XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Для того, чтобы начать решать задачи, отметим две точки M, N на сторонах BC, CD квадрата ABCD. Соединим точку А с точками M и N. Предварительно точки отмечены так, чтобы при соединении угол был равен 45°. Теперь, с помощью этого рисунка, мы сможем разбирать задачи и находить удивительные решения и доказательства, всего лишь перегибая квадрат по прямым!

Задача

Условие

Решение (описание)

№1

Найти египетский треугольник, перегибая лист бумаги.

Треугольники GIH, HAE и EDF подобны по первому признаку равенства (по двум углам в каждом треугольнике: , как вертикальный; , как углы квадрата. Тогда треугольники ∆GIH HAE. Аналогично с треугольниками ∆HAE и ∆DFE. Тогда все три треугольника подобны по первому признаку подобия.

Будем считать, что длина стороны квадрата равна 1.

Теперь мы можем найти длины сторон прямоугольного ∆DFE. Пусть DF=a. Тогда FC=1-а. По построению FE=FC, поэтому FE=1-а. Так как Е является серединой стороны, DE= 1/2. По теореме Пифагора: (1 - а)² = а² + (1/2)². Отсюда получаем: а= 3/8. Следовательно, DF = 3/8 и FE=1-а=5/8. Другими словами, такая процедура делит правую сторону квадрата в отношении 3:5. Далее, отношение сторон в ∆DFE равно FD:DE: EF= 3/8:1/2:5/8=3:4:5. Оказывается, ∆DFE – египетский!

№2

На сторонах BC и CD квадрата ABCD выбраны точки М и N соответственно так, что угол MAN=45°, докажите, что расстояние от точки А до прямой MN равно стороне квадрата.

Для начала соединим точки М и N, проведем высоту АЕ.

(Способ перегибания): Перегнем квадрат по прямым AM и AN. Так как ВАМ DAM =МАN, и АВ=АD, то после перегибания отрезки АВ и АD совместятся, кроме того, АВМ= АDN=90°, значит, из точки, в которой оказались вершины В и D, отрезки AM и AN видны под прямым углом, а этому условию удовлетворяет точка Е. Тогда, AE=AB=AD. Примечание: этот прием является авторским. Его изобретателем стал В. В. Произволов, и называется этот прием «свертыванием».

№3

В равнобедренном прямоугольном треугольнике ВАD на гипотенузе BD выбраны точки P, Q так, что PAQ=45°. Докажите, что PQ²=BP²+DQ².

Для начала соединим точки В и D. Получаем прямоугольный треугольник ABD.

Способ перегибания: перегнем чертёж по прямым AP и AQ (используем «сворачивание»). Тогда, точки D и B совместятся в точке Е. Так как РЕА= РВА= РDА= QEA=45°, то PEQ=90°. Следовательно, из треугольника PQE: PQ²=EP²+QE²=BP²+DQ².

№4

Дан невыпуклый четырёхугольник ABHC, в котором углы А, В и С равны по 45°. Докажите, что:

а) отрезки АН и ВС равны и перпендикулярны;

б) S _ABHC = 1/2AH².

а) Продолжим отрезки ВН и СН до пересечения с АС и АВ в точках D и Е соответственно. Тогда ADB = AEC = 90°. Так как BD и CE — высоты треугольника ABC, то H — ортоцентр этого треугольника, следовательно, AH перпендикулярен BC. Кроме того, треугольники ABD и CHD равнобедренные и прямоугольные, поэтому AD = BD и HD = CD. Следовательно, прямоугольные треугольники AHD и BCD равны (по двум сторонам), откуда AH = BC.

б) AN и BC — диагонали невыпуклого четырехугольника. Так как площадь любого четырехугольника равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними, то S_ABHC= 1/2 AH∙BS sin 90°= 1/2АН². Теперь перейдём к решению задачи 3 и покажем, что и её можно решить с помощью «свертывания».

№5

На сторонах АВ, BC, CD и AD квадрата АВСD взяты

соответственно точки K, М, N и L так, что KМА= МАN= LNA = 45°.

а) Докажите, что точки А, K, M, N и L лежат

на одной окружности.

б) Пусть KL пересекает AM и AN в точках F и G соответственно. Докажите, что S_KMF=S_LNG=S_FAG.

(Для решения задачи будет достаточно доказать то, что AK=AL, тогда точки А, К, М, L, N будут лежать на одной окружности.) Для начала составим чертёж на модели квадрата. Проведем высоты треугольника MAN для того, чтобы найти ортоцентр этого треугольника. Далее приступим к доказательству.

• Способ перегибания: при перегибании квадрата по прямым АМ и АN точки K, L совпадут в точке Н – ортоцентре треугольника MAN. Это следует из того, что точки В и D совмещаются в точке Е высоты АЕ этого треугольника (опор на задачу №1), а АМН=ANH=45° (опор на лемму №1). Тогда, AK=AL, что и требовалось доказать.