XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Магические квадраты
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Актуальность темы:Наиболее древней математической задачей, поражавшей воображение людей своей необъяснимой тайной, были магические квадраты. С магическими квадратами я не встречалась на уроках. Впервые узнала о них из интернета. А когда нам сообщили, что в этом году мы будем работать над проектом, тема «магический квадрат» мне показалась довольно интересной. Но эта работа оказалась не такой простой, как показалось на первый взгляд. Меня заинтересовала предложенная задача. Я решала её методом перебора, но этот метод мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Также был проведен опрос, в котором выяснилось, что обучающиеся не знают о магических квадратах.
Объект исследования - магический квадрат
Предмет исследования – способы заполнения
Мы вдвигаем гипотезу: для заполнения магического квадрата существуют специальные приёмы, позволяющие это сделать быстро или нет?
Цель: познакомиться с различными видами магических квадратов и изучить области их применения. Для реализации этой цели мы ставим перед собой следующиезадачи:
1) Познакомиться с магическими квадратами.
2) Научиться правильно и быстро заполнять магические квадраты.
3) Узнать где магические квадраты применяются.
Методы исследования:
Сбор информации, анализ.
Краткое описание работы:
В этой работе представлены: краткая история становления, виды, способы заполнения и где применяются магические квадраты.
Основные выводы и результаты:
• Магический квадрат – древнекитайского происхождения.
• Универсального способа заполнения магических квадратов нет.
• Способ заполнения магического квадрата зависит от его порядка.
• Магический квадрат является популярной головоломкой, часто встречается в олимпиадных заданиях.
• С помощью магического квадрата можно кодировать информацию.
• Существует много видов магического квадрата.
• Для каждого магического квадрата определенного порядка существуют различные способы заполнения.
«Составление магических квадратов
представляет собой превосходную
умственную гимнастику, развивающую
способность понимать идеи размещения, сочетания и симметрии».
Леонард Эйлер
Введение.
Магические квадраты.… От этого словосочетания сразу веет волшебством. МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ — квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу. Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Позже выяснилось, что, располагая числа правильными рядам, в случае «магии» можно, складываю слева направо и сверху вниз, каждый раз получаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем по сей день.
По легенде магический квадрат появился около 2200 лет до нашей эры в Древнем Китае, когда на берег из реки Ло вылезла большая черепаха, на панцире которой был странный узор из точек, упорядочив который обнаружили 9 секторов с цифрами, расположенными в определенной последовательности. Причем при последовательном соединение линиями цифр от 1 до 9 получается символ "печать планеты Сатурн", который использовался в древнекитайской магии. Этот символ также называется символом Девяти императоров, считается, что он обладает очень мощной защитной силой и в качестве талисмана способен защитить хозяина от преждевременной смерти.
Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.
Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.
В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.
Также магические квадраты имеют связь с планетами Солнечной системы. Числовой квадрат с трех клеточными сторонами соответствует планете Сатурн. В нём содержится информация о длительности лунного цикла. Квадрат с четырех клеточными сторонами относится к Юпитеру. Квадрат с пяти клеточными сторонами является архетипом Марса. Считалось, что заклинания над ним развивают воинственность. Квадрат с шестиклеточными сторонами символизирует Солнце. Апокалиптическая мистика данного варианта магического квадрата связана с тем, что сумма содержащихся в нем цифр равнялась "числу зверя" — 666. Квадрат с семи клеточными сторонами соотносится с Венерой.
Какие квадраты существуют
Магические квадраты могут быть:
- нечетными, то есть состоять из нечетного числа клеток,
- четно-четные, то есть порядок равен удвоенному четному;
- четно-нечетные, то есть порядок равен удвоенному нечетному. Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной. Минимальный нетривиальный случай имеет порядок n = 3. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой.
Виды магических квадратов.
Магический квадрат 3*3.
Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени.
Магических квадратов 2*2 не существует, т.к. квадрат с таким количеством клеток должен был бы состоять и чисел 1,2,3,4. Значит постоянная такого квадрата должна равняться 5. Что бы квадрат был магическим, нужно составить 6 комбинаций (слева направо (начиная от верхнего левого квадратика, сверху вниз, справа на лево, снизу-вверх и о двум диагоналям). Для числа 5 существует только 2 комбинации (1+4 и 2+3)из этого следует, что такой квадрат составить нереально. Поэтому считается, что квадрат 3-го порядка самый простой.
Нормальный МК - магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2.
Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до 2n, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется. Другими словами, если в «магии» задействованы только числа строк и столбцов, квадрат становится полумагическим.
Aссоциативный, или симметричный магический квадрат, такой магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+2n.
Пандиагональный (дьявольский) магический квадрат- такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата. Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений, но только 3 существенно различных квадрата.
Особенность этого квадрата заключается в том, что к числам основных диагоналей добавляются еще и ломаные, т.е. те диагонали, которые, достигнув края, продолжаются параллельно первому отрезку от противолежащего края квадрата.
Идеальный магический квадрат - магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный.
Совершенный магический квадрат – магический, пандиагональный квадрат порядка 4k, обладающий дополнительными свойствами.
|
1 |
14 |
7 |
12 |
|
15 |
4 |
9 |
6 |
|
10 |
5 |
16 |
3 |
|
8 |
11 |
2 |
13 |
Свойство 1. Сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся внутри совершенного квадрата четвёртого порядка, равна магической константе квадрата.
Таких квадратов 2х2 в квадрате четвёртого порядка 9 штук. Посчитайте сумму чисел в любом таком квадрате, она равна магической константе квадрата – 34.
Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках совершенного квадрата четвёртого порядка равна магической константе квадрата.
1 + 12 + 8 + 13 = 34
Свойство 3. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках любого квадрата 3х3, находящегося внутри совершенного квадрата четвёртого порядка, равна магической константе квадрата.
В квадрате четвёртого порядка находятся 4 квадрата 3х3. Вот, например, сумма чисел в угловых ячейках одного из таких квадратов:
1 + 7 + 10 + 16 = 34
Свойство 4. если в совершенный квадрат четвёртого порядка вписать квадрат 2х2 с вершинами в серединах сторон совершенного квадрата, то сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата.
Свойство 5. В каждой строке совершенного квадрата четвёртого порядка есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S1, и другая пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S2, так что S1 + S2 = 34 (магическая константа квадрата).
В квадрате каждой строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и другая пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 19. При этом пара чисел с суммой 15 в первой строке находится в начале строки, во второй строке – в конце строки, в третьей строке снова в начале строки и в четвёртой строке – в конце строки. Аналогично чередуется и расположение пары чисел с суммой 19.
Свойство 6. В каждом столбце совершенного квадрата четвёртого порядка есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S3, и другая пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна S4, так что S3 + S4= 34.
В квадрате S3 = 16, S4 = 18. Пары чисел с суммами S3 и S4 точно так же расположены попеременно то в начале, то в конце столбца.
Свойство 7. В совершенном квадрате четвёртого порядка суммы квадратов чисел в первой и третьей (а также во второй и четвёртой) строках равны.
В квадрате на эти суммы таковы:
12 + 142 + 72 + 122 = 390 102 + 52 + 162 + 32 = 390
152 + 42 + 92 + 62 = 358 82 + 112 + 22 + 132 = 358
Свойство 8. В совершенном квадрате четвёртого порядка суммы квадратов чисел в первом и третьем (а также во втором и четвёртом) столбцах равны.
В квадрате эти суммы таковы:
12 + 152 + 102 + 82 = 390 72 + 92 + 162 + 22 = 390
142 + 42 + 52 + 112 = 358 122 + 62 + 32 + 132 = 358
Свойство 9. В совершенном квадрате четвёртого порядка на диагоналях как самого квадрата, так и любого квадрата 3х3, находящегося внутри него, сумма двух чисел, разделённых третьим числом, равна 17.
Бимагический квадрат - такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов 3, 4, 5 порядка не существует.
Мультимагический квадрат – обобщение бимагических квадратов на произвольную степень n.
Нетрадиционный - если в таблицу заносится не строго натуральный ряд чисел.
Латинским квадратом называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу.
Количество решений магических квадратов.
С увеличением размеров квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например,
-для 3 порядка – единственный
-для 4 – 880
-для 5 – приближается к четверти миллиона
Способы заполнения магических квадратов.
Методы заполнения магических квадратов.
Магические квадраты четно-нечетного порядка.
Если магический квадрат третьего порядка нетрудно построить простым перебором всевозможных комбинаций, то, уже начиная с квадрата четвёртого порядка, дело осложняется. Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Начнём с метода террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата пятого порядка. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный.
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
9 |
|
15 |
|
|
|
|
11 |
|
7 |
|
3 |
|
|
|||
|
|
2 |
|
8 |
|
14 |
|
20 |
|
|
16 |
|
12 |
|
8 |
|
4 |
|
|||
|
1 |
|
7 |
|
13 |
|
19 |
|
25 |
21 |
|
17 |
|
13 |
|
9 |
|
5 |
|||
|
|
6 |
|
12 |
|
18 |
|
24 |
|
|
22 |
|
18 |
|
14 |
|
10 |
|
|||
|
|
|
11 |
|
17 |
|
23 |
|
|
|
|
23 |
|
19 |
|
15 |
|
|
|||
|
|
|
|
16 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
24 |
|
20 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу-вверх или сверху вниз. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата. Ниже изображены готовые магические квадраты, они аналогичны по структуре, только один повёрнут на 90 градусов относительно центра квадрата. Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до n2), но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной.
|
3 |
16 |
9 |
22 |
15 |
|
11 |
24 |
7 |
20 |
3 |
|
20 |
8 |
21 |
14 |
2 |
4 |
12 |
25 |
8 |
16 |
|
|
7 |
25 |
13 |
1 |
19 |
17 |
5 |
13 |
21 |
9 |
|
|
24 |
12 |
5 |
18 |
6 |
10 |
18 |
1 |
14 |
22 |
|
|
11 |
4 |
17 |
10 |
23 |
23 |
6 |
19 |
2 |
15 |
Здесь вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.
|
6 |
32 |
18 |
44 |
30 |
|
40 |
16 |
42 |
28 |
4 |
|
14 |
50 |
26 |
2 |
38 |
|
48 |
24 |
10 |
36 |
12 |
|
22 |
8 |
34 |
20 |
46 |
Магические квадраты четно-четного порядка.
Четные квадраты строить намного сложнее, чем нечетные. Существует множество способов, объясняющих принципы их построения. В этой статье описан увлекательный способ построения магического квадрата 4 х 4.Начинаем с того, что в крайнюю левую ячейку верхнего ряда вписываем единицу. Двойка располагается в соседней ячейке, а цифры 3 и 4 в последующих. Таким обратом, верхний ряд будет закончен. В следующем ряду вписываются цифры 5, 6, 7 и 8.Продолжайте, пока не заполните все ячейки.
Затем во всех крайних рядах нужно убрать по два числа из центральных ячеек, то есть и верхнем ряду убираются числа 2 и 3, а в нижнем — 14 и 15. Наконец, в левом крайнем ряду убираются числа 5 и 9, а в правом крайнем — 8 и 12.
Теперь эти числа можно расположить довольно интересным способом. Числа 2 и 3 занимают ячейки, в которых до этого находились числа 14 и 15. Таким образом, нижний ряд будет состоять из чисел 13,3,2 и 16. По тому же принципу располагаются и числа 14 и 15, то есть они занимают те ячейки, в которых до этого находились числа 2 и 3. В результате верхний ряд будет состоять из чисел 1,15,14 и 4. Надеюсь, вы уже понимаете, как магический квадрат будет строиться дальше. Числа 8 и 12 займут те ячейки, в которых до этого были числа 5 и 9. Наконец, числа 5 и 9 вписываются в две ячейки в крайней правой колонке.
Обратите внимание, что в этом магическом квадрате сумма чисел любого ряда равняется 34.
Таким же способом можно создать квадрат 4*4, просто последовательно расположив шестнадцать чисел, начиная с любого числа. Если построите магический квадрат, где числа будут идти в последовательности 3, 6, 9, 12 и т. д., то вы увидите, что сумма чисел любого ряда будет равняться 102.
|
Порядок 2n . Этот метод удобно рассматривать на примере магического квадрата 8*8. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) Исходный квадрат разделю на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечу диагональные элементы символом. Остальные элементы построчно заполню порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) Отмеченные * диагональные элементы квадрата заполняю пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа-налево и снизу-вверх, причем числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены. Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Метод Раус – Бола. Для примера возьму квадрат 8-го порядка. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) Квадрат заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n2 в их естественном порядке. Разделить заполненный числами от 1 до 64 квадрат на четыре равных квадрата порядка 4. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка 4 отметить 2 (8=2*2*2) клетки (всего 8 клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" порядок. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) Для каждой из отмеченных клеток отметить симметричную ей относительно вертикальной оси клетку.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4) Содержимое каждой из отмеченных клеток переставить с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки. После этих перестановок получится магический квадрат. Сумма его элементов равна 260.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Применение магических квадратов.
1)Защита информации.
Сегодня очень актуальна проблема защиты информации. С помощью магического квадрата можно закодировать информацию. Например, получится: «прилетаю восьмого».
2)Судоку – Мудрость Востока. Считается, что популярная игра «судоку» берет свое начало именно из магического квадрата.
3)Магические квадраты находят своё применение и в агротехнике.
Вывод по теме.
Магический квадрат – древнекитайского происхождения.
Универсального способа заполнения магических квадратов нет.
Способ заполнения магического квадрата зависит от его порядка.
Магический квадрат является популярной головоломкой, часто встречается в олимпиадных заданиях.
С помощью магического квадрата можно кодировать информацию.
Существует много видов магического квадрата.
Для каждого магического квадрата определенного порядка существуют различные способы заполнения.
Как продукт своего проекта, я предложила провести для учащихся 5-7 классов игру «Магические квадраты». Хотелось бы, чтобы как можно больше школьников узнали о них и научились их заполнять. Учителям математики можно применять на уроках для выработки вычислительных навыков.
Продукт проекта. Игра «Магические квадраты».
Мы предлагаем провести игру среди учащихся 5-7 классов. Каждый класс выставляет команду из 6 человек (6 команд). В команде выбирается капитан, который планирует работу группы.
Команда получает домашнее задание:
Изучить виды магических квадратов.
Способы их заполнения.
Придумать название и девиз команды.
Ход игры.
Ведущий сообщает о видах квадратов и способы их заполнения.
Команды занимают свои рабочие места (столы с названием команд)
Приветствие команд (озвучивание названия команды и девиза)
Каждой группе будет дано задание (6 квадратов, которые они должны будут заполнить в течении 35 минут).
По истечению срока времени команды сдают свои пакеты с выполненной работой жюри.
Жюри подсчитывает набранные командами баллы, тем самым определяя победителей.
Материалы для жюри
Расчет баллов по правильно заполненным квадратам:
1 квадрат - 1б
2 квадрат – 2б
3 квадрат – 5б
4 квадрат – 3б
5 квадрат – 3б
6 квадрат – 10б
Сообщение результатов игры командам.
Награждение (лучшие команды, 1, 2, 3 места, команда зрительских симпатий, а также награждается лучший капитан команды.
Организация места проведения игры
Классная комната или актовый зал (зависит от количества команд)
Столы с названием команд
Стол жюри с канцелярскими товарами, необходимыми для подсчёта баллов команд и выведения победителей
ПОЛОЖЕНИЕ О ПРОВЕДЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЬНОЙ ИГРЫ «Магические квадраты»
Настоящее Положение определяет статус, цели и задачи математической игры «Магические квадраты» и порядок её проведения.
1. Общие положения
1.1. Игра проводится для учащихся 5-8-х классов с целью:
- знакомства с различными магическими квадратами, их свойствами;
- пробуждения и развития устойчивого познавательного интереса, учащихся к предмету;
- формирования умения использовать знания в нестандартной ситуации;
- формирования товарищеского доброжелательного отношения к членам команды и соперникам.
Цель: знакомство с различными магическими квадратами, их свойствами.
Задачи:
- воспитание культуры посредством деятельности и выступлений команд;
- привлечение учащихся к активным формам организации досуга;
- усиление социальной активности учащихся.
- развитие коммуникативных способностей детей, создание среды творческого общения.
1.2. Участники игры
1.2.1 В математическом турнире может принять участие любая команда из г. Удомля, состоящая из учащихся 5-8-х классов.
1.2.2 Общее количество команд не более 6.
1.2.3 Команда состоит из 6 участников.
1.2.4 Участники игры самостоятельно обеспечивают себя канцелярскими товарами, необходимыми для участия в турнире (тетрадь в клетку, ручка, карандаш, линейка и ластик).
2. Порядок организации игры
2.1. Игра проводится в феврале.
2.2. Форма участия в игре - очная.
2.3. Для проведения игры формируется оргкомитет, состоящий из заместителя директора по ВР, педагога – организатора.
Оргкомитет:
-формирует жюри, которое оценивает команды - классы;
-определяет форму, порядок и сроки проведения игры;
-утверждает результаты.
3.Условия проведения игры
3.1 Выступления команд.
задание – «Визитная карточка» (Приветствие) (3-5минут)
задание – «Магические квадраты»
3.2. Для успешного выступления команд рекомендуется показать и раскрыть стиль команды.
"ВИЗИТНАЯ КАРТОЧКА"
На приветствие отводится 3-5 мин., за это время класс должен представить свою команду жюри и зрителям (название команды и девиз), соответствующий теме игры «Магические квадраты».
"МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ"
1.Вступительное слово ведущего о видах магических квадратов и способах их заполнения.
2. Работа команд в группах. Выполнение заданий: заполнить 6 магических квадратов. К выполнению заданий готовятся дома.
4. Подведение итогов, награждение
Итоги игры подводит жюри. Победитель определяется членами жюри по наибольшему итоговому количеству баллов. За I, II, III места командам вручаются грамоты, а также награждается лучший капитан команды.
Приложение
Критерии оценки:
"ВИЗИТНАЯ КАРТОЧКА"
-строгое соблюдение регламента выступления;
-оригинальный творческий поиск;
- юмор, остроумие, находчивость;
-артистизм, сценический культурный уровень (культура речи, поведение при выступлении).
"МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ"
-оцениваются баллами в зависимости от сложности заполнения квадрата.
«ЛУЧШИЙ КАПИТАН»
-такт;
-организация работы в группе (выполнение временных ограничений, организация проверки выполненной работы);
-взаимовыручка и другие типовые критерии, соответствующие игре.
Список литературы и Интернет-ресурсов:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%E3%E8%F7%E5%F1%EA%E8%E9_%EA%E2%E0%E4%F0%E0%F2
http://xreferat.ru/54/540-1-magicheskie-kvadraty.html
Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика, 1999г.
http://www.informio.ru/publications/id192
http://www.coolreferat.com/Магические_квадраты_часть=3
https://yandex.ru/turbo?text=https%3A%2F%2Fsitekid.ru%2Fmatematika%2Fmagicheskiy_kvadrat.html&d=1
https://infourok.ru/prezentaciya-magicheskie-kvadrati-v-zhizni-cheloveka-1619122.html
http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh.htm
https://vsyamagik.ru/chetnye-magicheskie-kvadraty/
https://www.informio.ru
http://genius.pstu.ru
https://infourok.ru