XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Геометрия многоугольников Рело

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Резник В.А. 1

---

1МАОУ"Лицей № 37 г. Челябинска"

Рыбкина С.В. 1

---

1МАОУ"Лицей № 37 г. Челябинска"

Работа в формате PDF

241.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Актуальность темы. Самым ярким примером фигуры с постоянной шириной является окружность. Благодаря свойствам окружности человек смог создать колесо и мир в тот момент изменился навсегда. Круг присутствует в нашей жизни постоянно и уже не удивляет, но если присмотреться, то есть фигуры с теми же свойствами, что и окружность, но с другой формой. Самая знаменитая фигура - это треугольник Рело. В своем исследовании постараемся показать чем же необычны эти фигуры и какими обладают геометрическими свойствами.

Цель исследования: изучить фигуры постоянной ширины

Объект исследования: фигуры постоянной ширины.

Предмет исследования: свойства фигур постоянной ширины

Задачи исследования:

1. Изучить какие могут быть фигуры постоянной ширины и найти их объединяющее свойство.

2. Найти экстремальные свойства круга и треугольника Рело экспериментальным путем.

3. Найти периметры фигур постоянной ширины экспериментальным методом.

4. Провести исследование объектов, движущихся с помощью фигур постоянной ширины.

Методы исследования

1. Изучить какие могут быть фигуры постоянной ширины

- научная литература и познавательные фильмы.

2. Найти экстремальные свойства круга и треугольника Рело экспериментальным путем.

- сравнительный анализ объектов.

3. Найти периметр фигур постоянной ширины

- практическое измерение фигур.

4. Провести исследование объектов, движущихся с помощью тел постоянной ширины.

- экспериментальный опыт использования тел постоянной ширины.

Этапы исследования. На первом этапе производилось изучение литературных источников по данной проблеме, определялись цели, задачи, объекты, предметы.

На втором этапе проводилось собственное научное исследование, которое заключалось в изучении объединяющих свойств, определении площади и периметра фигур постоянной ширины, а также исследование движения объектов с помощью тел постоянной ширины.

На третьем, контрольно-обобщающем этапе проводилась обработка и интерпретация результатов исследования и оформлялась работа.

ВВЕДЕНИЕ

Окружность определяется как кривая, все точки которой отстоят на одно и то же расстояние от некоторой данной точки – центра. Это свойство окружности находит непосредственное практическое применение, например, в колесе [1]. Так как все спицы имеют равную длину, то втулка при вращении остается на постоянной высоте; этим обеспечивается горизонтальность движения повозки. Здесь важно то обстоятельство, что обе параллельные касательные к окружности удалены одна от другой на одно и то же неизменное расстояние как бы мы ни вращали круг между ними. Окружность имеет постоянную ширину во всех направлениях, она представляет собой кривую постоянной ширины [2]. Возникает вопрос: является ли это свойство присущим исключительно окружности? Существуют ли другие фигуры постоянной ширины и каковы их общие свойства?

Постоянная ширина означает, что при «обхвате» фигуры двумя параллельными прямыми ширина полосы между ними будет постоянной, независимо от направления прямых. Самая простая и самая знаменитая — треугольник Рело [3]. Точнее говоря, эта фигура только напоминает треугольник, её граница — дуги трёх окружностей с центрами в вершинах правильного треугольника, радиусы которых равны длине стороны треугольника. При обхвате треугольника Рело параллельными прямыми точками касания прямых будут одна из его вершин и какая-то точка на противолежащей этой вершине дуге окружности. Так как радиусы всех дуг равны, то результат «измерения» всегда будет одинаков [4].

По той же схеме, что и для треугольника, фигура постоянной ширины строится на любом правильном n-угольнике, имеющем нечётное число вершин. Можно построить и несимметричные фигуры постоянной ширины.

Благодаря своим геометрическим свойствам фигуры постоянной ширины находят применение в различных областях.

Например. Монеты изготавливают круглой формы, чтобы при опускании монеты в автомат, монета не застряла. Но можно изготавливать монеты в виде фигур постоянной ширины, тогда они не застрянут в трубке, даже вращаясь. Простейшая фигура постоянной ширины, как мы знаем, — круг, в форме которого делают большинство монет. Но есть и исключения. В Великобритании 20- и 50-пенсовые монеты имеют форму фигуры постоянной ширины, построенной на правильном семиугольнике. Такая же форма у монет достоинством в полдинара, находящихся в обращении в Иордании. Изготовление монет в виде фигур постоянной ширины, отличных от круга, позволяет экономить металл, т.к., при фиксированной ширине круглая монета — самая металлоёмкая [5].

Второй пример. До наступления цифровой эпохи фильмы снимали на киноплёнку. И в кинокамерах, и в кинопроекторах были грейферные механизмы, обеспечивавшие скачкообразное движение плёнки вдоль объектива (стандартно — 18 скачков в секунду). Движение этих механизмов задавал треугольник Рело [6].

Третий пример — из области автомобилестроения. В конце 1940-х годов Ф. Г. Ванкель придумал схему двигателя без коленчатого вала, в котором поступательное движение поршней преобразуется во вращение вала мотора. В этом двигателе, называемом роторным, нет цилиндров. Ротор при вращении постоянно касается стенок камеры двигателя, разделяя рабочее пространство на три части. В двигателе Ванкеля форма ротора в сечении — треугольник Рело [7].

Возвращаясь к геометрии, заметим, что если центр треугольника Рело двигается по определённой замкнутой кривой, а сам треугольник при этом вращается вокруг центра, то он захватывает область, имеющую форму квадрата, углы которого немного закруглены [5]. С использованием этой идеи создано сверло, позволяющее получать почти квадратные отверстия, это сверло получило название сверло Уотса.

ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ РЕЛО

1.1 Организация исследования

Разработка плана мероприятий для изучения свойств фигур постоянной ширины проводилась на базе лицея № 37 г. Челябинска с апреля по сентябрь 2022 г.

Для исследования были применены поисковый, аналитический, описательный, сравнительный и практический методы.

1.2 Результаты и их обсуждение

Нахождение фигур постоянной ширины и их объединяющее свойство.

. Исследование геометрических фигур.

Для нахождения фигур постоянной ширины практическим путем, мы вырезали на листе картона квадрат, прямоугольник, треугольник, пятиугольник и круг. Вырезанные фигуры мы приложили к аналогичным отверстиям и вращали в разном направлении, результаты исследования в таблице 1.

Таблица 1. Способность фигуры удержаться на отверстии аналогичных размеров

Из таблицы видно, что из всех перечисленных фигур только круг не провалился в отверстие. Это произошло потому, что расстояния от центра до любой точки края круга одинаковые, это говорит нам о том, что круг является фигурой постоянной ширины.

1.2. Построение фигур постоянной ширины

Следующим этапом является построение самой простой фигуры постоянной ширины на основе правильного треугольника. Эта фигура получила название треугольник Рело [4]. Границами треугольника Рело являются дуги трёх окружностей с центрами в вершинах правильного треугольника, радиусы которых равны длине стороны треугольника (прил. А, рис. 1). Аналогичным путем мы построили фигуру на основе правильного пятиугольника (прил. А, рис. 2). Мы построили правильный пятиугольник, затем ставили циркуль в его вершину и проводили дугу над противоположной гранью с радиусом, равным длине диагонали, которая ведет к вершинам, ограничивающим противоположное ребро. Таким способом можно начертить бесконечное множество фигур постоянной ширины с нечетным количеством вершин (прил. А, рис. 3) [8].

Мы вырезали построенные фигуры из картона, приложили к аналогичным отверстиям и повращали. Результаты в таблице 2.

Таблица 2. Способность фигуры удержаться на отверстии аналогичных размеров

Из таблицы видно, что ни одна фигура не провалилась, значит расстояния от центра до любой точки края одинаковы, что является доказательством постоянной ширины. Таким образом все исследуемые фигуры обладают постоянной шириной.

1.3. Вращение между двумя параллельными прямыми.

Также научным доказательством того, что фигура обладает свойствами постоянной ширины является то, что при вращении фигуры между двумя параллельными прямыми, точками касания прямых будут одна из вершин фигуры и какая-то точка на противолежащей этой вершине дуге окружности [2]. Мы собрали экспериментальную модель, состоящую из двух параллельных линеек (линейки выставляли с помощью геометрического угла) и исследуемые фигуры (круг, треугольник Рело, пятиугольник Рело). Мы вращали эти фигуры между рейками и фиксировали точки соприкосновения (табл. 3). Для сравнения мы поместили между рейками квадрат, треугольник и пятиугольник.

Таблица 3. Вращение фигур между параллельными прямыми

Из таблицы видно, что две точки соприкосновения при любом вращении имеют круг, треугольник Рело и пятиугольник Рело. Это говорит о том, что фигуры обладают свойствами постоянной ширины. Другие исследуемые фигуры данными свойствами не обладают.

Нахождение экстремальных свойств круга и треугольника Рело экспериментальным путем.

Экстремальными свойствами считаются самые большие и самые маленькие значения. В своей работе мы исследовали площади фигур постоянной ширины. Согласно теоретическим данным [7] самой большой площадью среди фигур с данной постоянной шириной обладает круг, а самой маленькой треугольник Рело. Докажем это экспериментально. Для решения этой задачи мы вырезали несколько фигур данной постоянной ширины из картона: круг, треугольник Рело, пятиугольник Рело, семиугольник Рело. Фигуры прикладывали друг к другу и отмечали незакрытые места разным цветом. Количество закрашенного пространства определяли визуально (табл. 4).

Таблица 4. Минимальные и максимальные площади фигур

Из таблицы видно, что круг имеет максимальное значение, а треугольник минимальное значение площади. Все остальные фигуры имеют значения площади, находящиеся между кругом и треугольником Рело. Также можно сделать вывод, что чем больше вершин у фигуры тем больше она стремится к максимальному значению площади.

3. Нахождение периметра фигур постоянной ширины.

Для решения данной задачи мы измерили периметр с помощью обычной веревки. На одной вершине фигуры закрепили конец веревки и обогнули всю фигуру. Длину измерили линейкой. Таким способом мы измерили несколько фигур равной ширины с равным диаметром: круг, треугольник Рело, пятиугольник Рело, семиугольник Рело. Результаты представлены в таблице 5 Таблица 5. Значения периметров

Из таблицы видно, что у всех исследуемых фигур одинаковый периметр, несмотря на разную площадь. Таким образом, одним из главных свойств фигур постоянной ширины является одинаковый периметр у всех фигур данной постоянной шириной.

4. Исследование объектов, движущихся с помощью фигур постоянной ширины.

Для проведения эксперимента мы использовали карандаши, в сечении которых лежат: круг, треугольника Рело и правильный шестигранник. На карандаши мы установили платформу с грузом и начинали перемещение. Целью задачи было прямолинейное движение объекта из точки А в точку Б без потери груза. Результаты представлены в таблице 6.

Таблица 6. Прямолинейное движение объектов с помощью фигур постоянной ширины

Из таблицы видно, что при движении объекта из точки А в точку В с помощью карандашей с круглым сечением и с основанием в форме треугольника Рело, объект достигает цели без потери груза. При движении объекта из точки А в точку В с помощью карандашей, в сечении которых правильный шестиугольник, объект вообще не достигает цели. На основании этого можно сделать вывод, что объекты, движущиеся с помощью фигур постоянной ширины, движутся прямолинейно

Использование результатов работы

Результатами данной работы являются экспериментальные доказательства теоретических выводов. Данную работу можно использовать как демонстрационный материал при изучении фигур постоянной ширины.

ВЫВОДЫ

1. Экспериментально доказано, что фигурой постоянной ширины является плоская фигура, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно "ширине" данной фигуры.

2. Экспериментально доказано, что среди фигур данной постоянной ширины наибольшая площадь - у круга, наименьшая - у треугольника Рело.

3. Экспериментально доказано, что все фигуры данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр.

4.Экспериментально доказано, что объекты, движущихся с помощью фигур постоянной ширины движутся прямолинейно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Систематизируя и углубляя практические и теоретические знания фигур постоянной ширины, мы обозначаем их сильные и слабые стороны. Благодаря исследованиям мы расширяем область их применения в науке и повседневной жизни. Мы познакомились и углубили свои знания в области фигур постоянной ширины на плоскости, но впереди еще огромная нерешенная задача – это изучение таких фигур в объеме. До сих пор математики не рассчитали какое же из тел постоянной данной ширины имеет наименьший объем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю. Геометрия./ Александров А.Д- М:,1990, 321 с.

Бляшке В. Круг и шар,- /М Мир, 1968, 216 с.

Яглом И. М. В. Г. Болтянский, Выпуклые фигуры, /Яглом И. М. - сер. «Библиотека математического кружка», вып. 4, М.--Л., Физматгиз, 1951, 117 с.

Радемахер Г., О. Теплиц, Числа и фигуры,/ Радемахер Г.- сер. «Библиотека математического кружка», вып. 10, М., изд-во «Наука», 1966, 264 с.

Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин,- М.: Педагогика, 1985.

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1/ Атанасян Л.С.-М:, Просвещение 1986. 126 с.

Болтянский В.Г., Яглом И.М. Выпуклые фигуры. М. - Л.: ГТТИ, 1951, 343 с.

Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: МЦНМО, 2006, 464 с.

Математическая энциклопедия/ Гл. ред. И.М. Виноградов,- М,: «Советская энциклопедия», 1984, 198 с.

Интернет –источник : http://nauka-pro.ru/podderzhat-proekt

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Рисунок 1. Построение треугольника Рело

Рисунок 2. Построение пятиугольника Рело

Рисунок 3. Многоугольники Рело