XVI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке. Летняя площадка 2022

Математика на службе других наук. Решение задач с помощью диаграмм Эйлера – Венна

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кумпилов Д.М. 1

---

1МБОУ «Майкопская гимназия № 22»

Беляшова И.В. 1

---

1МБОУ «Майкопская гимназия № 22»

Работа в формате PDF

599.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования.Великий итальянский физик, механик, астроном, философ, математик Галилео Галилей считал, что «великая книга природы написана математическими символами».

А можно ли с помощью математических инструментов решать задачи по другим предметам, например, по русскому языку или окружающему миру?

Рассматривая новый учебник математики для 3 класса [6], который нам выдали перед каникулами, я обнаружил неизвестное мне название: «Диаграммы Эйлера – Венна». С помощью учебника и старших братьев я понял, что такое диаграмма Эйлера – Венна и что с её помощью можно не только лучше представлять себе множества, но и решать задачи по математике.

Несмотря на то, что кругам Эйлера – Венна более полторы сотри лет, изучению целесообразности применения данных диаграмм посвящены современные исследовательские работы.

Ахмет Бояубай (2020) считает, что решение задач с помощью диаграммы Эйлера-Венна приведёт к упрощению решения и к сокращению времени на их выполнение [1].

Скворцов Н. (2021) полагает, что применение кругов Эйлера-Вена обеспечивает простоту, наглядность и быстроту решения задач раздела математической логики в математике и информатике [9].

И. М. Лукашов, А. А. Корабельникова, Е. И. Минайченкова, И. В. Положенцева с помощью диаграмм Эйлера – Венна провели анализ национального проекта «Демография», установив, что применение данных диаграмм позволяет понять логику построения проекта [5].

Данные работы обосновывают целесообразность использования кругов Эйлера – Венна при решении задач по математике и управлению, но не дают ответа на поставленный ранее вопрос о возможности использования математических инструментов при решении задач не только по математике, но и по другим предметам, что и определяет для меня актуальность данного исследования.

Проблема исследования: поиск возможностей использования диаграмм Эйлера – Венна при решении задач по разным учебным предметам.

Объект исследования: диаграмма Эйлера – Венна.

Предмет исследования: использования диаграмм Эйлера – Венна при решении задач по разным учебным предметам.

Цель исследования: экспериментальная проверка эффективности использования диаграмм Эйлера – Венна при решении задач по разным учебным предметам.

Гипотеза исследования: применение кругов Эйлера-Вена при решении задач по разным учебным предметам позволит лучше понять содержание задачи, установив связи между её данными, что упростит её решение.

Для достижения цели в соответствии с объектом и предметом исследования поставлены следующие задачи:

1. Учиться работать с информацией по исследуемой теме, познакомиться с историей создания диаграмм Эйлера – Венна, выявить сходство и различия между диаграммами Эйлера и диаграммами Венна.

2. Экспериментально проверить эффективность использования диаграмм Эйлера – Венна как математического инструмента для решения задач по разным учебным предметам.

3. Оценивать ход и результат работы.

Методы исследования

На различных этапах работы и при решении отдельных задач, поставленных в исследовании, использовался следующие методы: анализ научно-популярной литературы, методы наблюдения и сравнения, методы обобщения информации, методы оценки хода и результата работы.

Практическая значимость исследования заключается в том, что содержащиеся в нем выводы об эффективности использования диаграмм Эйлера – Венна как математического инструмента для решения задач по разным учебным предметам могут быть использованы в учебной деятельности учащимися начальных классов.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 История создания диаграмм Эйлера – Венна

Диаграммы в виде круга начали использовать еще в XIII веке. Однако популярными и всемирно известными их сделал английский логик Джон Венн в 1880 году. Джона Венна вдохновил математик Леонард Эйлер.

Автор метода – ученый Леонард Эйлер (1707–1783). Он так и говорил о названных его именем схемах: «Круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Эйлер считается немецким, швейцарским и даже российским математиком, механиком и физиком. Дело в том, что он много лет проработал в Петербургской академии наук и внес существенный вклад в развитие российской науки [4].

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него многие ученые использовали его в своей работе и видоизменяли его. Но главные заслуги принадлежат английскому математику, логику и философу Джону Венну (1834–1923).

Благодаря работам Дж. Венна метод называют диаграммами Венна или Эйлера – Венна.

1.2 Сходство и различия между диаграммами Эйлера и диаграммами Венна

Понятия «диаграммы Эйлера» и «диаграммы Венна» часто принимают за одно и то же. Но на самом деле между ними все же есть небольшая разница [10].

Особенности кругов Эйлера и диаграмм Венна представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Сходство и различие кругов Эйлера и диаграмм Венна

Продолжение таблицы 1

На рисунке 1 видно, что множество учеников и множество родителей больше, чем учителей. Во множество «школьное сообщество» входят не только ученики, их родители и учителя, но и другие группы, например, администрация школы, технический персонал и др.

По рисунку 2 мы не можем судить об их количественном соотношении, но точно известно, что среди учителей школы есть родители учеников.

Таким образом, несмотря на некоторые различия, диаграммы Эйлера и Венна схожи в главном: их задача – упростить рассуждения и помочь быстрее и проще получить ответ. Поэтому в практической части своей работы буду использовать термин «диаграммы Эйлера – Венна» при решении задач не только по математике, но и по другим школьным предметам.

Глава 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Цель практической части исследования – проверить возможности применения диаграмм Эйлера – Венна для решения задач не только по математике, но и по русскому языку, литературному чтению и окружающему миру.

2.1 Решение задач по предмету «Окружающий мир»

с помощью диаграмм Эйлера – Венна

Приведу примеры задач, которые можно решить с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

Задача 1. Сравни свойства воды со свойствами воздуха. В чём сходство, а в чём различие? [7. С. 36]

Сравню свойства воды со свойствами воздуха с помощью диаграммы Эйлера – Венна. Пусть множества А – свойства воды, а множество В – свойства воздуха:

А = вещество, жидкость, прозрачная, бесцветная, без запаха, растворитель

В = смесь газов, прозрачный, бесцветный, без запаха

Рисунок 3 – Решение задачи № 1

На диаграмме (Рисунок 3) наглядно видно, в чём сходство, а в чём различие воздуха и воды.

Задача 2. Почву нельзя отнести только к неживой природе или только к живой природе. Неживая и живая природа в ней как бы соединяются. Докажи это, используя свои знания о почве [7. С. 60].

Докажу с помощью диаграммы Эйлера – Венна, что почву нельзя отнести только к неживой природе или только к живой природе. Пусть множества А – множество объектов живой природы в составе почвы, а множество В – множество объектов неживой природы в составе почвы (Рисунок 4).

Рисунок 4 – Решение задачи № 2

Диаграмма (Рисунок 4) позволяет сделать вывод о том, что почву нельзя отнести только к неживой природе или только к живой природе. Конечно, перегной – это уже неживая природа, но он образовался из остатков растений и животных, поэтому условно я его разместил в пересечении множеств А и В.

Таким образом, диаграмм Эйлера – Венна помогают быстро и просто решить задачи по окружающему миру.

2.2 Решение задач по предмету «Русский язык»

с помощью диаграмм Эйлера – Венна

Приведу примеры задач по русскому языку, которые можно решить с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

Задача 3. Из слов лето, день, дети, море, веселье, зелень, песок, лебедь, тень, листья выбери двухсложные слова, в которых все согласные звуки мягкие.

Диаграмма Эйлера – Венна позволяет легко решить данную задачу.

Пусть множество А – это множество двухсложных слов, а множество
В – множество слов, в которых все согласные звуки мягкие (Рисунок 5).

Рисунок 5 – Решение задачи № 3

Решением задачи 3 является пересечение множество А и В (рисунок 5):

А∩В=зелень, листья, дети, лебедь.

Задача 4. Из слов лодка, пирожки, речушка, мягкий, травка, холодный, певцы, тропинка, снежки, дорожка, тигриный, сторожка выбери слова, в которых две орфограммы: проверяемая безударная гласная в корне и парная согласная в корне.

Решу задачу с помощью диаграммы Эйлера – Венна.

Пусть множество А – это множество слов с проверяемой безударной гласной в корне, а множество В – множество слов с парной согласной в корне.

Рисунок 6 – Решение задачи № 4

Решением задачи 4 является пересечение множество А и В (рисунок 6):

А∩В={певцы, пирожки, снежки, сторожка}.

2.3 Решение задач по предмету «Литературное чтение»

с помощью диаграмм Эйлера – Венна

Задача 5. Сравни русскую народную сказку «Лиса и волк» со сказкой Дж. Харриса «Как Братец Кролик хвоста лишился». Сделай выводы по итогам сравнения [2].

Для решения данной задачи предлагается заполнить таблицу, но мне кажется, диаграмма Эйлера – Венна позволяет нагляднее представить результаты сравнения и проще сделать вывод: несмотря на то, что одна сказка английская литературная, а другая русская народная, в обеих сказках совпадают тема, один из главных героев (Братец Лис / Лиса), завязка, развитие действия и развязка.

Пусть множества А – множество характеристик сказки Дж. Харриса «Как Братец Кролик хвоста лишился», а множество В – множество характеристик русской народной сказки «Лиса и волк» (Рисунок 7).

Рисунок 7 – Решение задачи № 5

Таким образом, диаграммы Эйлера – Венна, с которыми мы будем знакомиться и работать в 3 классе [6] оказываются полезным инструментом для решения задач по русскому языку, литературному чтению и окружающему миру.

2.4 Решение математических задач

с помощью диаграмм Эйлера – Венна

На уроках математики в 3 классе мы будет решать с помощью диаграмм Эйлера – Венна задачи из учебника математики [6], но мне интереснее попробовать самому составить задачу и затем решить её. И первая из них по сюжету задачи 3 из параграфа 2.2 данной работы.

Задача 6. Из 10 данных слов 7 слов двухсложные и 7 слов, в которых все согласные звуки мягкие. Сколько двухсложных слов, в которых все согласные звуки мягкие? Сколько двусложных слов, в которых не все согласные звуки мягкие?

Решение:

Пусть множество А – это множество из 7 двухсложных слов, а множество
В – множество из 7 слов, в которых все согласные звуки мягкие. В объединение множеств А и В (АUВ) по условию задачи входит 7 слов. Значит, искомое множество двухсложных слов, в которых все согласные звуки мягкие, – это пересечение множеств А и В (А∩В). Изображу это с помощью диаграммы Эйлера – Венна (Рисунок 8).

Рисунок 8 – Условие задачи № 6

Из диаграммы видно (Рисунок 7), что и , то есть в сумме множеств А и В их пересечение встречается дважды.

1) двухсложных слов, в которых все согласные звуки мягкие.

2) двусложных слова, в которых не все согласные звуки мягкие.

Ответ: 4 двухсложных слов, в которых все согласные звуки мягкие; 3 двусложных слова, в которых не все согласные звуки мягкие.

Задача 7. В моей домашней библиотеке 30 сборников с рассказами или сказками и 23 сборника с рассказами или стихами, причём сборников с рассказами всего 10. Кроме того, есть ещё научно-популярная литература. Таких книг 15. А из сборников сказок 5 сборников с литературными сказками. Сколько всего книг в моей домашней литературе? Сколько сборников с художественной литературой? Сколько сборников с народными сказками?

Решение:

Представлю условие задачи с помощью диаграммы Эйлера – Венна (Рисунок 9). Пусть множество А – множество сборников с рассказами или сказками, множество В – множество сборников с рассказами или стихами, тогда – это множество сборников с рассказами, а L – множество сборников с литературными сказками – подмножество множества сказок. Все книги моей домашней литературе – множество К – обозначу прямоугольником. Есть ещё множество N– научно-популярная литература – это та часть прямоугольника, которая не занята множествами А и В.

Рисунок 9 – Условие задачи № 7

1) Найду количество сборников со сказками: 30 – 10 = 20.

2) Можно сразу ответить на второй вопрос – сколько сборников с народными сказками: 20 – 5 = 15.

3) Найду количество сборников со стихами: 15 – 10 = 5.

4) Теперь можно ответить на второй вопрос задачи – сколько сборников с художественной литературой. Для этого сложу множество сборников со сказками, с рассказами и стихами: 20 + 10 + 5 = 35.

5) Найду ответ на первый вопрос задачи – сколько всего книг в моей домашней литературе. Для этого сложу множество сборников с художественной и с научно-популярной литературой: 35 + 15 = 50.

Ответ: в моей домашней литературе всего 50 книг, из них 35 сборников с художественной литературой, в том числе 15 сборников с народными сказками.

Сюжетной основой для следующей задачи стала задача из «Сборника математических задач экологического содержания» У. В. Дорошиной, Я. П. Киселёвой, Т. А. Хвоина и П. А. Кирсанова [3].

Задача 8. Все учащиеся 6Б класса дружат и приходят друг к другу на дни рождения в полном составе. Обычно на таких празднованиях на каждого гостя приходится по две алюминиевые баночки с напитками, причём вкусы у ребят разные: кто-то любит лимонад, некоторые квас или фруктовый сок. На каждое празднование дня рождения покупается 35 банок лимонада или кваса и 25 банок фруктового сока или кваса, причём квас любят 10 шестиклассников. Масса одной пустой баночки примерно 15 граммов. Если использованные баночки выбросить в специальный контейнер, то после переработки алюминиевое вторсырьё будут использовать в самолетостроении, автомобильном производстве, изготовлении стройматериалов и т.д. Сколько учащихся в 6Б классе? Сколько алюминия пойдёт на вторсырьё после празднования именин всех учащихся 6Б за год?

Решение:

Эту задачу можно разделить на две части: первую часть для ответа на первый вопрос поможет решить диаграмма Эйлера – Венна. Для ответа на второй вопрос диаграмма Эйлера – Венна не пригодится.

Построю диаграмму Эйлера – Венна (Рисунок 10).

Пусть множество А – множество банок с лимонадом или квасом, множество В – множество банок с фруктовым соком или квасом, тогда множество – множество банок с квасом.

Рисунок 10 – Условие задачи № 8

1) Из диаграммы видно (Рисунок 10), что и , то есть в сумме множеств А и В их пересечение встречается дважды, поэтому общее количество банок, покупаемое на каждое празднование дня рожденияможно найти так: (35 + 25) – 10 = 50.

2) На каждого гостя приходится по две алюминиевые баночки с напитками, значит в 6Б классе 50 : 2 = 25 учащихся – это ответ на первый вопрос.

3) использованных баночек в год выбрасывают ученики 6Б в специальный контейнер.

4) 18750 г = 18 кг 750 г алюминия пойдёт на вторсырьё после празднования именин всех учащихся 6Б за год.

Ответ: в 6Б классе 25 учащихся, которые за год сдадут 18 кг 750 г алюминия на вторсырьё.

Заключение

В ходе исследования я учился искать информацию по исследуемой теме, познакомился с историей создания диаграмм Эйлера – Венна, выявил сходство и различия между диаграммами Эйлера и диаграммами Венна.

Несмотря на некоторые различия, диаграммы Эйлера и Венна схожи в главном: их задача – упростить рассуждения и помочь быстрее и проще получить ответ.

В ходе исследования экспериментально проверил эффективность использования диаграмм Эйлера – Венна как математического инструмента для решения задач по разным учебным предметам: по русскому языку и литературному чтению, окружающему миру и математике, при этом учился решать не только готовые задачи, но и сам сначала составлял их, а затем решал с помощью диаграмм Эйлера – Венна.

В результате этой работы подтвердил гипотезу о том, что применение кругов Эйлера – Вена при решении задач по разным учебным предметам позволило лучше понять содержание задач, устанавливая связи между её данными. Это упростило их решение.

Таким образом, диаграммы Эйлера – Венна можно использовать как для иллюстрации отношений множеств, так и для решения задач по разным учебным предметам.

Значит, «математике должно учить в школе ещё с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни» (Л. Карно, французский государственный и военный деятель, математик).

Список использованных источников и литературы

1. Ахмет Б. Множества на диаграмме Эйлера-Венна и ее практическое применение // IX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке». – Режим доступа: https://school-science.ru/11/7/47233.

2. Бойкина М. В. Литературное чтение: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 3 класс. – М.: Просвещение, 2018.

3. Дорошина У. В. Сборник математических задач экологического содержания / У. В. Дорошина, Я. П. Киселёва, Т. А. Хвоин, П. А. Кирсанов // XIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке». – Режим доступа: https://school-science.ru/13/7/48797.

4. Круги Эйлера: почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать // TutorOnline. – Режим доступа: https://blog.tutoronline.ru/krugi-jejlera.

5. Лукашов И. М. Управленческий анализ национального проекта «демография» с использованием диаграмм Эйлера – Венна / И. М. Лукашов, А. А. Корабельникова, Е. И. Минайченкова, И. В. Положенцева // Журнал прикладных исследований. – 2021. – С. 25 – 35. – DOI 10.475776/2712-7516_2021_1_2_25.

6. Петерсон Л. Г. Математика. 3 класс. Рабочая тетрадь. В 3-х частях. Часть 1. – М.: Просвещение / Бином, 2021.

7. Плешаков А. А. Природоведение: пробный учебник для 3 класса четырёхлетней начальной школы / под ред. И. Д. Зверева. – М.: Просвещение, 1991.

8. Семенова О. В. Прием «Диаграмма Эйлера-Венна» // Всероссийский педагогический журнал «Современный урок». – 2019. – Режим доступа: https://www.1urok.ru/categories/10/articles/12313.

9. Скворцов Н. Применение диаграмм Эйлера-Вена для решения задач математики и информатики. – Бор, 2021. – 17 с. // Современный учительский портал. – Режим доступа: https://easyen.ru/load/informatika/proekty_uchashhikhsja/primenenie_diagramm_ehjlera_vena_dlja_reshenija_zadach_matematiki_i_informatiki/430-1-0-76774.

10. Venn diagram: зачем она нужна, как построить, полезные инструменты + примеры //LeadStartup: обучающая платформа. – Режим доступа: https://leadstartup.ru/db/venn-diagram.