XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Буриданова точка
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Однажды мы долго не могли сделать выбор, куда ехать отдыхать. У мамы с папой уже через несколько дней начинался отпуск, а они никак не могли определиться с местом отдыха. Бабушка сказала: «Ребята, не будьте буридановыми ослами». Мне стало смешно, а потом я решила прочитать о «буридановых ослах». Это крылатое выражение появилось в 14 веке. На философском факультете в Сорбонне читал лекции Жан Буридан. Он рассказывал притчу о том, как осёл, стоя между двух совершенно одинаковых стогов сена, не мог сделать выбор. Конечно, эта притча о трудном выборе между равными возможностями. Но может быть из такого положения можно извлечь и пользу? Например, если мы наблюдаем за двумя объектами, то было бы очень полезно оказаться в такой точке, где обзор этих объектов одинаково хорош.
Я люблю ходить по туристическим маршрутам. Часто бываю на реке Ай, а там есть два острова.
На берегу мне захотелось найти место для привала так, чтобы эти острова были видны из выбранной точки под одинаковым углом. Применяю метод аппроксимации: если представить себе острова круглыми, то получается такая геометрическая задача: найдётся ли на заданной прямой (на берегу) точка, из которой два разных круга видны под одинаковыми углами? Назовём эту точку буридановой точкой.
Цель: отыскание точки на прямой, из которой два круга видны под одинаковыми углами.
Задачи:
составить математическую модель для исследования;
построить модель задачи в среде GeoGebra и провести компьютерные эксперименты;
провести анализ полученных данных и сделать выводы.
сформулировать и доказать утверждения, полученные при наблюдениях в ходе экспериментов.
Объект исследования – окружности, касательные, углы между касательными.
Предмет исследования - зависимости величин углов между касательными от расположения общей точки касательных.
Гипотеза: существует одна точка на заданной прямой, из которой два круга видны под равными углами.
Методы исследования: изучение литературы, аппроксимация, моделирование, эксперимент, анализ и синтез.
1. Теоретическая часть
Используемые теоретические положения
Угол, под которым виден круг из данной точки, - это угол, образованный двумя касательными, проведёнными из данной точки к окружности этого круга.
С войство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Признак касательной. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащего на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Свойство отрезков касательных к окружности, проведённых из одной точки. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Определение. Серединный перпендикуляр к отрезку - это прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно к нему
Свойство серединного перпендикуляра.
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
Свойство биссектрисы угла.
К аждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
2. Практическая часть
2.1. Динамические апплеты
Компьютерная среда GeoGebra позволяет создавать небольшие программы – динамические апплеты (динамические модели). Динамические модели позволяют наблюдать и анализировать изменения объекта, измерять углы и расстояния. В данном случае - при продвижении стартовой точки Х, стремящейся занять оптимальное положение (буриданова точка) измеряются углы между касательными, проведёнными к двум окружностям, что даёт возможность проверить гипотезу и определить оптимальное положение точки.
2.2. Компьютерные эксперименты
2.2.1. Две окружности и точка на серединном перпендикуляре
Для начала упростим задачу: построим две равные окружности. Соединим их центры отрезком, найдём его середину. Известно, что множество точек, равноудалённых от двух данных точек – центров окружностей – это серединный перпендикуляр отрезка, соединяющего эти две точки. Предположим, что буриданова точка принадлежит этому серединному перпендикуляру.
Построим серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему центры, и произвольную точку Х на нём. Из этой точки построим касательные к каждой окружности. Измерив углы между касательными к каждой окружности, убеждаемся, что они равны.
2.2.2. Две равные окружности и точка на произвольной прямой
Возьмём снова две равные окружности. Построим произвольную прямую р и точку Х на ней. Из точки Х проведём касательные к каждой окружности. Измерим углы между касательными к каждой окружности и, перемещая точку Х по прямой р, проверим, в каком случае эти углы равны, а в каком не равны.
Передвигая точку Х, получаем, что оптимальное положение она занимает в точке пересечения прямой р и серединного перпендикуляра.
2.2.3. Две окружности разных радиусов
Рассмотрим теперь окружности разных радиусов и проверим, верны ли полученные выводы для этого случая. Двигая точку Х по прямой р, замечаем, что оптимальное положение она занимает находясь не на серединном перпендикуляре.
Можно предположить, что эта точка принадлежит биссектрисе угла между лучами, проходящими через точку Х и центры окружностей, тем более, что в предыдущих экспериментах такая биссектриса совпадала с серединным перпендикуляром.
Для проверки построим такую биссектрису: при движении точки Х по прямой р эта биссектриса не влияет на величину углов между касательными. Проведём ещё две биссектрисы для каждого из углов между внутренними касательными окружностей и внешними касательными. Оптимальное положение точки Х достигается только, если она принадлежит лучу, в котором все три биссектрисы совпадают одновременно.
2.3. Итоги экспериментов. Утверждение
Наблюдения в ходе экспериментов позволяют сформулировать и доказать следующее утверждение:
Пусть дана прямая р и две окружности разных радиусов, точка . Углы, под которыми видны обе окружности из точки Х, равны, если совпадают биссектрисы трёх углов: между лучами, проходящими через центры этих окружностей, между внутренними касательными к окружностям и между внешними касательными к окружностям.
Доказательство.
По условию . Тогда
. То есть .
При этом равенство углов АХВ и CXD равносильно равенству , так как и - биссектрисы углов АХВ и CXD. И тогда подобны треугольники О1ХВ и О2ХС по углам. Значит, . Но если изменить положение точки Х, то равенство отношений нарушится, так как знаменатели не изменятся (радиусы окружностей), а числители изменятся. Тогда не будет и подобия, то есть равенства . Значит, положение точки Х, при котором совпадают три биссектрисы углов, единственно, что и требовалось доказать.
Заключение
В результате проделанной работы:
составлена математическая модель исследования,
построена модель задачи в среде GeoGebra и проведены компьютерные эксперименты с помощью динамических апплетов;
проверена выдвинутая гипотеза,
проведено доказательство полученного факта.
Экспериментально подтвердилась гипотеза, что существует одна точка на заданной прямой, из которой два круга видны под равными углами. Определено положение этой точки.
Полученный результат может быть использован при ландшафтном проектировании для определения оптимального места расположения беседок, скамеек и т. д.
Проделанная работа ещё раз показывает, как математика помогает решать практические задачи. А изучать геометрию полезно и интересно!
Литература
Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.]. – М.: Просвещение, 2018. – 383 с.
Иванов С.Г. Исследовательские и проектные задания по планиметрии с использованием среды “Живая математика» / С.Г. Иванов, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2013. – 144 с.
Смирнова Е.С. Планиметрия: виды задач и методы их решений: Элективный курс для учащихся 9 - 11 классов /Е.С. Смирнова. - М.: МЦНМО, 2016. - 416 с.