XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Музыкальная математика или математическая музыка

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Севастьянова А.В. 1

---

1МБОУ г. Иркутска лицей №3

Жученя Н.Г. 1

---

1МБОУ г. Иркутска лицей №3

Работа в формате PDF

334.1 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Музыка – это самый красивый и многогранный вид искусства. В переводе с греческого «музыка» означает «искусство муз» [1]. У каждого искусства имеется свой язык: живопись говорит с людьми при помощи красок, цветов и линий, литература – при помощи слова, а музыка – с помощью звуков. Музыка - это источник вдохновения, прекрасная составляющая и неотъемлемая часть в жизни каждого человека. Потому что музыка – это искусство воспроизведения мыслей, чувств и ощущений в звуках, слагающееся из трех элементов: мелодии, гармонии и ритма [5].

Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.

Ранее я задавалась рядом вопросов, в числе которых: как музыка влияет на наше настроение? Почему определенные мелодии, структуры, ноты, сочетания, гармонии вызывают соответствующие им определенные чувства? Есть ли законы, описывающие этот процесс? Можно ли их описать математически?

Поэтому целью моего исследования является установление взаимосвязи между музыкой и математикой.

Для решения цели были поставлены следующие задачи:

1.Выяснить, были ли в истории попытки связать музыку с математикой.

2. Выявить общие элементы между звуками и числами;

3. Провести свои исследования по выявлению математических закономерностей в музыке.

Объект исследования - математика и музыка.

Предмет исследования — элементы математики в музыке.

Методы исследования: поисковый метод, изучение, описание, анализ, сравнение, размышление, обобщение.

Предполагаемые элементы новизны заключаются в том, что любое музыкальное произведение можно представить в виде математического, а математическое в виде музыкального.

Результаты данной работы могут быть полезны всем, кто занимается музыкальным искусством и всем кто увлекается математикой.

Исторические аспекты исследования

Первый, кто заговорил о связи математики и музыки был Пифагор. Он сделал открытие в области теории музыки. Суть это открытия состоит в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд - полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны. Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент.

Также, математика является вполне подходящим средством для описания музыкальных моделей. Пифагор, по распространенной версии, пытался свести всеобщую гармонию к числам. Например, канон Пифагора.

Названия тетрахордов указывают на соответствующие области Греции и Малой Азии, каждая из которых пела в своем ладу. Конечно, четырех струн в пределах кварты было мало для ведения мелодии, поэтому тетрахорды соединялись. Так как октава состоит из двух кварт и тона; следовательно, в пределах октавы можно расположить два тетрахорда, разделенных интервалом в тон. Объединяя с помощью разделительного тона два одноименных тетрахорда, получили октаву, которую греки назвали «гармония». Именно в античной теории музыки слово «гармония» обрело свое современное значение – согласие разногласного. Таких основных видов гармонии по числу тетрахордов получилось три: дорийская: 1/2 – 1 – 1 – 1 – 1/2 — 1 – 1; фригийская: 1 – 1/2 — 1 – 1 – 1 – 1/2 – 1; лидийская: 1– 1 — 1/2. Здесь 1 обозначает тон, 1/2 — полутон. Эти античные гармонии сопоставимы с современными гаммами. В самом деле, каждый, знакомый с азами музыкальной грамоты, узнает в лидийской гармонии обычный натуральный мажор (2 тона – полутон, 3 тона – полутон, или на белых клавишах фортепиано до – ре – ми – фа – соль – ля – си – до). А в дорийской и фригийской – почти натуральный минор (т. к в сравнении с натуральным минором (1 – ½ — 1 – 1 – ½ — 1 – 1) у дорийской гаммы понижена вторая ступень, а у фригийской – повышена шестая).

Легко получить математическое выражение гаммы, зная размеры интервалов, образующих лидийскую гармонию и правила действия с ними. Приняв частоту нижнего тона за единицу f1=1, находим первый тетрахорд:

f1=1, f2=9/8, f3=9/8*9/8 = 81/64, f4=4/3. Второй тетрахорд получается сдвигом первого на квинту: f5=3/2f1=3/2, f63/2f2=27/16, f7=3/2f3=243/128, f8=3/2f4=2. Окончательно для интервальных коэффициентов имеем

1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

до ре ми фа соль ля си до

Это и есть канон Пифагора [3]

Успеха, доказывая связь математики и музыки, добился ученый и музыкант Андреас Веркмейстер, установивший равномерное отношение между тонами, с помощью математики ввел равномерный темперированный музыкальный строй, который мы и сегодня можем увидеть и услышать у современных клавишных инструментов. Темперация – музыкальная система, основанная на полном равенстве всех двенадцати полутонов октавы [2]. Благодаря темперации на клавесине, стало возможно играть в тональностях с любым количеством знаков. Бах доказал это своим сборником «Хорошо темперированный клавир», в котором представлены все двадцать четыре тональности; прелюдии и фуги расположены в порядке хроматической гаммы. Ф. Шопен, а позже А. Скрябин в своих сборниках прелюдий также расположили их во всех двадцати четырех тональностях, в порядке квинтового круга мажорных тональностей, с параллельным минором после каждой из них [4].

Связь музыки и математики

Математика (греч. – знание, наука). Математика – царица всех наук, символ мудрости. Красота математики является одним из связующих звеньев науки и искусства.

Музыка (греч. – искусство муз), значит искусство, отражающее действительность в звуковых, художественных образах.

Музыка математична, а математика музыкальна (рис.1).

Цифровые обозначения.

Как и в математике, в музыке встречаются цифры: звукоряд – 7 нот, нотный стан – 5 линеек. Интервалы: прима – 1, секунда – 2, терция – 3, кварта – 4, квинта – 5, секста – 6, септима – 7, октава – 8. Обозначения аппликатуры и размер произведения записывается тоже при помощи цифр и там и тут господствуют идея числа и отношения. Исходя из этого, можно провести следующие параллели.

Рисунок – 1 Цифровые обозначения в музыке

2. Ритм.

Ритм важнейший элемент в музыке. У каждого музыкального произведения свой ритмический рисунок (чередование нот разной длительности). Числа, оказывается, тоже обладают ритмом.

Например, числа кратные 3(трём) обладают следующим ритмом: Начнем с 0 и, увеличивая каждый раз на 1, будем акцентировать все числа, кратные 3. Получается 0 1 2 3 4 5 6 7 8…. и т.д. Получается красивый, правильный, равномерный ритм, звучащий как музыкальный размер 3/4, который соответствует вальсу.

Если посчитать числа, кратные двум 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 и т.д. то увидим, что мы пришли к ритму, звучащему, как музыкальный размер 2/4. Таким образом, числа обладают ритмом (рис. 2).

Рисунок 2 – Числовой ритм или ритмичные цифры

3. Наличие в музыке и математике противоположностей (табл.1).

Таблица – 1 Противоположности в музыке и математике

4. «Дроби».

В целой ноте – две половинки, четыре четвертных, восемь восьмых, 16 шестнадцатых. Значит, что длительности получаются так же, как и дроби: они появляются при делении целой на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать так же как дробные числа: 1/2, ¼, 1/8, 1/16 (рис. 3). Следовательно, названия длительностей служат одновременно и названиями чисел.

Рисунок - 3 Дроби в музыке.

5. Понятие параллельности.

Это – параллельные тональности (например, до мажор – ля минор), а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть, никогда не пересекаются.

Таким образом, я выделила 5 совпадений музыки с математикой, из чего можно сделать вывод, что занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности.

Исследования по выявлению математических закономерностей в музыке

Существует множество примеров, как использовать математические знания в музыке. Но я хотела бы остановиться на примере, как можно не зная музыки, при помощи математических вычислений написать музыкальное произведение. Это возможно при помощи цепи Маркова.

Получается, что каждое новое событие зависит только от предыдущего и не зависит от всех остальных до него. Цепи Маркова — это последовательность событий или действий, где каждое новое событие зависит только от предыдущего и не учитывает все остальные события

При помощи математики можно создать музыкальное произведение в стиле любого композитора. Для этого нужны цепи Маркова [6], например, чтобы создать мелодию в стиле известного музыкального произведения Вольфганга Амадея Моцарта «Колыбельная», всем известного как «Спи, моя радость, усни…».

Рисунок – 4 Ноты начала произведения «Колыбельная».

В таблице 2 показано, сколько раз каждая нота встречается в этой мелодии:

Таблица – 2 Количество нот

Может показаться, что если мы хотим написать мелодию в этом же стиле, в новой мелодии ноты должны располагаться в точно таком же соотношении. Но в действительности такая мелодия будет иметь мало общего с оригиналом.

Рисунок – 5 Расположение нот на нотном стане сообразно таблице 2

Вместо того чтобы анализировать, сколько раз в мелодии встречается каждая нота, с помощью цепей Маркова можно определить, в какой последовательности они располагаются. 14 нот мелодии упорядочены с помощью 12 переходов: первый переход си-до, второй — до-до и так далее. Максимально возможное число переходов равняется 6·6 = 36, но не все они используются в этой мелодии.

В таблице 3приведено число переходов каждого типа.

Таблица 3 – Число переходов

Даже если мы выберем первую ноту произвольным образом, следующие ноты будут выбраны в соответствии с информацией о числе переходов каждого типа, которая содержится в таблице 3.

Начнем новую мелодию с ноты до — с этой же ноты начинается оригинальная мелодия. Какие ноты могут следовать за начальным до? В последней строке таблицы показано, что в мелодии Колыбельная ноту, следующую за нотой до, можно выбрать двумя способами: один раз за ней следует до, второй раз ля. Обозначим каждый из этих переходов числом от 1 до 2 и выберем случайным образом число, лежащее в этом интервале, чтобы определить вторую ноту мелодии. Если выпадет 1, этой нотой будет до, если 2, то ля.

Повторим эти же действия для четырех возможных вариантов выбора ноты, следующей за до: си, до, до, и ре. Случайно выбранное число в интервале от 1 до 4 укажет третью ноту новой мелодии. Допустим, выпало число 2. Третьей нотой новой мелодии станет нота до. Эти действия повторяются требуемое число раз. Далее приведена мелодия, написанная с помощью этой техники:

Рисунок -6. Мелодия, написанная согласно цепям Маркова.

Заключение

В математике красота и гармония ведут за собой творческую мысль так же, как в музыке. Занимаясь музыкой, человек занимается математикой. Хороший математик - это всегда хороший музыкант, потому что логика чисел, с которой постоянно общаются математики, связана с логикой развития музыкальных фраз.

Принято считать, что "музыка идет от сердца", это нечто "духовное", "чувственное", что только чистый позыв творчества способен воздействовать на сознание и настроение. Но, как мы выяснили, у музыки есть четкие математические соотношения и закономерности. Они действую как вертикально (аккорды и созвучия в данный конкретный момент времени), так и горизонтально, то есть на протяжении какого-то времени (имеют ритм, размер, развитие). Многие музыканты составляли свои произведения, опираясь на математические модели и законы.

Это значит, что рациональность и логика способны влиять на бессознательное, вызывать эмоции. Этим вопросом задавались уже древние философы, которые видели в математике закономерности, универсальные для всего мироздания, в том числе и для музыки.

Главный вывод, который я сделала: связь музыки с математикой - одна из древнейших. В самом широком смысле можно сказать, что весь мир - это музыка, потому что музыка - это математика. На подчиненность музыкальных структур математическим законам люди обратили внимание не одно тысячелетие назад. Их исследования показали, что многие вопросы, связанные с природой музыки и ее воздействием на человека могут быть описаны языком математики.

Список литературы:

1. Дзен. yandex.ru [Электронный ресурс]. Статья: Музыка – часть нашей жизни. URL: Режим доступа:.https://zen.yandex.ru/

(https://zen.yandex.ru/media/id/5e5e676e3db6b34676256c5b/muzyka-chast-nashei-jizni-5e79d0b3def832242c9c108d) (дата обращения 04.11.2022)

2. Великие музыкальные имена. – СПб.: Композитор, 2000. – 192 с.

3. Волошинов А.В. Математика и искусство / А.В. Волошинов - Москва: Просвещение, 1992 - 335 с.

4. Музыкальная форма. – М.: Музыка, 1984. – 400 с.

5. Павленков Ф. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.- 2-е изд. — С.-Петербург: Типография Ю. Н. Эрлих, 1907. – 906 с.

6. G. Assayag, et al. (editores) / Mathematics and Music (2002) 114-118