XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математическое моделирование задач в литературно-художественных произведениях
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Литература и математика. Что же может объединять эти далекие друг от друга знания? Литературу, с ее интересом к духовному миру человека, поисками нравственных ценностей, смысла жизни, и математику, предпочитающей строгий научный подход и абстрактную форму интуиции. Литература ищет гармонию между человеческой душой и природой. Математика же создала адекватные методы математического описания знаков природы. Это замечательное свойство делает математику универсальным инструментом для всех естественных наук.
Сочетать не сочетаемое – привычная работа нашего воображения, когда мы ищем объяснение непонятному.
Нам чаще приходится видеть математику только в учебнике. Неожиданно встречаясь с математическими вкраплениями в произведениях великих писателей – Пушкина, Гоголя, Чехова, воспринимаем их литературные творения с особым интересом. И взглянув на математику глазами названных авторов, я попытаюсь смоделировать оригиналы, представленных авторами, его условным образом. Данное моделирование выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследования его моделей.
Объектами исследования данной работы являются литературные фрагменты произведений известных писателей ХIХ-ХХ веков, которые можно просчитать, доказать или опровергнуть, используя знания, полученные на уроках математики.
Актуальность: увидеть за словом число, за сюжетом – формулу и доказать, что художественная литература существует не только для литераторов, как и математика не только для математиков.
Цель исследования – поиск математических задач в художественной литературе.
Задачи исследования:
1)изучение научно-популярной, занимательной литературы.
2)подбор художественной литературы для исследования.
3)решение задач и оценка полученных результатов.
Методы исследования: анализ научно-популярной и занимательной литературы, анализ и решение, сравнение результатов с реальной действительностью.
В первой главе анализируется решение трех задач, найденные в произведениях русских классиков отечественной литературы - Н.В Гоголя, А.С Пушкина и А.П. Чехова. Полученные выводы весьма интересны и неожиданны. Писатели часто не подвергают свои творческие силы строгой математической проверке, и как результат – воображаемые ими объекты оказываются далеки от реальности.п
Вторая глава посвящена решениям ряда математических задач, которые автор литературного произведения ставит между своими читателями как бы между делом, даже не задумываясь над вопросом, имеют ли они решение. Произведенный анализ решения позволяет сделать вывод о реальности полученных результатов и соответственно самих условий задач.
Глава I. Задачи, любопытные по сюжету, неожиданные по результату.
Писатели, занимаясь высшими вопросами о сущности бытия, не привыкли подвергать свои творческие вымыслы математической строгости выводов. Математика дает способы решения задач, не признавая предположения и фантазии.
Башня Гоголя
В статье Гоголя « Об архитектуре нашего времени» читаем: «Башни огромные, колоссальные, необходимые в городе.… У нас обыкновенно ограничиваются высотой, дающей разглядеть один только город, между тем как для столицы необходимо видеть, по крайней мере, на полтораста верст во все стороны, и для этого может быть, один только или два этажа лишних – и все изменяется. Объем кругозора по мере возвышения увеличивается необыкновенной прогрессией…»
Так ли это в действительности?
Решение:
Обозначим дальность горизонта через d, тогда d=
Когда возвышение наблюдателя увеличивается в 100 раз, горизонт отодвигается всего только в 10 раз дальше; когда высота становится в 1000 раз больше , то горизонт отодвигается в 31 раз дальше .
Вывод: Дальность горизонта растет медленнее, чем высота поднятия: она пропорциональна квадратному корню из высоты.
И поэтому, ошибочно утверждать, что « один только или два этажа лишних, - и все изменяется». Если к восьмиэтажному дому пристроить еще два этажа, дальность горизонта возрастет , то есть в 1,1 раза – всего на 10%. Такая прибавка мало ощутима.
Что же касается идеи сооружения башни, с которой можно было бы видеть, «по крайней мере, на полтораста верст», то есть на 169 км, то она совершенно несбыточна. Гоголь, конечно же, не подозревал, что башня должна иметь огромную высоту.
Действительно, из уравнения 160= получаем:
h=
h =
Это высота большой горы.
Даже самые высокие горы из всех сооруженных до нашего времени зданий и башен намного ниже проектируемых Гоголем. А во времена Гоголя и Эйфелева башня (высотой 300 м) даже не существовала.
Холм Пушкина
Вспомним старинную легенду восточных народов, рассказанную А. Пушкиным в «Скупом рыцаре», о холме возведенном воинами:
…И гордый холм возвысился – и царь
Мог с вышины с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами
И море, где бежали корабли.
Попробуем рассчитать, каких размеров этот легендарный, «гордый холм». Сделаем примерный расчет. Армии в старину не были так многочисленны, как в наше время. Войско в 100000 человек считалось уже внушительным. Поэтому будем считать, что этот холм был составлен из 100000 горстей. Захватим самую полную горсть земли и высыплем его в стакан: мы не сможем его наполнить. Будем считать, что горсть древнего воина равна по объему 1/5 л – 0,2 ( ), отсюда найдем объем холма:
0,2 * 100000= 20000( )=20
Значит, холм представляет с собой конус объемом не больше 20 .
Теперь определим высоту холма. Для этого нужно знать, какой угол составляют образующие конуса с его основанием. В данном случае примем его равным углу естественного откоса, то есть 45 градусов, так как в случае более крутого склона земля будет осыпаться, высота такого основания равна радиусу основания. Следовательно,
V = H, так как R=H, то
V,
Н = .
H = 2,4.
У Атиллы – предводителей гуннов – было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Исторически его оценивают в 700000 человек. Если бы все воины участвовали в засыпании холма, образовалась бы куча повыше вычисленной нами, но не очень: так как объем ее был бы 7 раз больше, чем нашей, то высота превышала бы высоту нашей кучи всего в то есть в 1,9 раза ; 2,4 *1,9 = 4,59 м.
Сомнительно, чтобы курган подобных высот мог удовлетворить честолюбие Аттилы.
С таких высот легко видеть «дол, покрытый белыми шатрами», но можно ли обозревать «море, где бежали корабли»?
Выведем формулу для вычисления дальности горизонта, если известна величина возвышения наблюдателя над земной поверхностью. Зная из курса геометрии, что квадрат касательной к окружности равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
= (2R + H)* H, где AB – дальность горизонта, R- радиус Земли, R = 6400 км;
H – высота глаза наблюдателя над Землей.
Так как высота H по сравнению с 2R слишком мала, (2R+H) можно заменить на 2R.
= (2R + H) * H
=2RH
AB=
Теперь подсчитаем, как далеко мог видеть с высоты своего холма. Учитывая еще и его примерный рост, имеем
H=6 м, R = 6400 км.
Тогда дальность горизонта равна
Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на ровной Земле, то есть обозревать море возможно разве только, если дело происходит недалеко от берега.
Используя знания из геометрии, мы доказали, что если какой-нибудь древний деспот, велевший «снести земли по горсти в кучу», осуществил бы такую затею, то был бы разочарован незначительностью результата.
Арифметическая задача из рассказа
А.П Чехова «Репетитор»
Вспомним знаменитую арифметическую задачу, которая так смутила семиклассника Егора Зиберова из чеховского рассказа «Репетитор».
«Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько он купил того и другого, если синее сукно стоило 5рублей за аршин, а черное 3 рубля?»
Рассмотрим, как можно решить эту задачу.
1. Решим задачу арифметически. Составим два уравнения с двумя неизвестными, получим следующую систему уравнений:
Где число x – число аршин синего, а y – черного сукна.
Ответ: 63 аршин синего,75 аршин черного сукна.
2. Но задача легко решается и арифметически.
Предположим, что все купленное сукно было синее, тогда за партию в 138 аршин синего сукна пришлось бы уплатить 5*138=690 рублей, это на 690-540 = 150 рублей больше того, что было заплачено в действительности. Разница в 150 рублях указывает, что в партии имелось и более дешевое сукно по 3 рубля за аршин. Дешевого сукна было столько, что из двухрублевой разницы на каждом аршине составилось 150 рублей: очевидно, что число аршин черного сукна определится, если разделить 150 на 2. Получаем 75: вычтя эти 75 аршин из общего числа 138 аршин, узнаем, сколько было синего сукна: 138-75=63 аршин.
3.Есть еще один способ решения задачи с помощью счетов. Так решил задачу Удодов – старший: «он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было». Но каким образом он получил правильный результат, в рассказе не говорится. Попробуем разобраться.
Эта задача решается на счетах.
Глава II. Математические задачи в художественных произведениях писателей XX века
Математические задачи в художественных образах – это задачи, которые ставит перед читателями авторы некоторых романов, повестей, рассказов, как правило – между делом, зачастую сами не обращая на это внимания.
Но если читатель – любитель математики, то от него такая задача не ускользнет! Он не упустит случая разобраться, что это там предложил автор: разрешима эта задача или нет, верен ответ или нет. Перейдем к конкретным примерам.
Задача 1
Из двух городов выезжают в одном направлении два путешественника, первый позади второго. Проехав число дней, равных сумме чисел верст, проезжаемых ими в день, они съезжаются и узнают, что второй проехал 525 верст. Расстояние между городами – 175 верст. Сколько верст в день проезжает каждый?
1
Решение. Составляем модель задачи.
175 верст
2
525 верст
Пусть n число дней длилось путешествие, x верст в день проезжает первый путешественник, y верст в день проезжает второй путешественник, по условию (x > y) задачи имеем систему:
Решим данную систему.
+xy+ +xy=1225
(x+y)=1225
35 дней длилось путешествие.
Значит, 35*x=700, x=20.
20 верст проезжал первый путешественник и 15 верст проезжал второй путешественник.
Ответ: 20 верст = 21,34 км; 15 верст = 16,005;
Задача 2.
Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей.
Здесь не сформулировали вопрос, но он напрашивается сам собой: сколько трех- и пятирублевок взял и сколько оставил?
Решение.
Чтобы обеспечить единственность решения добавим дополнительное условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок большую часть пятирублевок.
Пусть х – количество трехрублевок, а y – количество пятирублевок, которые взял отец Федор, тогда имеем:
3x+5y=50
Найдем какое-нибудь решение данного уравнения, например (5;7)
Рассмотрим систему:
3(x- )+5(y- ) = 0
Обозначив x- =a, y- =b, имеем 3a+5b=0
Тогда: 3a=-5b и, значит, a:5, b:3
Пусть a = 5k, b = -3k, где kZ.
Но, так как x и y должны быть натуральные, то x > 0, y > 0
Так как kZ, то k= 0,1,2.
Решением уравнения будут следующие пары : при k=0, x=5, y=7.
При k =1, x=10, y=4,
При k=2, x=15, y=15, y=1;
По условию отец Федор взял собой часть трехрублевок и пятирублевок, значит, решением является пары (10;4), (5;7), (15;1)
Ответим на второй вопрос задачи. Сколько пяти- и трехрублевок отец Федор оставил?
3x+5y=20
Решением уравнения являются пары: (5;1), (0;4)
Учитывая условия, что отце Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок, то задача имеет два решения.
1-е решение: взял 5 трехрублевок и 7 пятирублевок, а оставил 4 пятирублевки.
2-е решение: взял 10 трехрублевок и 4 пятирублевок, а оставил 5 трехрублевок и 1 пятирублевку.
Иногда автор бывает столь любезен, что вместе с условием приводит и решение задачи. Но это явление редкое. В данном случае авторское решение отсутствует. Полученный ответ – это ответ на поставленный вопрос. И этот ответ реален.
Заключение
Приступая к этому исследованию, я ставил перед собой задачу вызвать интерес к изучению предмета «математика» у обучающихся, имеющих гуманитарный склад ума, через поиск и решение математических задач в произведениях русской классики и сравнение полученных решений с авторскими.
Для этого:
Была изучена научная и научно-популярная литература, исследующая связь литературы и математики, представляющая решение задач в литературных произведениях;
Были подобраны для исследования отрывки произведений русских классиков XIX-XX веков, в которых рассматривалась и были представлены различные математические задачи и ситуации, связанные с этой наукой;
Выполнено решение подобранных задач;
Проведено сопоставление полученных в данном исследовании решении задач с исследованиями, представленных авторами литературных авторов;
Французский поэт Валери сказал: «Если бы логик всегда должен был быть логически мыслящей личностью, он бы не стал и не мог бы стать логиком; и если поэт всегда будет поэтом, без малейшей склонности абстрагировать и рассуждать, никакого следа в поэзии он не оставит».
С древнейших времен известно, что математика учит правильно и последовательно мыслить, логически рассуждать. Кто занимается математикой, тот развивает свой ум и внимание, воспитывает волю и настойчивость. А эти качества нужны всем без исключения: и врачу, и артисту, и художнику, и писателю.
Данная работа еще раз с большой убедительностью подтверждает знаменитую истину, что математика не признает упрощенного подхода, основанного на фантазии и правдоподобности, и является «царицей всех наук».
Использованная литература:
1.Белинский В.Г. Стихотворения М.Лермонтова [текст] / Белинский – М.: Художественная литература, 1970.
2.Виленкин Н.Л. За страницами учебника математики [Текст] / Н.Л. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 1996
3.Кассиль Л.А. Кондуит и Швамбрания [текст] / Л.А Кассиль – М.: Детская литература, 1997- 590 с.
4.Лагин, Л.И. Старик Хоттабыч [текст]: повесть – сказка / Л.И Лагин – М.: Детская литература, 1990 – 350 с.
5.Перельман Я.И. Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел [текст] / Я.И Перельман. – Русанова,1994.
6. Перельман Я.И. Занимательная геометрия [текст] / Я.И Перельман. – Екатеринбург: Тезис, 1994-2008 с .
7.Пушкин А.С. Маленькие трагедии [текст] / А. С Пушкин.- М.: Детская литература, 1997 – 126 с.
8.Шикин Г.Е. Гуманитариям по математике [Текст] / Г.Е. Шикина, Е.В. Шикина – М: УРСС, 2001.
Приложение.
ЗАДАЧИ из литературных произведений.
1.«Кондуит и Швамбрания»
Из двух городов выезжают в одном направлении два путешественника, первый позади второго. Проехав число дней, равное сумме верст, проезжаемых ими в день они съезжаются и узнают, что второй проехал 525 верст. Расстояние между городами – 175 верст. Сколько верст в день проезжает каждый?
2.«Похождения бравого солдата Швейка»
Стоит четырехэтажный дом, на каждом этаже по восемь окон, на крыше - два слуховых и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. И теперь скажите, в каком году умерла бабушка швейцара? Эту задачу предложил солдат Швейк в литературном произведении Я.Гашека «Похождения бравого Швейка». Задача кажется сродни с пословицей «в огороде бузина, а Киеве дядька». Швейк рассказал свою задачу в 1914 году. Год кончины равен произведению общего числа этого дома на число труб и возраста одного из квартирантов лично присутствовавшего на похоронах. Итак, в каком же году умерла у швейцара бабушка?
3. Смышленые белошвейки.
В романе Д. Свифта «Путешествие в Лилипутию» упоминается оригинальный способ, с помощью которого белошвейки сняли с Гулливера мерки, чтобы сшить по ним белье:
«Они смерили большой палец руки и этим ограничились; посредством математического расчета, основанного на том, что окружность кисти вдвое больше длины пальца, окружность шеи вдвое больше окружности кисти, а окружность талии вдвое больше окружности шеи, и при помощи старой моей рубахи, которую я разостлал на земле перед ними как образец, они сшили мне белье вполне по росту».
Описанный способ, будучи бесспорным свидетельством смышлености лилипутов и их познания в области математики, вполне применим на практике. Указанное соотношение размеров перечисленных частей тела человека весьма близко к действительному, А длина большого пальца руки Гулливера справедлива была выбрана белошвейками в качестве единицы измерения. К тому же, этот способ чрезвычайно прост, и требует снятия всего одной мерки!
4. «Прощайте ноги!»
Алиса откусила кусочек и вскоре съела весь пирожок.
«-Все страньше и страньше! – вскричала Алиса. От изумления она совсем забыла как нужно говорить.- Я теперь раздвигаюсь, словно подзорная труба. Прощайте, ноги!
(В эту минуту она как раз взглянула на свои ноги и увидела, как стремительно они уносятся вниз. Еще мгновение и они скроются из виду.)
-Бедные мои ножки! Кто же теперь будет их обувать? Кто натянет на вас чулки и башмаки? Мне же до вас, как милые, теперь не достать. Мы будем так далеко друг от друга что мне будет совсем не до вас…Придется вам обходится без меня.»
Насколько обоснованы опасения девочки?