XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Исследование расстояний на окружности в задаче Пола Эрдёша
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Многие школьники считают, что геометрия – сложный и ненужный предмет, и совершенно ни к чему доказывать то, что и так понятно. Но в окружающем нас мире есть такое явление, как иллюзии. Их можно встретить в разных сферах нашей жизни. Критически относиться к тому, что видишь и слышишь – очень важно в наше время. Умению наблюдать и проводить доказательные рассуждения, избавляясь от иллюзий, учит геометрия.
Одна из геометрических иллюзий рассмотрена в задаче, придуманной когда-то выдающимся венгерским математиком Полом Эрдёшем (1913 – 1996 гг.). Эта задача представляет интересную возможность провести исследование и доказать то, что кажется не таким, как есть на самом деле.
Цель: исследование расстояний на окружности в задаче Пола Эрдёша в зависимости от положения хорд.
Задачи:
Изучить биографию венгерского математика П. Эрдёша, рассмотреть одну из его задач.
Построить модель задачи в среде GeoGebra и провести компьютерные эксперименты.
Провести анализ полученных данных и сделать выводы.
Сформулировать и доказать утверждения, полученные при наблюдениях в ходе экспериментов.
Г еометрическая формулировка
Дана окружность с центром O. В ней проведена хорда AB, отличная от диаметра, и радиус OC, перпендикулярный этой хорде. Пусть D – точка пересечения радиуса OC и хорды AB. Точка X движется по большей дуге окружности. Из неё проведены 2 хорды: XK, проходящая через точку D, и XC. ПустьL– точка пересечения хорд XC и AB. Выясните, какой из отрезков длиннее: KD или LC.
Объект исследования – задача Пола Эрдёша.
Предмет исследования - зависимости расстояний между точками от их расположения на окружности
Гипотеза: отрезок KD длиннее отрезка LC.
Методы исследования: изучение литературы, моделирование, эксперимент, анализ и синтез.
1. Теоретическая часть
1.1. Историческая справка
Эту задачу придумал когда-то Пол Эрдёш (1913 - 1996) — венгерский математик, один из выдающихся математиков XX века. Он работал в самых разных областях математики: комбинаторика, теория графов, теория чисел, математический анализ, теория приближений, теория множеств и теория вероятностей. Лауреат множества математических наград, включая премию Вольфа (1983/1984), которая часто рассматривается как третья по престижности после премии Абеля и Филдса.
Пол Эрдёш оставил после себя обширное наследие, состоящее не только из множества замечательных решенных им проблем, но и из большого числа задач, которые он лишь сформулировал. У него была удивительная традиция – придумывать разные математические задачи, а затем предлагать их решить своим друзьям за вознаграждение. В 1974 году Эрдёш выплатил первую крупную сумму в $1000 венгерскому математику Эндре Семереди за задачу, выдвинутую Эрдёшем за несколько лет до этого. Десятилетия спустя Семереди получит Абелевскую премию, которую обычно называют «нобелевкой в математике», за работу, выросшую по большей части из решения той задачи Эрдёша.
Сегодня Рональд Грэхэм, известный американский математик и друг Пола Эрдёша, управляет небольшим фондом, оставленным Эрдёшем, чтобы честно выдавать обещанные призы. До сих пор остались задачи Эрдёша, ждущие решения.
Одной из придуманных Полом Эрдёшем задач является задача, представленная в этом проекте.
К сожалению задачи П. Эрдёша трудно найти на русском языке. О рассмотренной задаче можно найти информацию в книге С.Г. Иванова и В.И. Рыжика «Исследовательские и проектные задания по планиметрии с использованием среды «Живая математика».
1.2. Используемые теоретические положения
Определение. Центральный угол - это угол с вершиной в центре окружности.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:
О пределение. Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.
Теорема. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: .
О пределения.
Теорема синусов. Стороны треугольникапропорциональны синусам противолежащих углов: .
Некоторые формулы приведения:
Теорема о внешнем угле треугольника
В нешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
.
2. Практическая часть
2.1. Динамические апплеты
Компьютерная среда GeoGebra, так же, как и среда “Живая математика», позволяет создавать небольшие программы – динамические апплеты (динамические модели). Динамические модели позволяют наблюдать и анализировать изменения объекта, измерять расстояния между точками. В данном случае - при продвижении стартовой точки Х по дуге окружности измеряются расстояния DK и LC, что позволяет проверить гипотезу.
2.2. Компьютерные эксперименты
Сначала поставим точку X примерно посередине дуги между B и М.
LCнемного длиннее DK, однако на глаз это определить трудно.
2) Поставим точку X на дуге близко к точке М.
Тогда DK и LC будут почти равны.
3) Поставим точку X близко к B
Теперь отчётливо видно, что LC значительно длиннее DK.
4) Если хорда АВ стягивает малую дугу, то искомые отрезки будут стремиться к нулю.
5) Если хорда АВ расположена близко к центру окружности, то разница в длине отрезков становится более заметной.
6) Если через точку С провести касательную, параллельную хорде АВ, становится ясно, почему нас обманывает глазомер: при определённых условиях нам интуитивно кажется, что отрезок DK является отрезком DE.
Таким образом, наблюдения в ходе экспериментов показывают, что вопреки первоначальному впечатлению, LC > DK.
Гипотеза не подтвердилась, первоначальное впечатление оказалось иллюзией.
2.3. Итоги экспериментов. Доказательство полученного утверждения.
Наблюдения в ходе экспериментов позволяют сформулировать следующее утверждение:
Д ана окружность с центром O. В ней проведена хорда AB, отличная от диаметра, и радиус OC, перпендикулярный этой хорде. Пусть D – точка пересечения радиуса OC и хорды AB. Точка X движется по большей дуге окружности. Из неё проведены 2 хорды: XK, проходящая через точку D, и XC. Пусть L – точка пересечения хорд XC и AB.
Тогда KD < LC.
Доказательство
1) Проведём OK и KC.
Пусть .
, как внешний угол треугольника DLX.
, как угол при основании равнобедренного треугольника КОС.
Тогда
2) По теореме синусов в ΔKDC
.
3) В прямоугольном ΔCDL
. Значит, .
Так как α < 90°, cos α > 0.
Значит CL > KD, что и требовалось доказать.
Заключение
В результате проделанной работы:
изучены факты о жизни и деятельности удивительного математика ХХ века Пола Эрдёша;
рассмотрена одна из задач Пола Эрдёша как объект интересного исследования зависимостей расстояний между точками окружности;
созданы динамические апплеты;
с помощью апплетов проведены эксперименты и проверена выдвинутая гипотеза, обнаружены некоторые особенности и закономерности;
проведено доказательство полученного факта.
Гипотеза не подтвердилась. И этот факт ещё раз доказывает необходимость учиться доказательным рассуждениям, подвергая сомнению то, что мы видим. Геометрия как никакой другой школьный предмет учит строгим и обоснованным доказательным рассуждениям.
История жизни выдающегося математика П. Эрдёша вдохновляет изучать математику и историю математических открытий. Этот талантливый и щедрый человек был настоящим энтузиастом своего дела. Количество написанных им научных статей (около 1500), как и число соавторов этих статей, не имеет аналогов среди современных ему математиков. А задачи, составленные им, до сих пор волнуют умы математиков.
Литература
Волков М. В. Пол Эрдёш: необычная жизнь и необычайная математика // МИФ. — 1998—1999. — № 2.
Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.]. – М.: Просвещение, 2018. – 383 с.
Иванов С.Г. Исследовательские и проектные задания по планиметрии с использованием среды “Живая математика» / С.Г. Иванов, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2013. – 144 с.