство «Наука», Москва, 1970 г.
6.Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции, издательство «Наука», Москва, 1990 г.
7.Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках, издательство «Просвещение», Москва, 1981 г.
8.Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия, издательство «Просвещение». Москва.1991г.
9.Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику, издательство «Просвещение», Москва, 2010 г.
10.Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, издательство «Высшая школа», Москва, 1997 г.
11.Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка, издательство «Просвещение», Москва, 1964 г.
12.Перельман Я.И. «Занимательная физика» издательство «АСТ», Москва, 2005г .
13.Потапов М.К., Олехник С.Н. Конкурсные задачи по математики, издательство «Наука» Москва, 1991 г.
14.Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формул, издательство «Столетие», Москва, 1995 г.
15.Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика», издательство «Педагогика», Москва ,1989г.
16.Сборник тестовых заданий по алгебре к государственной (итоговой) аттестации в новой форме. Под редакцией Семенко Е.А. Краснодар.2014г
17.Степанов В.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе: Кн. Для учителя: Из опыта работы, издательство «Просвещение», Москва, 1991 г.
18.Теляковского С.А., Алгебра, издательство «Просвещение», Москва, 1997г.
19.Туманов С.И. Элементарная алгебра, издательство «Просвещение», Москва, 1994 г.
20.Ульяновская Н. Н. О, функция, как ты Важна, издательство «Просвещение», Москва, 1991 г.
21.ФИПИ. Федеральный институт педагогических измерений http://5fan.info/qasotrjgeyfsbewpol.html
22. http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvunc/kvfunct.htm