XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Красота через математические законы
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Тема фракталов и золотого сечения до того, как мы начали работать над проектом, были мне совсем не известны, но мы часто видели в интернете упоминания об этих терминах в соединении с архитектурой, красотой природы и геометрией. Поэтому, выбор этой темы имеет для нас не только исследовательскую роль, но и познавательную. Мы хотим понять, какая взаимосвязь между фракталами, золотым сечением, красотой и математикой существует. Поэтому было принято решение провести исследование по теме «Геометрия красоты». Актуальность выбранной темы была подтверждена в ходе обсуждения ее с руководителем, который одобрил выбор темы исследования.
Объект исследования – человек, архитектурные сооружения, созданные человеком, окружающий нас мир.
Предмет исследования – фракталы и золотое сечение через формы исследуемых объектов.
Методы исследования:
Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
Анализ;
Эксперимент;
Математические расчеты пропорциональных отношений;
Сопоставление полученных данных;
Сравнение
Цель работы – изучение фракталов и золотого сечения.
Гипотеза – фракталы и золотое сечение являются основой красоты человека, природных объектов и архитектуры.
Для того чтобы достичь цели мы определили для себя следующие задачи:
Познакомиться с миром фракталов и историей их возникновения.
Изучить правило золотого сечения.
Выявить взаимосвязь между фракталами и понятием красоты.
Выявить влияние золотого сечения на понятие красоты.
Провести исследование на тему влияния фракталов и золотого сечения на восприятие человеком красоты объекта.
Что же такое красота? «Красота́ — эстетическая (неутилитарная, непрактическая) категория, обозначающая совершенство, гармоничное сочетание аспектов объекта, при котором последний вызывает у наблюдателя эстетическое наслаждение. Красота является одной из важнейших категорий культуры.» (Wikipedia). Красота является одним из связующих элементов науки и искусства. Она многогранна и многолика, оценить ее для себя может каждый, через призму своего восприятия мира. Для одного человека красота – это гармония формы и цвета, для другого красота – это линии, а для третьего-это симметрия. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества; его широко используют все без исключения направления современной науки и искусства. Симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон. И не только объекты. Симметрия присутствует также в регулярности смены дня и ночи, времен года. Фактически мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия, понимаемая в самом широком смысле, противостоит хаосу, беспорядку, неразберихе. Получается, что симметрия — это упорядоченность, уравновешенность, красота, совершенство.
Математическая красота — это эстетическое удовольствие, обычно получаемое от абстрактности, чистоты, простоты, глубины или упорядоченности математики. Зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии способствуетформа, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения. Сочетание красоты симметричных объектов типа кристаллов с красотой "живых" природных объектов, привлекательных именно своей неправильностью, заключает в себе красота фракталов.
Красота математики
Многие века ученые спорят схожа ли красота математики с красотой музыки или живописи, природы и предметов, и долгое время не находят ответа. Однако, с развитием технологий и открытием новых знаний человек постепенно приближается к ответу на этот вопрос. Современная наука уже точно знает, что один и тот раздел нашего мозга затрагивается красотой художественной и красотой математических формул. Эти исследования не столь однозначны, и ученые нейробиологи продолжают исследовать данную область, поэтому данная тема вызвала большой интерес и у нас. Нам кажется, только через математику и можно увидеть истинную суть красоты.
Красота фракталов
Как это не странно, в математике есть такие открытия, которым человечество мало придает значение, потому что они не принесли в нашу жизнь удобство и комфорт, как например электричество или компьютер. Однако такие открытия позволяют расширить наше понимание мироздания и стать трамплином к великим открытиям. На наш взгляд, таким открытием является открытие фрактала. В 70-х годах прошлого века исследовательский центр компании IBM трудились над передачей данных на расстояние. Они столкнулись с проблемой потери данных от шумовых помех. Гениальный ученый, Бенуа Мангельброт, работающий на этом проекте, пытался понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод не дал результатов. Именно он заметил закономерность, что график шумов оставался одинаковым вне зависимости от промежутка времени, за который он строился, т.е. график за один день выглядел одинаково с графиком за час. Бенуа изменял масштаб графика, а его отображение оставалось неизменным. Образное мышление Бенуа, позволило ему увидеть закономерность, что фрактальный рисунок не имеет одинаковых элементов, но он подобен себе в любом размере. Возможно, и другие ученые ранее могли бы сделать это открытие, но только создание вычислительной техники позволило исследовать и создать такие изображения, для построения которых требовалось огромное количество вычислений. Бенуа в своих работах использовал результаты исследований других ученых, таких как Кантор, Хелге фон Кох. Описанное Канторовское множество и есть один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. А Хелге фон Кох построил пример непрерывной кривой, которая нигде не имеет касательной. А из нее сформировалась снежинка Коха, которая представляет собой равносторонние треугольники, построенные с уменьшением к базовому в отношении 8/5. Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции.
Так что же такое фрактал? Если говорить просто, то фрактал это геометрическая фигура, в которой один и тот же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе. А если взять математическое определение, то фрактал это множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Понятие фрактал используется не только как математический термин, но и как обозначение предмета, обладающего одним из ниже указанных свойств:
Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.
Является самоподобным или приближённо самоподобным.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения человека.
Золотое сечение
Человек оценивает красоту предметов по их форме, цвету, запаху и еще множеству критериев. Но именно пропорция предмета является основой такого математического свойства как золотое сечение. Золотое сечение (или золотая пропорция) – это сокровище геометрии по словам Иоганна Кеплера. С древних времен люди имели понятие о золотом сечении, используя правило при строительстве и создании предметов. Еще около 300 лет до нашей эры, древнегреческий математик Евклид дал определение золотого сечения, как отношения отрезков:
На основе своего расчета Евклид построил правильный пятиугольник (пентагон), которые еще называют «золотым пятиугольником».
Первое научное упоминание найдено в книге монаха Луки Пачоли, иллюстрации к которой предположительно сделал Леонардо да Винчи. И как предполагают историки, им же и был придуман сам термин. Правило же золотого сечения сформулировано математиком Леонардо Фибоначчи, который в результате решения задачи вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд Фибоначчи. Последовательность этих чисел говорит о пропорции, где два младших члена последовательности в сумме дают следующий и эта последовательность бесконечна.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…∞
Последовательность чисел Фибоначчи описывается:
Fₙ=Fₙ₋₂+Fₙ₋₁
Аналитически число Фибоначчи вычисляется через формулу Бине:
Классическое определение Золой Пропорции: меньшее относится к большему так, как большее относится к целому, с коэффициентом 1,618.
Золотое сечение определяется по формуле:
Отсюда φ=1,61803398874989484…
Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое среднее или золотая пропорция. В алгебре это число обозначается греческой буквой фи (Ф)
Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
Геометрическое изображение золотой пропорции: BC = 1/2 AB; CD = BC
Золотая пропорция есть красота и гармония в предмете. Другими словами, золотое сечение, это математическая формула закономерности проявления отношения в предметах.
Математика красоты
В мире царствует гармония, гармония звуков, ритмов и форм. И именно из этой гармонии выстраивается понимание человеком последовательностей, слыша звуки или видя формы, наблюдая за их повторами, мы анализируем, приходим к пониманию законов мироздания. Так формулируются законы математики и также определяются каноны красоты. И наше желание постигать новое, что в математике, что в нашей природе, всегда навеяно желанием постигать красоту все больше. Мы находим новое в архитектуре и живописи, музыке и науке, в попытке найти новую, неизведанную красоту, но при этом наше понимание красоты связано с формулами и пропорциями.
В истории мировой культуры все известные объективные законы красоты построены на едином принципе — принципе симметрии. В каждую культурную эпоху превозносилась одна из этих характеристик как эталон красоты или доминанта искусства, так что Античность можно назвать эпохой зеркальной симметрии, Средневековье — эпохой пропорции, Ренессанс — эпохой золотого сечения, а Новое время — эпохой ритма.
Архитектура
Архитектурные элементы, известные на сегодняшний день, были заимствованы из природы. Гармоничное построение объектов зависит от правильного применения законов, встречаемых в природе. Человек, будучи биосоциальным существом стремится перенести в свой образ жизни максимально много из того, что было создано природой, ее объекты приятны глазу даже в городской среде. После появления теории о фракталах, архитекторы стали активно применять их свойства в строительстве, и современные здания стали приобретать новые формы. Однако, и до появления знаний о фракталах, в древних сооружениях Китая, Египта, Вавилона, в культовых сооружениях Индии и готических храмах были использованы структуры фракталов. Многие знаменитые сооружения, которые мы знаем, содержат в себе элементы фракталов. Ярким примером служит Эйфелева башня в Париже, Исторический музей в Москве, Собор Дуомо в Милане и т.д.. Безусловно, будет что-то новое, отличное старых стилей, отличаемое ломанными кривыми, неровными треугольниками и не подающимся четкому определению формами. Вдохновленные сложной геометрией фракталов, архитекторы решили воплотить математические образы в простые, понятные глазу и логике формы, тем самым привнести в мир яркое и незабываемое многообразие фрактальной геометрии. Но, правда ли, что эти ломанные линии и нечеткая форма и есть новые каноны красоты?
Мы решили провести исследование методом сравнения мнений опрошенных нами людей. Проведя опрос среди одноклассников, раздав им фотографии и попросив показать самое красивое здание, по их мнению, мы можем с уверенность сказать, что форма зданий, построенных без соблюдения правила золотого сечения и не содержащие в себе фракталы, также признаются красивыми.
Исследовательский опыт №1
Среди предложенных фото были четыре здания разного времени постройки, разных архитектурных стилей и форм (рис. 1-4). Большинство голосов набрало здание №3 (рис 3) – 41% опрошенных, на втором месте здание №2 (рис.2) – 38% опрошенных, третье место у дома №1 (рис. 1) – 19%. Здание №4 (рис.4) набрало всего 2% голосов. Из проведенного исследования нельзя сделать однозначного вывода ввиду небольшого охвата опрашиваемых и одной возрастной категории, но сделать выводы, что понятие красоты не полностью связаны с формой и математическими правилами можно точно.
Природная математика
Высшую красоту можно прочесть во всем живом и не живом в природе. Природа создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. Геометрия природы подчиняется законам Космоса. Ещё Галилео Галилей писал, что Вселенная «написана» на языке математики. Всматриваясь во фрактальную форму, мы видим одну и ту же структуру, часто не имеющую чётких видимых геометрических пропорций, независимо от степени увеличения или уменьшения. Такое самоповторение можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении, например, горы, облака, береговые линии.
Многие объекты в природе обладают свойствами фракталов. Природа создает удивительные объекты с идеальной фрактальной геометрией, которая не может не вызывать восторг у нас. К примеру, диковинные раковины морских моллюсков, поражающие нас красотой и многообразием форм, мы часто видим в качестве сувениров, но мало кто из нас думает о его фрактальной форме. А когда мы покупаем ананас, кто из нас осознавал, что это и есть фрактал? Всех нас завораживают вспышки молнии, ее огненная красота и мощь, но мы не осознаем ее фрактальные свойства. Один эксцентричный математик, Люьис Ричардсон попытался найти математическое объяснение вооруженного конфликта между Португалией и Испанией. Его исследование привело его к такому парадоксу, что в разных источниках длинна границы стран называлась разная. Он догадался, что длинна границы зависит от линейки, которой ее измеряют, и чем меньше масштаб линейки, тем длиннее граница. И чем больше приближаешь границу, тем больше новых изгибов берега учитывается и так граница берега становится бесконечной…но на самом деле этого не происходит, у береговой полосы есть предел, но свойства фрактала тоже. Все в природе создано из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем. Можно посмотреть через увеличительное стекло на нашу кожу или листок дерева, и мы увидим фракталы. Среди растений хорошим примером фрактала является папоротник. В красочным оперенье павлина спрятаны сплошные фракталы.
Все живое созданное природой имеет золотые пропорции, именно золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Растение, развиваясь в живой природе сохраняет определенные пропорции. Строение большинства бабочек отвечает золотой пропорции, а именно соотношение размеров их грудной и брюшной частей тела. При сложенных крыльях, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но как только она разведет крылья, вы увидите тот же принцип членения тела. И стрекоза создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста. В ящерице улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Что соответствует пропорции золотого сечения.
Все на земле приобретая форму растет вверх, в сторону или по спирали. Последнему пристально уделил внимание Архимед, составив уравнение. По ряду Фибоначчи устроена шишка, ракушка, ананас, подсолнух, ураган, паутина, молекула ДНК, яйцо, стрекоза, ящерица… Тицириус доказал, что вся наша Вселенная, космос, галактическое пространство, – все спланировано исходя из Золотого принципа.
Исследовательский опыт №2
Выясним, листья какого дерева считаются самыми красивыми
|
№ |
Название |
Кол-во голосов(чел) |
|
1 |
Клен |
17 |
|
2 |
Акация |
3 |
|
3 |
Тополь |
4 |
|
4 |
Ива |
2 |
|
5 |
Дуб |
9 |
Вопрос: листья какого дерева вы считаете самыми красивыми?
В опросе приняло участие 35 человек.
Результаты опроса: каждому опрашиваемомубыли показаны картинки листа клена, акации, тополя, ивы, дуба. Предлагалось выбрать один самый красивый на его взгляд лист. По результатам проведенного опроса мы можем увидеть, что большинство голосов было отдано за лист клена.
Вывод: самые красивые листья у клена.
В строении кленового листа присутствуют пропорции золотого сечения, симметрия и фрактальность, поэтому лист клена создает впечатление красоты и гармонии.
Геометрия человека
Основой эволюции Пространства является Фрактальное самоподобие. Каждая клетка человека содержит всю информацию обо всём организме в целом. И из хаоса рождается гармония порядка, везде соблюдается принцип самоподобия. Человеческий организм тоже построен на основе фракталов: кровеносные сосуды, лёгкие, бронхи имеют фрактальную природу.Сердце человека равномерно бьется в состоянии покоя около 60 ударов в минуту. Оно как поршень сжимает, а затем выталкивает кровь и гонит ее по телу. Роль резервуара выполняют предсердия, принимая кровь из вен, а желудочки - насоса, ритмически перекачивающего кровь в артерии. В процессе работы сердца давление крови изменяется. В левом желудочке в момент его сжатия (систолы) давление крови достигает наибольшей величины.В артериях во время систолы желудочков кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм рт.ст. у здорового молодого человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастолы) давление снижается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, т.е. близко к золотой пропорции. Полученные учеными результаты подтверждают, что организм, и в частности органы кровообращения, являются единой системой. Дыхательные пути, сформировавшиеся в ходе эволюции и эмбрионального развития, напоминают фракталы, Бронхи и бронхиолы легкого образуют «дерево» с многочисленными разветвлениями. Мелкомасштабная структура дыхательных путей выглядит так же, как крупномасштабная. Количественный анализ ветвления дыхательных путей показал, что оно имеет фрактальную геометрию. Кости продуманы природой тоже согласно пропорции 5/8. Это развенчивает отговорку людей о «широкой кости». Впервые закономерности соотношения размеров тела человека и отдельных его частей обобщил и сформулировал в 1855 г. немецкий исследователь Цейзинг в своём научном труде "Эстетические исследования". За основу своей теории он взял учение о "золотом сечении". Как же все это связанно с телом человека?
Посмотрите на свой указательный палец. Палец состоит из трех фаланг. Две верхних фаланги в отношении ко всей длине пальца и есть Золотое Сечение. Ему же равно отношение длины мизинца к длине среднего пальца. В теле "идеального" человека, золотому сечению также равны такие пропорции, как
* расстояние от кончиков пальцев до запястья до локтя равно 1:1.618;
* расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;
* расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;
* расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;
Измерьте это на своем теле. Результаты измерений забиваем в калькулятор как "большее к меньшему". Если их пропорция примерно равна 1.618, то поздравляю, вам повезло быть обладателем тела с "золотыми пропорциями". Если совпадений не случилось, то не отчаивайтесь, полное соответствие бывает не у всех…а еще нужно учесть погрешность измерительного инструмента