XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Число Пи
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Среди иррациональных чисел есть особое число, точными вычислениями которого занимаются ученые уже много веков. Число ПИ является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. С числом ПИ связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.
Цели:
познакомиться с числом Пи;
познакомиться с историческими методами вычисления числа Пи;
найти число Пи опытным путем.
Задачи проекта:
Проанализировать источники по данной теме;
Изучить историю числа Пи;
Рассмотреть интересные факты о числе Пи.
Объект исследования: число Пи.
Предмет исследования: практические вычисления числа Пи.
Актуальность: с числом ПИ связано много интересных фактов, оно встречается при решении прикладных задач, поэтому именно этим обусловлен повышенный интерес к изучению этого загадочного числа ПИ.
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим —
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь.
Теоретическая часть.
Число ПИ — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра. Число ПИ (произносится «пи), обозначается буквой греческого алфавита.
В математических расчетах математики принимают число ПИ=3,14, но реально число π представляет собой бесконечный числовой ряд
= 3,14159265358979323842643383279502884197169399375105820974944…
Как считают специалисты, это число было открыто вавилонскими магами. История числа π началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли, как (d-d/9)2. Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число π считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. π = 3,160...
В священной книге джайнизма имеется указание, из которого следует, что число π в то время принимали равным , что даёт дробь 3,162... Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.
Наконец, в 1400 году индийский математик Мадхава из Сангамаграма рассчитал Пи с точностью до 13 знаков (хотя в двух последних все-таки ошибся).
В XV веке самаркандский математик и астроном Ал-Каши вычислил число Пи с шестнадцатью знаками после запятой. Его результат считался наиболее точным в течение последующих 250 лет.
У. Джонсон, математик из Англии, одним из первых смог обозначить отношение длины окружности к ее диаметру буквой ПИ. Пи — это первая буква греческого слова окружность. Но этому обозначению удалось стать общепринятым лишь после того, как им воспользовался в 1736 году более известный ученый Л. Эйлер.
Современные ученые продолжают работать над дальнейшими вычислениями значений числа Пи. Для этого уже используют суперкомпьютеры. В 2011 г. ученый из Японии Сигэру Кондо, сотрудничая с американским студентом Александром Йи, произвели правильный расчет последовательности из 10 триллионов цифр. Но до сих пор так и неясно, кто открыл число Пи, кто впервые задумался над этой проблемой и произвел первые расчеты этого, по-настоящему мистического числа.
Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр ПИ, которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году (десяти знаков числа вполне достаточно для всех практических целей). Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.
Множество новых формул для , обнаружил в начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан, некоторые из них стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. (Приложение 1.)
Интересные факты.
Сегодня наши современники приводят вот такие факты, связанные с числом π.
Люди изучают число π уже на протяжении 4000 лет, а используется в математических формулах на протяжении 250 лет.
В процессе измерений размеров Великой пирамиды в Гизе оказалось, что она имеет такое же соотношение высоты к периметру своего основания, как радиус окружности к ее длине, то есть 1/2π.
Первые 144 цифры числа Пи после запятой заканчиваются цифрами 666, которые упоминаются в Библии как «число зверя».
Если рассчитать длину экватора Земли с использованием числа π с точностью до девятого знака, ошибка в расчетах составит около 6 мм.
Так как 360 градусов в полном круге и число Пи тесно связаны, некоторые математики пришли в восторг, узнав, что цифры 3, 6 и 0 находится на триста пятьдесят девятом разряде после запятой в числе Пи.
Одно из первых упоминаний о числе Пи можно встретить в текстах египетского писца по имени Ахмес (около 1650 года до н. э.), известных сейчас как папирус Ахмеса.
Германский король Фридрих II был настолько очарован этим числом, что посвятил ему целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить π. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО.
Более 20 лет 14 марта в Америке отмечают неофициальный праздник «День числа пи». Празднуют в 1:59 дня (в 12-часовой системе), но придерживающиеся 24-часовой системы. Этот неофициальный праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско, Ларри Шоу, который подметил, что в американской системе записи дат (месяц / число) дата 14 марта — 3/14 — и время 1:59 совпадает с первыми разрядами числа π = 3,14159).
В мире есть много памятников числу π, один из них – это металлическая скульптура установлена в Сиэтле на ступенях здания музея искусств. Приложение 2.
Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи. Это американский психологический триллер 1998 года, который назван по имени математической константы π.
Если рассчитать длину экватора Земли с использованием числа π с точностью до девятого знака, ошибка в расчетах составит около 6 мм.
В 1995 году Хирюки Гото смог воспроизвести по памяти 42 195 знаков числа Пи после запятой, и до сих пор считается действительным чемпионом в этой области.
Людольф ван Цейлен (род.1540 – ум.1610 гг.) провёл большую часть своей жизни над расчетами первых 36 цифр после запятой числа Пи (которые были назваными «цифрами Лудольфа»). Согласно легенде, эти цифры были выгравированы на его надгробной плите после смерти.
Уильям Шэнкс (род.1812-ум.1882 гг.) работал в течение многих лет, чтобы найти первые 707 цифр числа Пи. Как оказалось позже, он допустил ошибку в 527 разряде.
В 2002 году японский учёный просчитал 1,24 триллиона цифр в числе Пи с помощью мощного компьютера HitachiSR 8000. В октябре 2011 года число π было рассчитано с точностью до 10.000.000.000.000 знаков после запятой.
Так как 360 градусов в полном круге и число Пи тесно связаны, некоторые математики пришли в восторг, узнав, что цифры 3, 6 и 0 находится на триста пятьдесят девятом разряде после запятой в числе Пи. (Приложение 2,)
Практические вычисления числа ПИ.
Полученные результаты, позволяют сделать вывод, что отношение длинны окружности к диаметру в любой окружности ~3.14
Проведем этот же опыт более простым способом. Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см), вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину I (=46.5) одного полного оборота нити, разделим I на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа, т.е. = I\d = 46.5 \ 15 = 3.1. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1. (Приложение 3.)
Метод Г.А. Гальперина-Пи биллиард.
Метод основан на оригинальной модели. При столкновении двух шаров, меньшей из которых находится между большим и стенкой, и больший движется к стенке, число соударений шаров позволяет вычислить Пи со сколько угодно большой наперед заданной точностью. Надо только запустить процесс (можно и на компьютере) и посчитать число ударов шаров.
Метод Монте-Карло.
Это фактически метод статистических испытаний. Своё экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи дождя.
Для опыта можно взять кусок картона, нарисовать на нём квадрат и вписать в него четверть круга. Если такой чертёж подержать некоторое время подождем, то на его поверхности останутся следы капель.
Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. их отношение будет приближённо равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр – число капель в круге, Nкв –число капель в квадрате, тогда П ~ 4* Nкр / Nкв.
В этом способе можно использовать вместо дождя таблицу случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе.
Измерение с помощью взвешивания.
На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг.
Взвесим и его. Зная массы квадрата (mкв) и вписанного в него круга (mкр), воспользуемся формулами m = ρ*V, V =S*h, где ρ, h- соответственно плотность и толщина картона, S- площадь фигуры.
Рассмотрим равенства: mкв =ρ* Sкв* h = ρ* 4R2* h, mкр = ρ* Sкр* h = ρ* П*R2* h. Отсюда mкр/ mкв = П/4, т.е. П= 4 mкр/ mкв.
Заключение.
Сколько в мире неразгаданных тайн? И чем больше человек находит на них ответов, тем больше новых вопросов он получает. Математика – одна из тех наук, которая будет постоянно заставлять человека думать, мыслить, творить и разгадывать, познавать новое, спрашивать и отвечать. Познакомившись с числом π, мы были удивлены, ибо история человечества предстала перед нами как череда усилий величайших умов по уточнению знаков числа «пи» и поисков алгоритмов для этого процесса. И чем больше мы погружались в неизвестное об известном нам числе, тем больше новых вопросов у нас возникало.
Число ПИ появляется в формулах, используемых во многих сферах. И кажется, что подобно тому, как нет конца знакам числа π, так нет конца и возможностям практического применения этого неуловимого, загадочного числа.
Таким образом, можно сделать вывод, что поставленные задачи решены и цель достигнута.
Список литературы.
Костовский А.Н. Геометрические построения одним циркулем/А.Н.Костовский; 3-е изд. М.: Наука, 1988. Вып. 29: Популярные лекции по математике.
Кымпан Ф. История числа пи М.: Наука, 1971. -216 с
Мантуров О.В. Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей / О.В.Мантуров, Ю.К.Солнцев, Ю.И.Соркин, Н.Г.Федин. – М.: Просвещение, 2013г
Математический энциклопедический словарь/гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1998.
С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко, М.К. Потапов, Старинные занимательные задачи, Питер: изд. "Вита-Пресс", 1994 г.;
Д.Р. Гончар, А.Р. Лурия, В.В. Аткинсон. Устный счет и память, Москва: изд. "Сталкер", 2013, 461с
Ф. А. Кымпан, История числа пи, Москва: Наука, 1971. 216 с.
Интернет – источники.
https://ru.wikipedia.org
http://crow.academy.ru/dm/materials_/pi/history.htm
http://hab.kp.ru/daily/24123/344634/
Приложение 1.
Приложение 2.
Приложение 3.