XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Методы решения задач с параметром
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной части задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая своё значение.» (Толковый словарь русского языка под редакцией Д.Н. Ушакова.)
В курсе школьной алгебры мы сталкиваемся с одним интересным видом задач, в котором вместо записи «решите уравнение» мы встречаем «для каждого значения а найдите решение». Такие задачи называются задачами с параметром.
Из чисто практического интереса в перспективе будущих экзаменов нас заинтересовала эта тема. Известно, что задачи с параметром считаются наиболее трудными. Это связано, видимо, с тем, что для их решения требуются не только формулы, используемые в обычных задачах, но и исследовательские навыки, применяемые для трезвой оценки условия и нахождения наиболее рационального решения. В ходе работы мы использовали различные материалы и источники: от нашего школьного учебника до различных справочников, курсов по подготовке к экзаменам и интернет ресурсов.
Таким образом, на создание данной работы нас мотивировало несколько факторов:
Такой вид задач встречается во всех современных вариантах ЕГЭ по профильной математике, а значит является более чем актуальным для нас.
В школьной программе не уделяется достаточно времени изучению данного материала, так как он редок в большинстве книг и пособий. Поэтому нам пришлось многие примеры и даже некоторые способы решения искать самостоятельно, а также под чутким руководством нашего преподавателя.
Решение подобных задач помогает рассмотреть «проблему» со всех сторон, найти наиболее рациональный подход к решению, а развитие таких навыков несомненно пригодится каждому из нас в будущем.
Написав работу на данную тему, мы также хотели бы зародить искру интереса к математике в других ребятах, ведь математика – чрезвычайно интересная и полезная в жизни наука.
Цели нашего проекта;
Более глубоко подготовится к ЕГЭ по математике
Выяснить способы решения параметрических уравнений
Научится решать задачи с параметром
Ликвидировать пробелы по некоторым разделам математики
Наши задачи:
Научиться решать линейные и квадратные уравнения с параметром
Разобрать возможные способы решения данных уравнений
Изучить методы решений параметрических уравнений
Разработать некоторые методы решений
Задачи с параметром.
Аналитический метод решения
Метод с использованием графических иллюстраций
Метод оценки обеих частей уравнения неравенства
Использование симметрии аналитических выражений
Аналитический метод
№1 Решите уравнение для каждого значения параметра а
1) Если
Ответ: Если
№2 Для каждого значения параметра а решите уравнение:
№4 Решить уравнение для каждого значения параметра a:
Решение:
Использование графических иллюстраций в задачах с параметром.
№1 Найдите значение а, при которых система имеет ровно 4 решения (см. приложение рис.1)
Решение:
① 1)
2) – в I четверти
3)
Отберем
Построим в I четверти относительно координатных осей
②
Если a<0, то решений нет; Если а=0, то (0;0),
Если а>0, то получаем уравнение окружности с центром в т. (0;0) и радиусом (окружность (0;0); )
Система будет иметь ровно 4 решения тогда и только тогда, когда графики 1 и 2-ого уравнений будут иметь 4 общие точки.
В случае II: r=2, ; В случае III r=4
В случае I: AB= ; r= = =
Окружность(I) вписана в квадрат
Диагональ квадрата: BD=
Ответ:
№2 Найдите все значения параметра , при которых ур-е имеет хотя бы одно решение.
Пусть
;
Данное уравнение будет иметь хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда уравнение будет иметь хотя бы одно решение на отрезке .
Рассмотрим случай, когда оба корня попадают в промежуток (см приложение рис.2)
Только 1 корень лежит в промежутке от –1 до 1(приложение рис.3)
или
; ;
Ответ:
3.Использование симметрии аналитических выражений
В каждой задаче, которую можно решить этим методом обязательно имеется аналитическое выражение, геометрический образ, которой имеет или ось симметрии, или центр симметрии, или плоскость симметрии.
;
Мы видим, что если поменять местами, то уравнения остаются прежними.
Во всех таких задачах той или иной формы присутствует требование единства решения.
№1 Найдите все значения параметра , при каждом из α уравнение
Имеет единственное решение.
Решение:
Если – решение уравнения, то – решение уравнения.
Чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы , т.е. число 0 являлось корнем данного уравнения.
При
Данное уравнение имеет единственное решение при и
Ответ: 3; –1
4.Метод оценки значений выражений (ограниченность)
№1 Найдите все значения параметра , для каждого из и , удовлетворяющая неравенству:
5
Решение:
Оценим правую часть:
Оценим левую часть:
Если , то
При любом раскрытии знаков модуля является линейной возрастающей функцией
Если , то при любом раскрытии знаков модуля является линейной убывающей функцией (см. приложение рис. 4).
Наименьшие значение этой функции –
Мы видим, что неравенство имеет хотя бы одно решение, если
Ответ: при всех данное неравенство имеет хотя бы одно решение.
5.Исследование квадратного трехчлена в задачах с параметром
№1 При каких “a” уравнение: имеет корни, принадлежащие интервалу (-2;0).
Решение:
Если , т.е. , то уравнение примет вид:
(
Пусть: 2а-2<0
Рассмотрим функцию - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вниз (см. приложение рис. 5)
-неверно система не имеет решений
Пусть
Рассмотрим функцию квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вверх (см. приложение рис.6)
Решим по группам:
a
-1 1
; ;
Таким образом:
-1 1,5
Ответ:
№2 При каких значениях “a” уравнение имеет хотя бы одно решение:
Решение:
Пусть
(1)
; ;
Уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если уравнение (1) будет иметь хотя бы одно решение на промежутке .
-слишком сложные вычисления
Рассмотрим графический способ (альтернативно).
Рассмотрим функцию
Оба корня лежат в промежутке (см. приложение рис.7)
Система не имеет решений.
Только один корень лежит в промежутке
(см. приложение рис. 8,9)
и имеют разные знаки
То есть: ; ;
Ответ: [6 ; + )
6.Рассмотрим различные примеры решений задач с параметрами
№1 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения
| |+|x+1|+
Решение
Проведём замену:
| |+| |+ =
Если - решение данного уравнения, то так же решение уравнения. Чтобы уравнение имело ед. решение необходимо, чтобы
Т.е.
Подставим в уравнение, получим:
| |+ =0,25 +
,
+1) = 0
Обратная замена:
;
Необходимое условие:
Подставим в уравнение (1):
| |+| |+ =| |+| |+ =
| |+| |+ =
При a=1 уравнение (1), а, следовательно, и исходное уравнение имеет единственное решение
Ответ:
№2При каких значениях a система:
Имеет хотя бы одно решение?
Решение: Если a=0, то система имеет решение, т.к. любая пара чисел, удовлетворяющая условию * , является решением системы.
Например: ; );
Пусть Разделим первое уравнение на второе; получим:
Подставим вместо y во второе уравнение системы
= (*)
Оценим левую часть
Уравнение (*) будет иметь решение при всех а, удовлетворяющим условию:
;
+ - + - +
-1 1
: ( ;-1)
№4 Найдите все положительные значения параметра , при которых система уравнений.
имеет единственное решение.
Решение:
Построим график уравнений (см. приложение рис.10):
①
– окружность
②
Уравнение окружности
Система имеет некоторые решения если окружность располагается так, как показано на чертеже.
;;
Ответ:
Использование графических иллюстраций
№1 Для каждого значения параметра решите неравенство:
Изобразим множество решений неравенства в системе (см. приложение рис.11)
Решение:
Рассмотрим:
Если , то решений нет
Если
Если
Ответ:
Если , то решений нет
Если
Если
№2 Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:
имеет хотя бы одно решение.
Решение:
Построим линии в системе (см. приложение рис.12):
При каком значении a является касательной к
Уравнение касательной:
; ;
Уравнение касательной:
При каком значении a y=-x+a является касательной к y = 3 –
Ответ: При всех a принадлежит [ ; ]
2 способ: (без уравнения касательной)
3- = x-a - – x + (a+3) = 0 + X + (-a - 3) = 0
a= - работает только для квадратных функций
№3 При каком значении параметра а система неравенств:
Имеет единственное решение по отрезке [3;4]
Решение:
1)Построим заданные области в системе координат (см. приложение рис.13)
2) Найдём ординаты точек
Ответ при a = и a = система имеет единственное решение на отрезке [3;4]
№4 Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений:
имеет более двух решений:
Решение:
Упростим систему уравнений (см. приложение рис. 14)
или
A(5;0), B(3;-4)
0 = * 5 + -4 = * 3 +
a = 5 a= -5
При OC||AB - накрест лежащие при параллельных прямых
ONC MAO (по двум углам)
= =
AM = = =
= ; N (0; - )
Ответ: система уравнений имеет более 2-ух решений при всех a (
7. Литература
1) В., Якир М./Вентана-Граф 2016 270 страниц.
2) Колесникова С.И. Решение задач с параметром. М.: Потенциал, 2014
3) Мерзляк А., Полонский В., Якир М. Алгебра 8 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций/ Вентана-Граф, 2019 – 256 с.
4) Черкасов О.Ю. и Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Рольф, 2000.
8. Заключение
Исследуя многочисленные источники в процессе создания этого проекта, мы поняли, что математика – сложная, но очень интересная наука. Нам представилась возможность выступить в роли исследователей и даже, в некотором смысле, учёных, которые анализируют старые методы и на их основе пытаются выдвинуть что-то новое, ещё не известное. В результате выполнения этой работы мы научились мыслить шире и выходить за рамки «школьных» шаблонов. Надеемся, что нам удалось в достаточной мере освоить навык (если это вообще возможно) решения задач с параметром. Такой навык поможет многим ребятам в успешном прохождении экзамена и развитии собственных математических способностей, поэтому искренне верим, что наша работа была действительно полезной для вас.
П
Рисунок 2
риложение 1
Р исунок 1
Рисунок 6
Рисунок 5
Рисунок 3
Рисунок 4
Рисунок 7
Рисунок 8
Рисунок 7
Рисунок 12
Рисунок 9
Рисунок 10
Рисунок 11
Рисунок 14
Рисунок 13
Приложение 2
(некоторые решения задач с параметром)
№1 Известно, что уравнение:
Решение:
Ответ: при
№2 При каком значении a сумма квадратов корень уравнения:
Решение:
(По теореме Виета)
Если
Ответ: 1; 1,4
№3 Найдите все значения параметра b при каждом из которых уравнение имеет единственное решение
Решение:
Если
решение данного уравнения.
Для того чтобы уравнение имело единственное решение необходимо, что
Подставим
Подставим в исходное уравнение:
Уравнение (1) равносильно системе:
– единственное решение данного уравнения при
Ответ: ,