XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Загадочный мир фракталов

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кочухова Е.Л. 1

---

1МБОУ "Солнечная СОШ № 1" Сургутского района

Кочухова И.М. 1

---

1МБОУ "Солнечная СОШ № 1" Сургутского района

Работа в формате PDF

4.5 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

«Бог является Творцом математических истин, таких как фракталы».

Джейсон Лисли.

Введение

Выдвигаемая гипотеза: возможно ли изучив закономерности построения фрактала, создать собственные фрактальные рисунки разными способами.

Фрактал — это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от физиков до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Цветные картинки фракталов сегодня можно найти везде: от открыток до футболок. Почему же фракталы так красивы? Наиболее убедительным аргументом в пользу изучения фракталов является их бросающаяся в глаза красота.

Кто хотя бы раз видел фракталы — удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заболел этим интересным и захватывающим научным явлением. Изучая фракталы, весьма трудно провести грань между математикой и информатикой — так тесно они переплелись в своём стремлении открыть уникальные модели, приближающие нас к пониманию некоторых природных процессов и явлений. С помощью фракталов можно генерировать великолепные искусственные ландшафты, и даже «писать» картины. Математическая теория позволила уловить скрытый смысл красоты и гармонии, так привлекающих человеческий взор.

Мандельброт и другие ученые, такие как Клиффорд А. Пикковер, Джеймс Глейк или Г. О. Пейтген пытаются расширить область фрактальной геометрии так, чтобы она могла быть применена практически ко всему в мире, от предсказания цен на рынке ценных бумаг до совершения новых открытий в теоретической физике [1].

Главная особенность структуры фракталов – самоподобие. Крохотная часть фрактала содержит исчерпывающую информацию обо всём фрактале. Для многих хаологов (ученых изучающих фракталы и хаос) — это не просто новая область познания, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и компьютерные технологии — это революция. Это открытие нового типа геометрии, той геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе и везде в безграничной вселенной.

В работе мы тоже решили «прикоснуться» к миру прекрасного и определили цель исследования — создание фрактальных рисунков разными способами, в том числе с помощью компьютерных программ.

Объектом исследования являются фракталы, а предметом – алгоритмы построения фракталов и программы для создания фрактальных рисунков Paint, Word, Ultra Fractal, PaintTool SAI и поставили задачи:

• Изучить основные понятия, связанные с фракталами и их виды.

• Изучить закономерности построения фрактала.

• Рассмотреть возможности программ Paint, Word, PaintTool SAI, нейросети WOMBO AI, Ultra Fractal.

• Построить фрактальные рисунки ручным способом и смоделировать фракталы с помощью данных компьютерных программ.

Методы исследования: анкетирование, анализ литературы и материалов сети Internet, сравнительный анализ, синтез, моделирование.

Результат исследования: разработка алгоритмов построения фракталов, выпуск буклета, видеоролика.

Практическая значимость исследования: приобщение обучающихся к творческой деятельности, способствующее расширению их кругозора. Результаты исследования могут быть использованы школьниками для повышения образовательного уровня, а учителем математики, информатики, изобразительного искусства для построения фракталов, подборки фрактальных рисунков на уроках и факультативных занятиях по математике, информатике и искусству.

Основные понятия и исторические сведения

В 1970-х годах французский математик Бенуа Мандельброт открыл новый взгляд на природу и мир в целом. Он придумал, как при помощи довольно простых математических формул и правил описывать и строить модели объектов, имеющих чрезвычайно сложную геометрию, таких как изломанные береговые линии, горные массивы, звёздное небо, графики роста цен, распределение ошибок передачи данных в телекоммуникационных сетях и т.д. Понятия фрактал и фрактальная геометрия с середины 80-х прочно вошли в обиход как математиков и программистов, так и других исследователей. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что в переводе означает разбитый (поделённый на части).

Рис. 1

Ф рактальная графика, как и векторная вычисляемая, но отличается тем, что никакие объекты в памяти не хранятся. Изображение строится по уравнению, или системе уравнений, поэтому ничего кроме формулы хранить не надо. Изменив коэффициенты можно получить совершенно другую картину, например, фрактальную снежинку (рис.1). Треугольники последующих поколений наследуют свойства своих родительских структур. Фрактальными свойствами обладают многие объекты живой и неживой природы (снежинка, ветка папоротника) [2].

Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников. Фрактальная геометрия — это теория построения чего-либо на основе одного простого правила — самоподобия — каждая мельчайшая часть структуры является подобной всей структуре в целом или же какой — либо более крупной части структуры [3].

Классификация фракталов

Для того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации. Существует три класса фракталов: геометрические фракталы, алгебраические фракталы, стохастические фракталы.

Геометрические фракталы. Геометрические фракталы являются также самыми наглядными, так как сразу видна самоподобность. Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов [4]. Примерами таких фракталов являются треугольник Серпинского (рис.2), снежинка Коха, кривая Леви и многие другие.

Рис. 2

Алгебраические фракталы. Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают своё название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых. Получают их с помощью нелинейных процессов и в n-мерных пространствах. Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа (рис. 3), бассейны Ньютона и т.д. [5].

     Стохастические фракталы. Фракталы, при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры, называют стохастическими. Термин стохастичность происходит от греческого слова, обозначающего «предположение». С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто: надо просто задать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. При этом получаются объекты, очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии, ветка дерева [6] (рис.4). 

Характеристики используемых компьютерных программ

Графический редактор Paint имеет панель режимы работы и панель инструменты и их свойства, с помощью которых создаются прекрасные работы. Редактор снабжен великолепной палитрой красок. Содержит готовые изображения – объекты-штампы, буквы, цифры, которые можно использовать в своих работах. С данными готовыми объектами можно производить различные операции (увеличение – уменьшение, повороты и т.д.), что позволяет творчески относиться к работе, а не производить простое копирование.

Данный редактор очень удобен в использовании, т.к. содержит пиктограммы – обозначения режимов работы и инструментов по внешнему виду очень похожие на инструменты и материалы, применяемые в изобразительном искусстве. Данный графический редактор логически прост в освоении, удобен.

Программа Microsoft Word, благодаря своим обширным возможностям, фактически стала использоваться стандартом среди текстовых процессоров своего класса. Основное назначение процессора Word - это создание и редактирование текстовых документов. Кроме того, Word обладает широкими возможностями размещения в документе графических объектов, таблиц, диаграмм, гиперссылок.

Канадский стартап Wombo выпустил для Android и iOS приложение под названием Dream, которое позволяет использовать технологии искусственного интеллекта для генерации уникальных произведений искусства. Для «рисования» в Dream необходимо сначала написать, что должно быть изображено на картине, а затем выбрать предпочитаемый стиль из предложенных, таких как «Мистический», «Барокко», «Фэнтези», «Стимпанк» и другие. После этого нужно нажать кнопку «Создать» и получить за считаные секунды результат. Генерация происходит в режиме реального времени, позволяя увидеть, как «творит» нейросеть.

SAI или PaintTool SAI (яп. ペイントツールSAI) — программа, предназначенная для цифрового рисования в среде Microsoft Windows, разработанная японской компанией SYSTEMAX.Это высококачественная и легковесная программа по рисованию, с полной поддержкой цифрового планшета и впечатляющим сглаживанием изображения, обеспечивающая легкую и стабильную работу, это программное обеспечение, которое делает процесс цифровой живописи гораздо более удобным и комфортным.

Ultra Fractal — программа, которая позволяет создавать изображения фрактальных множеств, а также выполнять их раскраску. Процесс построения изображений определяется набором алгоритмов, описывающих разновидности визуализируемых фракталов, методы их раскраски и применяемые к ним трансформации. Программа-конструктор Ultra Fractal — лучшее решение для создания уникальных двумерных фрактальных изображений профессионального качества. Это очень простая в использовании и мощная программа для создания фрактальной графики. Начав с основ, вы узнаете, как создать свой собственный фрактал, изменять цвета, добавлять слои, использовать маски, и даже создавать анимацию. Программа позволяет создавать фрактальные изображения всех размеров, форм.

Построение фракталов ручным способом и с помощью различных программ

В ходе исследовательской работы было приведено анкетирование учащихся 8-11 классов, целью которого было узнать мнение окружающих о красоте фракталов. Всего было опрошено 46 человек. В результате выяснилось, что 72% - считают, что фракталы красивы, привлекают внимание, завораживают, а 28% - не находят в них ничего особенного (приложение I).

Изучив большой объем литературы по данной тематике, мы пришли к выводу, что будет интересным создать свои фракталы. Геометрические фракталы хороши тем, что, с одной стороны, являются предметом достаточного серьезного научного изучения, а с другой стороны, их можно «увидеть» — даже человек, далекий от математики, найдет в них что-то для себя. Все получаемые изображения являются конечными приближениями бесконечных фракталов.

Оказывается, многие геометрические фракталы можно нарисовать буквально на листочке бумаги в клетку. Например, имея достаточно лист миллиметровой бумаги, лист в клетку и запас свободного времени, можно вручную нарисовать такое точное приближение к ковру Серпинского, что с расстояния в несколько метров невооруженный глаз будет воспринимать его как настоящий фрактал.

Построение Треугольника Серпинского. Фрактал назван в честь известного польского математика Вацлава Серпинского. Для построения фрактала возьмем правильный треугольник. На втором шаге проведем средние линии и исключим средний треугольник, проведем средние линии трех оставшихся треугольников и в каждом исключим средние треугольники. Повторим аналогичные действия на третьем и четвертом шаге. Продолжив процесс бесконечно, получим фрактал, который носит название коврик Серпинского (приложение I).

Построения кривой Коха. Строим математическую модель фрактала на миллиметровой бумаге. Ход построения состоит из бесконечного числа последовательных шагов. Построим Кривую Коха. Начальный шаг – нулевой. Возьмем, например, отрезок AB произвольной длины. Следующий шаг – первый: поделим отрезок AB токами C и D на три равные части. На отрезке CD, как на основании, построим правильный треугольник CDE, а потом удалим это основание. Получим ломаную ACEDB, у которой все звенья равны. Второй шаг: каждое из звеньев AC, CE, ED, DB вновь поделим на три равные части и построим на средних отрезках правильные треугольники. Затем удалим их основания и получим ещё более «колючую» ломанную AMKNCLPFEQRSDTUXB. Второй шаг закончен. Продолжая этот процесс до бесконечности. Получим фрактал, которой носит название кривой Коха (открывшего её ещё в 1904г.).

Алгоритм создания снежинки Коха

Дано: треугольник со стороной 12 см

Решение:
1) Строим равносторонний треугольник со стороной, а = 12 см, делим сторону на 3 части, центральную затем выкидываем, на середине стороны строим снова равносторонний треугольник со стороной а = 6, для точного построения найдем длину высоты h=

2) Первая итерация. Снова делим на три равные части, на центральной стороне достраиваем до правильного треугольника со стороной а₁ = 4 и затем выкидывается, найдем длину высоты h₁ = .

3) Вторая итерация. Снова делим на три равные части, на центральной стороне достраиваем до правильного треугольника со стороной а₂ = 4 и затем выкидывается, найдем длину высоты h₂ =

4) Третья итерация. Снова делим на три равные части, на центральной стороне достраиваем до правильного треугольника со стороной а₃ = и затем выкидывается, найдем длину высоты h₃ =

5) Четвертая итерация. Снова делим на три равные части, на центральной стороне достраиваем до правильного треугольника со стороной а₄ = и затем выкидывается, найдем длину высоты h₄ =

Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными) (приложение II).

Алгоритм составления авторского фрактала (приложение II). Мы попробовали создать фрактал с помощью квадрата со стороной 16, вычисляя его стороны, используя теорему Пифагора. Далее рисунки были перенесены на миллиметровую бумагу.

Дано: квадрат, a = 16.

Решение:
1) a = 16, значит половина стороны 8. По теореме Пифагора найдем длину стороны a₁ следующего внутреннего квадрата: a_n+1² =
a₁² =

a₁² = 64 + 64

a₁² = 128

a₁ =

2) a₁ =, значит половина стороны . По теореме Пифагора найдем длину стороны a₂ следующего внутреннего квадрата: a₂² =

a₂² =

a₂² =

a₂² = 16

a₂ =

3) a₂ = 4, значит половина стороны 2. По теореме Пифагора найдем длину стороны a₃ следующего внутреннего квадрата: a₃² =

a₃² =

a₃² = 4 + 4

a₃² = 8

a₃ =

4) a₃ = , значит половина стороны . По теореме Пифагора найдем длину стороны a₄ = 2, a₅ = , a₆ = 1, a₇ =a₈ = 0,5, a₉ = 0,15.

Еще один вид фрактального рисунка ручным способом был создан при выполнении теста «Фрактальный рисунок» по методу психологов Т. З. Полуяхтова и А. Е. Комова (приложение III). Основа метода – принцип фракталов и фрактальности как таковой. Рисунок здесь считается продолжением человека, его малой частью, проекцией. И эта малая часть отражает большое целое – человека. Глядя на рисунок можно диагностировать состояние его автора.

Компьютер позволит сэкономить время и бумагу и при этом еще увеличить точность рисования. Для работы использовались следующие компьютерные программы:

Построение дерева Пифагора в Word.

1 . Строим квадрат. Достраиваем на верхней стороне квадрата прямоугольный равнобедренный треугольник. Группируем фигуры.

Рис. 5

2. Копируем получившуюся фигуру, поворачиваем на 45° и устанавливаем на катет треугольника. Вставляем еще одну копию, разворачиваем в другую сторону и устанавливаем на другой катет. (рис. 5)

3.Группируем, копируем, поворачиваем и устанавливаем на катеты меньших треугольников.

4. Опять группируем, копируем, поворачиваем и устанавливаем на катеты меньших треугольников. Должна получиться подобная картинка (приложение VI).

Фрактал в программе Ultra Fractal. В данной программе, можно выбрать из тысячи фрактальные типы и расцветки алгоритмов, увеличить, насколько хочешь, использовать градиенты, чтобы добавить цвет, и нанесите несколько слоев, сочетать разные фракталы в одно изображение. Это самый лёгкий способ построения фракталов. В программе изначально имеются несколько шаблонов, но в интернете можно легко найти целую библиотеку таковых. В программе простой, понятный интерфейс. Есть возможность всячески видоизменять фрактал. [6] (Приложение IV- V).

Графический редактор Paint — это программа Windows, которую можно использовать для рисования, раскрашивания и редактирования изображений. Программу Paint можно использовать в качестве цифрового мольберта, чтобы создавать простые рисунки и творческие проекты или добавлять текст и элементы оформления к другим изображениям, например, цифровым фотографиям. На сегодняшний день Paint Tool скачана более миллиона раз по всему миру. Это неудивительно – графический редактор позволяет воплощать любые творческие решения и создавать настоящие шедевры. В Пэйет Тул САИ каждый человек сможет найти те инструменты, которые ожидает увидеть в «рисовалке». Кисти, акварели, аэрографы, ластики и другие средства для рисования уже доступны в главном меню без ограничений и оплаты. Приложение разработано японской компанией в 2004 году. SAI получила русскую локализацию и продолжает получать обновления вплоть до 2022 года. С каждым апдейтом софт пополняется полезными функциями и критическими доработками. Алгоритм создания фрактала в программе Paint Tool и другие фракталы в приложении VI-VIII.

Осенью 2021 года появилась бесплатная нейросеть Dream от студии Wombo. В начале декабря у сервиса, позволяющего создавать абстрактные арты по фильмам, мультфильмам и играм, случилась новая волна популярности. Dreams создаёт изображение по запросу, предлагая выбрать один из девяти существующих стилей — фэнтези арт, стимпанк, тёмное фэнтези и другие. Dreams доступен не только на ПК, но и на мобильных устройствах в Google Play и App Store. Полученные в результате произведения искусства обладают особой эстетикой, странными формами и неожиданными объектами. Однако настоящая магия заключается в том, что независимо от того, что вы набираете, приложение будет генерировать что-то визуально привлекательное (Приложение IX-X).

Выводы

В ходе исследования была подтверждена гипотеза, что фрактальные рисунки можно создать ручным способом и с помощью различных компьютерных программ. Безусловно, что ручной способ наиболее трудозатратный. В результате проведенной работы были изучены основные понятия, связанные с фракталами, виды фракталов, закономерности их построения. Рассмотрены возможности программ Paint, Word, Ultra Fractal, PaintTool SA. Созданы модели фракталов с помощью данных компьютерных программ, теста «Фрактальный рисунок» по методу психологов Т. З. Полуяхтова и А. Е. Комова, проведенного с респондентами – старшеклассниками, дан анализ использования применяемых компьютерных программ. Создавая фрактальные рисунки в различных компьютерных программах, были выделены преимущества и недостатки в работе с графикой (Приложение XI).

Получившиеся изображения отличаются формой, цветовым оформлением, так как программы обладают разными наборами инструментов. Не составило труда построить фракталы в Paint,Word, с помощью нейросети, так как навыки работы в этих программах достаточно хорошо отработаны. В программах Ultra Fractal, PaintTool SAI необходимы специальные знания работы с данными программными продуктами. Кроме того, программы Ultra Fractal, PaintTool SAI являются платными, а значит, доступ к ним для большинства пользователей ограничен. Нами также разработан видеоролик, который знакомит с понятием и видами фрактала.

Заключение

Изучая множества Мандельброта и Жюлиа, строя кривые Коха, треугольник Серпинского, можно сформировать представление о процессах и явлениях, и подготовить восприятие человека к пониманию фрактальной геометрии природы. Разнообразная палитра красок и фрактальных изображений определенно оставляет глубокий след в сознании людей.

Делать это вручную крайне утомительно, а вот компьютер отлично справляется с этой задачей. Можно сказать, что с появлением компьютерной графики изменился и сам подход к исследованию в точных науках. Если раньше ученым приходилось иметь дело, в основном, с числами и формулами, то теперь их работа стала гораздо интереснее. С помощью компьютеров они могут рисовать большие красивые картинки изучаемых явлений. Там, где предыдущие поколения ученых были вынуждены упрощать свои уравнения или вообще отказываться от них, мы можем увидеть их суть на экране дисплея. Компьютеры становятся все мощнее, и все более тонкие эффекты они позволяют нам наблюдать на экране дисплея. Нас ждет еще много интереснейших и необычайных находок.

Данную работу можно использовать на уроках информатики при изучении графики, а также на уроках геометрии и искусства. Цели, поставленные в начале работы, были достигнуты. Но останавливаться на достигнутом не представляется возможным. Хотелось бы в дальнейшем изучить другие специализированные программы для создания фракталов, а может и написать программу для создания авторского фрактала…

Список литературы

Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. Изд.3-е,испр.и доп.-М.: Издательство ЛКИ, 2010.

Азевич А. Симфония фракталов. Газета «Информатика» № 23/2008.

http://112s.ru/news/9/. Фрактальная геометрия. Новости. http://eko.112s.ru. Обменная экономика. Энергосбережение. Экология.

Геометрические (конструктивные) фракталы. elementy.ru. Плакаты/Фракталы/geometric Клюев П.Г. И снова удивительный фрактал. Научно-популярная статья, 2010.

http://algolist.manual.ru/graphics/fracart.php. Введение во фракталы.

http://fractalworld.xaoc.ru/article/whoisfr.html. Мир фракталов.

I

Результаты анкетирования

Треугольник Серпинского

Коврик Серпинского

II

Снежинка Коха

Авторский фрактальный рисунок

III

Фрактальный рисунок» по методу психологов Т. З. Полуяхтова и А. Е. Комова

Дерево Пифагора

IV

Построение дерева Пифагора в Word

Шаг 4

Шаг 2

Шаг 3

Ф ракталы в программеUltra Fractal

V

VI

Алгоритм создания фрактала в программеPaint Tool

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

VII

Шаг 4

Шаг 5

Шаг 6

VIII

Шаг 7

Шаг 8

Фрактальные рисунки в программе Paint

IX

Фрактальные рисунки с помощью нейросети Dream

X

XI

Преимущества и недостатки в работе с графикой