XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Подготовка к ЕГЭ. Решение задач по теории вероятности
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение:
Вероятность — степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или невероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей либо меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднена. Возможны различные градации «уровней» вероятности.
Целевой аудиторией являются ученики 11-ых классов, сдающие ЕГЭ по профильной математике. В КИМ ЕГЭ 2020 по профильной математике было введено задание (в первую часть) на вероятность сложных событий. В анкетировании приняли участие 82 ученика 11-ых классов. Анкетирование (Приложение 2) показало, что большинство учеников недостаточно хорошо разбираются в разнообразии задач по теории вероятности.
Исходя из выявленной проблемы, мною было принято решение помочь ученикам 11-ых классов лучше понять тему вероятности путем создания методического пособия, в котором будет разбор некоторых задач, а также представлены примеры для самостоятельного решения.
Цель проекта:
Создание методического пособия, содержащего различные типажи задач по теории вероятности для учащихся 11-ых классов для подготовки к ЕГЭ.
Задачи проекта:
Изучение теоретического материала, касающегося теории вероятности
Систематизация теоретического анализа имеющейся информации в интернете по вопросу, которые касаются теории вероятности.
Анкетирование учеников 11-ых классов с целью выявления их уровня знаний в решении задач по теории вероятности, и дальнейший анализ полученной информации.
Отбор теоретического материала для создания методического пособия.
Глава 1. Теоретическая часть
Историческая справка
История теории вероятностей отмечена многими уникальными особенностями. Прежде всего, в отличие от появившихся примерно в то же время других разделов математики (например, математического анализа или аналитической геометрии), у теории вероятности не было античных или средневековых предшественников, она целиком создание Нового времени. Долгое время теория вероятностей считалась чисто опытной наукой и «не совсем математикой», её строгое обоснование было разработано только в 1929 году, то есть даже позже, чем аксиоматика теории множеств (1922). В наши дни теория вероятностей занимает одно из первых мест в прикладных науках по широте своей области применения; «нет почти ни одной естественной науки, в которой так или иначе не применялись бы вероятностные методы».
Историки выделяют в развитии теории вероятностей несколько периодов. Предыстория, до XVI века включительно. В античные времена и в Средневековье натурфилософы ограничивались метафизическими рассуждениями о происхождении случайности и её роли в природе. Математики в этот период рассматривали и иногда решали задачи, связанные с теорией вероятностей, но никаких общих методов и тематических понятий ещё не появилось. Главным достижением данного периода можно считать развитие комбинаторных методов, которые позже пригодились создателям теории вероятностей.
Начало формирования во второй половине XVII века основных понятий и методов теории вероятностей для случайных величин с конечным числом значений. Стимулом вначале служили преимущественно проблемы, возникающие в азартных играх, однако область применения теории вероятностей почти сразу начинает расширяться, включая в себя прикладные задачи демографической статистики, страхового дела и теории приближённых вычислений. На этом этапе важный вклад в идеи новой науки внесли Паскаль и Ферма. Гюйгенс ввёл два фундаментальных понятия: числовая мера вероятности события, а также понятие математического ожидания случайной величины.
В XVIII веке появились монографии с систематическим изложением теории вероятностей. Первой из них стала книга Якоба Бернулли «Искусство предположений» (1713 год). В ней Бернулли предложил классическое определение вероятности случайного события как отношение числа равновероятных исходов, связанных с этим событием, к общему числу исходов. Он также изложил правила подсчёта вероятности для сложных событий и дал первый вариант ключевого «закона больших чисел», разъясняющего, почему частота события в серии испытаний не меняется хаотично, а в некотором смысле стремится к своему предельному теоретическому значению (то есть вероятности).
Идеи Бернулли далеко развили в начале XIX века Лаплас, Гаусс, Пуассон. Применение вероятностных методов в прикладной статистике значительно расширилось. Понятие вероятности стало определено и для непрерывных случайных величин, благодаря чему появилась возможность применения методов математического анализа. Появляются первые попытки применения теории вероятностей в физике. К концу XIX века появляются статистическая физика, строгая теория ошибок измерения, вероятностные методы проникают в самые различные прикладные науки.
В XX веке в физике была создана теория микромира, а в биологии -- теория наследственности, обе они существенно основаны на вероятностных методах. Карл Пирсон разработал алгоритмы математической статистики, широко и повсеместно применяемые для анализа прикладных измерений, проверки гипотез и принятия решений. А. Н. Колмогоров дал классическую аксиоматику теории вероятностей. Из других новых областей применений теории вероятностей необходимо упомянуть теорию информации и теорию случайных процессов. Философские споры о том, что такое вероятность и в чём причина её устойчивости, продолжаются.
Событие и виды событий
Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.
Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.
Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.
Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.
Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.
Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:
A0 — в результате броска монеты выпадет орел;
Ā0 — в результате броска монеты выпадет решка.
Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.
Алгебра событий
Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.
Сложение событий
Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.
Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A1 + A2 + A3 + A4 + A5 состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A1, A2, A3, A4, A5, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A1, или событие A2, или событие A3, или событие A4, или событие A5.
Умножение событий
Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A1A2A3 … A10 подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A1, и событие A2, и событие A3..., и событие A10.
Рассмотрение различных методик и способов решения задач по теории вероятности
Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:
P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.
Свойства вероятности:
Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Формула Бернулли
Вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз.
, где .
Можно точно подсчитать число «удачных» комбинаций исходов испытаний, для которых событие А наступает k раз в n независимых испытаниях, — в точности это количество сочетаний из n по k:
Глава 2. Практическая часть
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Классическое определение вероятности
Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?
Решение:
Вспоминаем основную формулу теории вероятности, которую мы привели выше. Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).
Следовательно: P=m/n=9/36=1/4=0,25
Ответ: 0,25.
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
Решение:
Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число равна 0,5.
Следовательно: 0,5 · 0,5 = 0,25.
Ответ: 0,25.
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Решение:
По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965.
Следовательно: 1 − 0,965 = 0,035.
Ответ: 0,035.
Вероятность сложных событий
Задача о бросках кубика.
В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.
Решение:
Пусть событие A состоит в том, что при первом бросании выпала комбинация 5 и 6 очков, а событие B состоит в том, что при втором бросании выпала комбинация 5 и 6 очков.
P(A)=P(B)=2/36=1/18
Событие, состоящее в том, что комбинация 5 и 6 очков выпадет хотя бы один раз из двух попыток, является суммой этих событий. События A и B являются совместными и независимыми, вероятность их суммы вычисляется по формуле:
P(A)+P(B)-P(A) · P(B)=1/18 + 1/18 – 1/18 · 1/18 = 0,108...
Округляя до сотых, получим 0,11.
Ответ: 0,11.
Задача о бросках монеты
Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Решение:
Вероятность того, что выпадет ровно 5 орлов, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 5 орлов, к общему количеству вариантов:
P(A)=N(A)/N
Вероятность того, что выпадет ровно 4 орла, равна отношению количества вариантов, при которых выпадает ровно 4 орла, к общему количеству вариантов:
P(B)=N(B)/N
Тогда отношение этих вероятностей:
P(A)/P(B)=N(A)/N(B)
Количество вариантов, при которых выпадет ровно 5 орлов, равно
Количество вариантов, при которых выпадет ровно 4 орла, равно
Тогда:
Ответ: 1,2.
Задача о зависимых и независимых событиях
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
3 июля
Х
4 июля
0,8
0,2
Х
0,2
0,8
0,8
О
5 июля
0,2
0,8
Х
О
О
Х
0,8
0,2
0,2
0,2
0,2
0,8
0,8
6 июля
Х
О
Х
О
О
Х
О
Х
Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:
P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;
P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;
P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;
P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.
Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.
Ответ: 0,392.
Глава 3. Задачи для самостоятельного решения
В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.
Ответ: 0,994.
В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 19 раз больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.
Ответ: 0,05.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Ответ: 0,375.
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.
Ответ: 0,2.
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Ответ: 0,216.
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Ответ: 0,08.
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Ответ: 0,019.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Ответ: 0.5.
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Ответ: 0,75.
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
Ответ: 0,38.
Заключение:
В ходе работы мною были рассмотрены основные виды задач по теории вероятности, представлены некоторые задачи из бланков ЕГЭ по профильной математике и подобраны задачи для самостоятельного решения.
По результатам анкетирования, учащиеся продемонстрировали, что в некоторых моментах недостаточно хорошо знают тему теории вероятности, средний процент выполнения заданий – 73%.
Для решения этой проблемы мною было приято решение создать методическое пособие, включающее в себя примеры решения некоторых задач по теории вероятности и задачи для самостоятельного решения.
Список литературы:
Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей, изд., К. - Л.,2008.
Луговая И. Н. История теории вероятностей, 4 изд., М., 2001.
Бернштейн С. Н. Теория вероятностей, 4 изд., К. - Л., 2003.
Афанасьев В.В., Мамонтов С.И. Случайные события: Учебное пособие. Я.: ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 1999.- 48 с.
https://math-ege.sdamgia.ru/
https://skysmart.ru/articles/mathematic/teoriya-veroyatnostej-formuly-i-primery
https://www.evkova.org/teoriya-veroyatnosti
https://lfirmal.com/reshenie-zadach-po-teorii-veroyatnostej/
Приложение 1
Анкета
Решите задачи по теории вероятности. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
В классе 9 учащихся, среди них два друга — Михаил и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в одной группе.
Ответ: _______________
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет ровно 6, 7 или 8 очков. Результат округлите до сотых.
Ответ: _______________
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент остановились. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 3, но не дойдя до отметки 6.
Ответ: _______________
Приложение 2
Результаты анкетирования