XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Задачи на разрезание
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
«Семь раз отмерь, один раз отрежь!»
У нас в школе есть предмет логика, на котором мы вместе с учителем решаем различные интересные задачи. И одним из самым занимательных на мой взгляд являются задачи на разрезание. В чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на разрезание. И как можно их применять?
Объект исследования: задачи на разрезание
Предмет исследования: методы и приёмы их решения.
Цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на разрезание.
Методы исследования: сравнение, обобщение, аналогии, анализ и классификация задач
Задачи исследования:
узнать историю задач на разрезание;
освоить технику задач на разрезание;
изучить необходимую литературу, исследовать задачи на разрезание;
научиться разрезать геометрические фигуры на части, необходимые для составления той или иной другой геометрической фигуры;
проанализировать и систематизировать полученную информацию
найти различные методы и приёмы решения задач на разрезание
классифицировать исследуемые задачи
создать сборник собственных задач на разрезание
Гипотеза: возможно, многообразие задач на разрезание, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их решении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на разрезание, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.
При решении задач на разрезание нам не понадобится знание основ геометрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.
Введение
Искать решение задач на разрезание ученые начали еще с древнейших времен. Возникли они из потребностей практиков-землемеров и строителей архитектурных сооружений древнего мира. Первые попытки к решению были разработаны древними греками, китайцами. Так, в древнем Китае зародилась головоломка «Танграм», а в Греции – «Пентамин. Но систематизировать подход к решению задач на разрезание смог арабский математик, астроном Абул Вефа, который жил в X веке. Он разработал приемы решения геометрических задач, связанных с разложением фигур. В конце XX века ученые вновь занялись изучением, а также поиском новых путей решения задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее составление из них новой фигуры. Известные специалисты в этой области – Генри Эрнест Дьюдени и Гарри Ландгрен. Например, в своей книге «Занимательные задачи на разрезание» Ландгрен приводит пример, как составить новую фигуру, при этом разрезав начальную на наименьшее число частей, а также дает возможность разработать свой подход к решению задач и найти новые способы их решения.
Возможности для решения практических проблем и математическое «изящество» задач на разрезание вызывает постоянный интерес к этой теме. Однако остается не до конца исследованным вопрос о системе задач на разрезания и методах решения этих задач. Обозначенная проблема определила актуальность нашего исследования по теме «Задачи на разрезание».
Глава I. Задачи на разрезание и способы их решения
1.1.Разрезание правильных , выпуклых фигур
Правильные фигуры (многоугольники)- это фигуры , у которых все углы и стороны равны. (например, квадрат)
А вот прямоугольник не является правильной, но выпуклая фигура.
ЗАДАЧА1. Квадрат содержит 16 клеток. Разделите квадрат на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Способы разрезания квадрата на две части будем считать различными, если части квадрата, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе.) Сколько всего решений имеет задача?
Указание:
рис1.
Найти несколько решений этой задачи не так уж сложно. На рис. 1 некоторые из них показаны.
Но найти все решения и ни одно решение не потерять уже труднее.
Заметим, что ломаная, делящая квадрат на две равные части, симметрична относительно центра квадрата, Это наблюдение позволяет шагза шагом рисовать ломаную с двух концов. Например, если начало ломаной в точке A, то конец ее будет в точке B (рис. 2).
рис2.
Убедитесь, чтодля данной задачи начало и конец ломаной можно нарисовать двумя
способами, показанными на рис. 2.
При построении ломаной, чтобы не потерять какое-либо решение,можно придерживаться такого правила. Если следующее звено ломаной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужно заготовитьвторой такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке первым, а на другом вторым способом (на рис. 3 показаны два продолжения рис. 2 (а)).
рис3.
Аналогично нужно поступать, когда способов не два, атри (на рис. 4 показаны три продолжения рис. 2 (б)). Указанный порядок действий помогает найти все решения.
рис4.
ЗАДАЧА2. Прямоугольник 3×4 содержит 12 клеток. Найдите пять способов разрезания прямоугольника на две равные части так, чтобы линияразреза шла по сторонам клеток (способы разрезания считаются различными, если части, полученные при одном способе разрезания, неравны частям, полученным при другом способе).
Решение:
ЗАДАЧА3. Квадрат 6 × 6 разграфлен на 36 одинаковых квадратов. Найдите пять способов разрезания квадрата на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.
Решение:
Указание: данная задача имеет более 200 решений.
1.2.Разрезание невыпуклых фигур
ЗАДАЧА4.Разделите фигуру (рис. 5) на три равные части так, чтобылиния разреза шла по сторонам квадратов.
рис5.
Решение: 15 клеток делим на 3. Каждая часть состоит из 5 клеток и может иметь один из видов:
.Попробовав разделить , получаем следующее:
ЗАДАЧА5.Разделите фигуру (рис. 6) на четыре равные части так, чтобы
линия разреза шла по сторонам квадратов.
рис6.
Решение: 12 клеток делим на 4 и получаем 3 клетки. То есть каждая часть состоит из трех клеток и может иметь только два вида:
Получаем следующее:
1.3 Разрезание фигур с рисунками
ЗАДАЧА6. Разрежьте фигуры, изображенные на рис. 7, на две равныечасти по линиям сетки, причем в каждой из частей должен быть кружок.
рис7,а. рис7, б.
Решение: используя те же способы , что при решении задач 1 ,2, получаем
рис7,а рис7,б.
ЗАДАЧА7. . Фигуру, изображенную на рис. 8, надо разрезать по линиямсетки на четыре равные части так, чтобы в каждой части был кружок.
рис. 8
Решение: Данная фигура состоит из 12 клеток. Делим на 4 части, получаем 3 клетки. То есть каждая часть состоит из 3 клеток.(аналогично задаче 5).
1.4. Разрезание фигуры на две равные части,
из которых можно сложить квадрат, прямоугольник.
ЗАДАЧА8.Прямоугольник 4 × 9 клеток разрежьте по сторонам клетокна две равные части так, чтобы из них затем можно было сложитьквадрат.
Решение:
рис.9
ЗАДАЧА9. Можно ли прямоугольник 4 × 8 клеток разрезать на двечасти по сторонам клеток так, чтобы из них можно было составитьквадрат?
Ответ: нет. , так как 4 х 8=32. Квадрат из 32 клеток невозможно составить.
Глава II. Задачи, составленные автором
Поняв . как решаются задачи на разрезание, я решил придумывать свои задачи. А для этого разрезал одинаковые фигуры и складывал из них разные фигуры. Некоторые из фигур можно усложнить кружочками или звездочками, чтобы они были в каждой части .
Задача 1. Квадрат состоит из 16 клеток. Разделите квадрат на 4 равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. Сколько решений имеет задача?
Задача 2. Прямоугольник имеет стороны 2х3. Разделите фигуру на две равные части. Покажите всевозможные варианты. (Решите аналогичную задачу с прямоугольником 2х5).
Задача 3. . Разделите фигуру (рис. 10, ) на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.
рис.10
Задача 4. Разделите фигуру (рис. 11, а,б,в, г) на три равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам квадратов.
а) б)
в) г)
рис.11
Задача 5.Разделите фигуру (рис. 12) на четыре равные части так, чтобы в каждой части был закрашенный квадратик.
а) б)
рис.12
Задача 6.. Разделите фигуру (рис. 13) на три равные части так, чтобы в каждой части была звездочка.
рис. 13
Задача 7. Фигуру (рис.14) разрежьте по сторонам клеток на четыре равные части так, чтобы из них затем можно было сложить квадрат.
рис.14
Задача 8. . Фигуру (рис.15а, б) разрежьте по сторонам клеток на две равные части так, чтобы из них затем можно было сложить квадрат
рис. 15,а
рис.15,б
Задача 9.Фигуру (рис.16) разрежьте по сторонам клеток на две равные части так, чтобы из них затем можно было сложить прямоугольник.
рис.16
Задача 10. .Квадрат (рис.17) разрежьте по сторонам клеток на четыре равные части так, чтобы каждая из них содержала 3 заштрихованные клетки.
Создание сборника задач привело меня к мысли: «Показать задачи своим одноклассникам и предложить их решить». Для того, чтобы выяснить:«интересны ли задачи на разрезание моим одноклассникам?», я провёл опрос. Полученные ответы внес в таблицу.
|
Вопросы |
Да |
Нет |
Иногда |
|
Знаете вы Что такое «задача на разрезание»? |
27 |
1 |
- |
|
Нравиться ли вам решать задачи на разрезание? |
12 |
5 |
11 |
|
Получалось ли решить задачу на разрезание? |
2 |
21 |
5 |
|
Хотелось ли вам научиться решать задачи на разрезание? |
26 |
- |
2 |
Показатели таблицы показывают, что задачи на разрезание интересны ребятам.
Далее, посоветовавшись с моим руководителем Петровой Галиной Владимировной, мы решили провести мастер-класс среди учеников нашего класса, на тему: «Как решать задачи на разрезание»
Мы подготовилипрезентацию о задачах на разрезание и я показал ее одноклассникам, принёс сборник своих задач, рассказал алгоритм их решения.
Участники не только получили знания, но и пообщались между собой, поделились своими результатами решений логических задач.
В конце проведения мероприятия, я задал два вопроса:
-Понравился ли Вам сегодняшний мастер – класс?
-Хотелось бы Вам, чтобы проводились такие мастер – классы регулярно?
Все ответили единогласно: «да».
Поэтому на урок логики каждой недели я буду приносить в класс новые задачи.
Делая вывод из вышеизложенного, можно сказать, что на примере собственного опыта занятий я показал и заинтересовал своих одноклассников задачами на разрезание. Даже если не все ребята, а лишь немногие продолжат в будущем развивать своё мышление с помощью логических задач, я буду рад, что помог в этом.
Заключение
Задачи на разрезание увлекательны прежде всего потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берётся за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку и интуицию.
Те, кто любит головоломки и увлекается решением различных задач на разрезание, прежде всего, развивает логику своего мышления. Различные универсальные методы решения таких задач способствуют развитию геометрического мышления, даже с малого возраста, и каждый, кто решает такие задачи, может проявить свою способность к творческому мышлению. Так как в таких задачах не требуется глубокое знание геометрии, то учащиеся иногда могут даже превзойти профессионалов – математиков, своих учителей в поиске новых открытий.
Список литературы
1. Вернер, А.Л. Геометрия. Ч.1 [Текст]: учеб. пособие для физико-мат. фак. пед. ин-тов / А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. – СПб.: Спец.лит., 1997. – 351 с.
2. Дьюдени, Г.Э. 250 головоломок. /Сост. и ред. амер. изд. М. Гарднер. Пер. с анг. Ю.Н. Сударева. – М.: Мир, 1975. – 426 с.
3. Екимова, М.А. Задачи на разрезание [Текст] / М.А Екимова, Г.П. Кукин. – М.: МЦНМО, 2014. – 120 с.
4. Кордемский, Б.А. Удивительный квадрат [Текст] / Б. А. Кордемский. - М.: Книга по Требованию, 2012. – 158 с.
5. Жарковская, Н.М. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика [Текст] / Н.М. Жаровская, Е.А. Рисс // Математика, 2009, № 17, с. 24–25.
6. Лингрен, Г. Занимательные задачи на разрезание [Текст]. Пер. с анг. Ю.Н. Сударева. Под ред. и с послесл. И.М. Яглома. – М.: Мир, 1977. – 341 с.
7. Погорелов, А.В. Геометрия. 7 – 9 кл [Текст] / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2002. – 132 с.
8. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. – 2-е изд. – Часть II [Текст] / В.В. Прасолов. – М.: Наука, 1991. –87 с.
9. Савин, А.П. Задачи на разрезание [Текст] / А.П Савин // Квант. - 1987. – № 7.
10. Савин, А.П. Задачи на разрезание [Текст] / А.П. Савин // Квант. – 1987. – № 8
11. Смирнова, И.М. Геометрия. 7 – 9 классы [Текст]: учеб. Для общеобразоват. Учреждений –2 –е изд., испр / И.М Смирнова, В.А. Смирнов. – М: Мнемозина, 2007. – 376 с
Приложения
Анкета для класса
Знаете вы Что такое «задача на разрезание»? (да/нет)
Нравиться ли вам решать задачи на разрезание? (да/ нет/ иногда)
Получалось ли решить задачу на разрезание? (да/ нет/ иногда)
Хотелось ли вам научиться решать задачи на разрезание?(да/ нет/ иногда)