XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение функциональных уравнений с применением теории групп и методом сдвига аргумента
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Огромную часть школьной программы по математике составляет материал, связанный с уравнениями. Есть много уравнений, которые считаются для учащихся задачами повышенной сложности. Во время подготовки к олимпиаде по математике я столкнулась с функциональными уравнениями.
Что же такое функциональные уравнения? Какие методы решения функциональных уравнений существуют? Данные вопросы заинтересовали меня, и я решила провести исследование.
Актуальность работы заключается в том, что эта тема в школьном курсе математики не изучается в виду её сложности, а на олимпиадах встречается достаточно часто.
Как известно, в математике, больше всего ценится не просто верное, но и наиболее короткое из возможных, более рациональное решение. Применение метода сдвига аргумента и решение функциональных уравнений с применением теории групп расширит математические возможности, будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданиями более высокого уровня сложности.
Цель работы - выяснить, что является функциональным уравнением, рассмотреть методы решения и научиться применять их на практике.
Задачи исследования:
1. Проанализировать учебную и методическую литературу;
2. Поиск методов решения функциональных уравнений;
3.Применение полученных знаний при решении функциональных уравнений.
Объектом нашего исследования являются различные олимпиадные функциональные уравнения.
А предмет исследования - методы решения функциональных уравнений.
Методы изучения :
Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы;
Исследовательский метод при решении функциональных уравнений;
Практический метод решения функциональных уравнений.
Практическая значимость работы состоит в том, что в рамках данной темы рассмотрены методы решения уравнений повышенной сложности; приведены примеры уравнений, решенных методом сдвига аргумента и при помощи теории групп.
ГЛАВА 1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). [1]
Решить функциональное уравнение — значит, найти неизвестную функцию, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно обращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все). [1]
Соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют потому, что неизвестные функции — искомые. [1]
Рассмотрим несколько методов, помогающие найти решения таких уравнений.
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАНЕНИЙ
2.1 Решение функциональных уравнений методом сдвига аргумента
2.1.1 Теоретическая часть
На сегодняшний день тема «Функциональные уравнения» является неотъемлемой частью любого курса по «олимпиадной» математике.
Во-первых, эта тема по большому счёту «оторвана» от реальной практики. Скорее, это как раз то, что можно назвать «математикой для математики». Функциональные уравнения в своё время использовали, например, Д’Аламбер (для обоснования закона сложения сил) и Лобачевский (для выведения формулы угла параллельности в неевклидовой геометрии). [2]
Во-вторых, тема тесно связана с высшей математикой. Некоторые функциональные уравнения невозможно решить без предельного анализа, знания дифференциальных уравнений и т.п. [2]
В-третьих, здесь в отличие от многих других разделов «олимпиадной» математики есть достаточно чётко очерченный круг применяемых приёмов и методов. Так, в настоящее время для решения функциональных уравнений в элементарной математике широко применяются два метода: замена переменной и метод частных значений. [2]
Ни в одном источнике не выделяется метод, о котором пойдёт речь. В некотором смысле метод «сдвига» аргумента можно считать частным случаем метода замены переменной, однако ему присущи некоторые отличительные особенности. [2]
Метод «сдвига» можно было считать только одним из специфических приёмов решения уравнений с функциями, но он встречается не в одной и не в двух задачах на соревнованиях различного уровня, причём на протяжении всего пути исторического развития математической мысли. Именно поэтому возникает необходимость его выделения и обобщения. [2]
Предпосылками применения метода сдвига аргумента являются следующие ситуации:
а) в правой части функционального уравнения находится константа, которая никак не изменится при операции сдвига;
б) левая часть представляет собой некоторую комбинацию значений одной и той же функции, только с разными аргументами (которые, в свою очередь, отличаются на постоянную величину);
в) сдвиг осуществляется таким образом, что один из наличествующих аргументов «переходит» в другой. [2]
2.1.2 Практическая часть
Рассмотрим алгоритм применения описанного метода на конкретных примерах.
Пример 1. 8x+2
Решение.
,
, ,
.
Ответ:
Пример 2.
Решение.
,
, , .
Ответ: .
Пример 3.
2.2 Решение функциональных уравнений с применением теории групп
2.2.1 Теоретическая часть
В уравнении
под знаком неизвестной функции f(x) стоят функции g1 = х и g2 = а - х.
В результате замены х на а - х получено еще одно уравнение, содержащее те же функции f (х) и f (а - х). Функции g1 и g2 образуют группу относительно композиции функций. Понятие группы позволяет в ряде случаев выбрать целесообразные подстановки для решения функциональных уравнений. [3]
Пусть в функциональном уравнении
выражения f0(x) = x, f1(x), …, fn-1(x), стоящие под знаком неизвестной функции g (x), являются элементами конечной группы порядка n относительно композиции функций. Коэффициенты данного уравнения а0, а1 ..., аn-1, b в общем случае зависят от x. Некоторые из них могут равняться 0. Предположим, что уравнение имеет решение. Заменим х на f1(x). Эта замена равносильна умножению справа всех элементов группы f1. В результате последовательность функций f0, f1, …, fn-1 перейдет в последовательность , состоящую из всех элементов группы. [3]
Произведенная замена перевела уравнение -линейное относительно неизвестных g(f0), g(f1), …,g(fn-1) - в новое линейное уравнение относительно тех же неизвестных. Заменяя далее x → f2(x), x → f3(x),…, x → fn(x) получим систему n линейных уравнений с n неизвестными. [3]
Решая эту систему, находим неизвестную функцию g(f0) = g(x), если, конечно, система имеет решение. Непосредственной проверкой следует убедиться, что полученная функция удовлетворяет исходному уравнению. Рассмотренный метод ограничивает область определения функции, так как приходится отбрасывать те значения аргумента, при которых элементы группы не имеют смысла. [3]
2.2.2 Практическая часть
Пример 1.
Решение.
Ответ: .
Пример 2.
Решение.
Ответ:
Пример 3.
Решение.
Ответ: f(x)=2012-2012x
Пример 4.
Решение.
Ответ:
Пример 5.
Решение.
Ответ:
Пример 6.
Решение.
Ответ: f(x)=
Пример 7.
Решение.
Ответ:
Пример 8.
Решение.
Ответ:
Пример 9.
Решение.
Ответ:
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Целью данной работы было выяснить, что является функциональным уравнением, рассмотреть методы решения и научиться применять их на практике. В результате проведенных исследований я пришла к выводу, что выделение метода сдвига аргумента и решение функциональных уравнений с применением теории групп позволяет более глубоко понять теорию функциональных уравнений и помогает эффективно решать данные уравнения.
Ведь решение отдельных функциональных уравнений требует достаточно глубокого понимания предмета и прививает любовь к самостоятельной творческой работе, развивает интуицию, логику мышления, прививает навыки дедуктивного мышления, развивает творческие исследовательские способности.
Вопросы, рассмотренные в работе, не только расширяют кругозор, но и
несут обучающую функцию, так как на олимпиадах такие задачи встречаются достаточно часто, что только подчеркивает значимость выбранной темы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Функциональные уравнения [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://vuzlit.ru/875013/ponyatie_funktsionalnogo_uravneniya
Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения
Ефремов А.А. Могилёвский государственный областной институт развития образования, Беларусь. Решение функциональных уравнений методом сдвига аргумента[Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.rusnauka.com/19_AND_2012/Matemathics/1_113932.doc.htm
3. Решение функциональных уравнений с применением теории групп [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://studopedia.ru/12_66808_reshenie-funktsionalnih-uravneniy-s-primeneniem-teorii-grupp.html