XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Многогранники
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
1.Введение Многогранники , это одна из основных тем в изучении геометрии в 10 классе. Мы учимся строить эти фигуры, решаем задачи и доказываем теоремы .Но мало кто знает что правильные многогранники находят свое место и в нашей повседневной жизни .
В детстве мы играем с деревянными кубиками ,далее изучаем их на уроках геометрии, некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа, так же есть правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники которые называются Платоновыми телами . Все Платоновы тела встречаются в природе: тетраэдр, куб и октаэдр — как элементарные формы кристаллов, а икосаэдр и додэкаэдр — квазикристаллов; форму икосаэдра и додэкаэдра имеют также некоторые вирусы. Платон, а за ним и многие другие мыслители, включая Кеплера, связывали Платоновы тела с «элементами всего сущего»: тетраэдр — с огнем, куб — с землей, октаэдр — с воздухом, икосаэдр — с водой и додэкаэдр — с космосом.
Многогранник — это тело, ограниченное конечным числом плоскостей. Эти плоскости, пересекаясь, образуют грани многогранника — многоугольники. Стороны этих многоугольников называются рёбрами многогранника, а концы рёбер — его вершинами. В форме этих фигур в мире можно заметить множество различных памятников и архитектурных строений.
1.1.Актуальность
Курс геометрии за 10-11 класс не может вместить в себя все особенности и примечания из-за ограниченного срока. Но считаю что тему правильных многогранников стоит изучить чуть подробнее, но так же считаю эту тему очень интересной для самостоятельного изучения и расширения кругозора.
1.2.Цель проекта
Построение модели всех правильных многогранников .
1.3.Задачи проекта
1. Изучение теории Платоновых тел.
2..Изучение правильного построения многогранников .
3. Явление многогранников в природе
4. Построение правильных многогранников .
2.Теоретическая часть
2.1.Платоновы тела. Платоновы многогранники
Именем Древнегреческого ученого - Платона названа группа из пяти геометрических тел. Пять многогранников, которые математики называют - правильные, мы чаще всего в обычной речи называем - Платоновы тела
Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида.
Платоновы тела:
Тетраэдр гексаэдр или куб октаэдр
Икосаэдр додекаэдр
Начнем изучение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники. Первый из них – это тетраэдр (Рис.1). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.
Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром (Рис.3). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр.
Если соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр (Рис.4).
Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (Рис. 2).
Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона. Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (Рис.5).
Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим поверхность, то есть из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.
2.2.Построение правильных многогранников
Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число сторон грани m, число граней, сходящихся в каждой вершине, m, число граней Г, число вершин В, число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу
В — Р + Г = 2,
связывающего числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника.
|
Многогранник |
Число сторон грани, m |
Число граней, сходящихся в вершине, n |
Число граней Г |
Число вершин В |
Число ребер Р |
Число плоских углов на поверхности У |
|
Тетраэдр |
3 |
3 |
4 |
4 |
6 |
12 |
|
Гексаэдр |
4 |
3 |
6 |
8 |
12 |
24 |
|
Гексаэдр |
3 |
4 |
8 |
6 |
12 |
24 |
|
Икосаэдр |
3 |
5 |
20 |
12 |
30 |
60 |
|
Додекаэдр |
5 |
3 |
12 |
20 |
30 |
60 |
2.3.Явление многогранников в природе
Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды.
Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.
Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр — Воду, так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб — Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр — Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», «Космос», символизировал все мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания.
Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь. Атомы «стихий» настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомним, что консонансом называется приятное созвучие. В связи с этими телами уместно будет сказать, что такая система элементов, включавшая четыре элемента — землю, воду, воздух и огонь, — была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества — твердым, жидким, газообразным и плазменным.
В современном мире правильные многогранники можно найти и в работах современных архитекторов и творческих людей.
Памятник голове-кубу (Франция)
(Куб)
В Ницце имеется памятник голове-кубу: у скульптуры есть и шея, и подбородок, и нижняя губа, а выше у нее куб. Памятник является настоящим домом, с комнатами, стенами, потолками и окнами. В этом здании находится администрация местной библиотеки.
Памятник – куб (Тверской бульвар,Москва)
(куб) Памятник – куб в память о революционных событиях 1905 и 1917 годов
Город Мирный Архангельская Область
(додекаэдр)
( Тетраэдр)
Стеклянная пирамида Лувра в Париже также имеет форму тетраэдра.
(додекаэдр)
Здание национальной библиотеки в Минске имеет форму додекаэдра.
3.Практическая часть
Создание моде каждого многогранника я начинала с чертежа развертки .
1.Тетраэдр
Тетраэдр состоит из четырех правильных треугольников с соединёнными гранями. Сторону каждого правильного треугольника я сделала размером 20 см + припуски для склеивания .
Перевожу развертку на плотный картон и вырезаю с помощь резака.
Провожу четкие линии сгиба и собираю фигуру
2. Гексаэдр или куб
Куб состоит из 6 квадратов с соединёнными гранями . Сторону каждого квадрата я сделала размером 10 см + припуски для склеивания .
Перевожу развертку на плотный картон и вырезаю с помощь резака. Так как масштаб фигуры получается больше размера листа ,то фигура собирается из двух отдельных фрагментов ,склеенных на картоне.
Склеиваю два фрагмента фигуры, провожу четкие линии сгиба и собираю фигуру
3. Октаэдр
Октаэдр состоит из двух пирамид с соединёнными основаниями . Сторону каждого правильного треугольника(всего 8шт) я сделала размером 10 см + припуски для склеивания .
Перевожу развертку на плотный картон и вырезаю с помощь резака.
Провожу четкие линии сгиба и собираю фигуру
4. Икосаэдр
Икосаэдр состоит из 30 правильных треугольников с соединёнными гранями. Сторону каждого правильного треугольника я сделала размером 10 см + припуски для склеивания .
Перевожу развертку на плотный картон и вырезаю с помощь резака.
Провожу четкие линии сгиба и собираю фигуру
5.Додекаэдр
Додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников с соединёнными гранями. Сторону каждого правильного пятиугольника я сделала размером 10 см + припуски для склеивания .
Перевожу развертку на плотный картон и вырезаю с помощь резака. Так как масштаб фигуры получается больше размера листа ,то фигура собирается из двух отдельных фрагментов ,склеенных на картоне.
Склеиваю два фрагмента фигуры, провожу четкие линии сгиба и собираю фигуру
4.Вывод
В ходе реализации проекта я изучила много теории по теме «Многогранники», выявлены особенности правильных многогранников ,изготовлены чертежи и развертки, модели правильных многогранников-«Платоновых тел»
Теория многогранников – один из увлекательных и масштабных разделов математики . В данном проекте была представлена малая часть теории по этой теме.
Многогранники присутствуют в нашей жизни буквально во всем. Благодаря многогранникам ,которые можно заметить в жизни, искусстве, архитектуре, открываются не только удивительные свойства этих фигур, но и прекрасное отражение математики- царицы всех наук в природе.
Подойдя к итогу , я считаю поставленную цель достигнутой, проблему решенной. Я познакомилась с новым математическим разделом , и попыталась изложить всю привлекательность темы в моем проекте.
Список литературы
1. Платоновы тела https://dzen.ru/media/philosophy_for_life/platonovy-tela-5a84059258166953c4b8dc1b
2. Платоновы тела. Платоновы многогранники https://mnogogranniki.ru/platonovy-tela.html
3.Учебник по геометрии10-11 класса базового и углубленного уровня Л.С.Анастасьян, В.Ф.Бутузов С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, Л.С.Киселева
4. Памятник числу пи и другие памятники физическим и математическим законам. https://moris-levran.livejournal.com/24074.html
5. Правильные многогранники в природе https://studopedia.ru/26_46644_pravilnie-mnogogranniki-v-prirode.html
6. Выпуклый многогранник https://ru.wikipedia.org/wiki/Выпуклый_многогранник
7. Классификация многогранников https://lektsii.org/2-85772.html