Комбинаторика в современной жизни

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Волынский Г.С. 1

---

1Гимназия №3

Белова Татьяна Александровна 1

---

1Гимназия №3

Работа в формате PDF

237.6 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Аннотация

Цель: выяснить, как люди понимают и применяют комбинаторику в современном мире

Объект исследования – человек и информация

Предмет исследования – комбинаторика, теория вероятностей, криптография

Задачи:

Исследовать, что такое комбинаторика и как она возникла.

Исследовать, что такое теория вероятностей и зачем она нужна.

Понять, как комбинаторика применяется в криптографии.

Выяснить, зачем нужна комбинаторика в современной жизни.

Гипотеза: не все осознают значимость и сложность комбинаторики в современной жизни.

Актуальность: благодаря комбинаторике мы можем анализировать ситуации, узнавать количество вариантов их решений и приоритеты выполнения конкретных вариантов, для большего шанса достижения успеха. Благодаря комбинаторике появились теория вероятностей и криптография, которые используются практически везде.

Комбинаторика в современной жизни

История комбинаторики освещает развитие комбинаторики — раздела конечной математики, который исследует в основном различные способы выборки заданного числа m элементов из заданного конечного множества: размещения, сочетания, перестановки, а также перечисление и смежные проблемы. Начав с анализа головоломок и азартных игр, комбинаторика оказалась исключительно полезной для решения практических задач почти во всех разделах математики. Кроме того, комбинаторные методы оказались полезными в статистике, генетике, лингвистике и многих других науках.

Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей. В историю зарождавшейся теории вероятностей вошла переписка заядлого игрока шевалье де Мерэ с Пьером Ферма и Блезом Паскалем, где были затронуты несколько тонких комбинаторных вопросов. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома.

Рисунок 1. Треугольник Паскаля https://commons.wikimedia.org/wiki/File:PascalTriangleAnimated2.gif?uselang=ru

Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века), Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики. Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Правда, термин «комбинаторика» Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику. Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике.

В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году). Термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин «размещение» (arrangement).

После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала.

Окончательно комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в трудах Эйлера. Он детально рассмотрел, например, следующие проблемы:

задача о ходе коня;

задача о семи мостах, с которой началась теория графов;

построение греко-латинских квадратов;

обобщённые перестановки.

Кроме перестановок и сочетаний, Эйлер изучал разбиения, а также сочетания и размещения с условиями.

Современное развитие:

В начале XX века начала развиваться комбинаторная геометрия: были доказаны теоремы Радона, Хелли, Юнга, Бляшке, а также строго доказана изопериметрическая теорема. На стыке топологии, анализа и комбинаторики были доказаны теоремы Борсука — Улама и Люстерника — Шнирельмана. Во второй четверти XX века были поставлены проблема Борсука и проблема Нелсона — Эрдёша— Хадвигера. В 1940-х годах оформилась теория Рамсея. Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш, который ввёл в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

Комбинаторика - иногда называемая комбинаторным анализом — раздел математики, посвящённый решению задач, связанных с выбором и расположением элементов некоторого чаще всего конечного множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет некоторую выборку из элементов исходного множества, которая называется комбинаторной конфигурацией. Простейшими примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, сочетания и размещения.

Прежде, чем делать какие-либо опыты и исследования, нужно понять три основные комбинаторные конфигурации: перестановки, сочетания и размещения.

Перестановки

Группы элементов, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих элементов.

Самым простым примером перестановокбудет вопрос: сколько вариантов существует записать трёхзначное число из цифр 1,2,3, чтобы они не повторялись. В данном случае можно просто перебрать все возможные варианты (123; 132; 213; 231; 312; 321) их получится шесть. В данном случае у нас получилось 3 возможных варианта, и у каждого из этих вариантов есть 2 варианта дальнейшего развития, поэтому 3*2 = 6. Такие задачи можно решать с помощью иллюстрирования их таблицами или с помощью графов. В теории графовграф перестановки — это граф, вершины которого соответствуют элементам перестановки, а рёбра представляют пары элементов, следование которых стало обратным после перестановки. Графы перестановки можно определить геометрически как графы пересечений отрезков, концы которых лежат на двух параллельных прямых. Различные перестановки могут дать один и тот же граф перестановки.

Рисунок 2. Графы

Циклом называется граф, замкнутый по рёбрам. Также для решений задач используют дерево. Деревом называется связанный граф без циклов. Регулярное дерево – количество концевых ветвей равно произведению основных ветвей на ветвящиеся ветви.

Рисунок 3. Пример регулярного дерева.

Однако для более сложных задач применяют факториал числа. Число всевозможных перестановок n элементов обозначается P_n. Как это будет ниже показано, оно равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n. Для краткости это произведение обозначают символом n! (читается "эн факториал")

n! = 1 2 3 ...n.

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. 0! = 1(факториал 0 равен единице).

Задача 1:

Рисунок 4. Клавиатура телефона

Злоумышленник видит, что для входа в телефон Вы нажимаете 8 цифр. Использовав специальную краску, он может увидеть отпечатки на клавиатуре, то есть видно, какие цифры Вы нажимаете. Сколько существует вариантов кода, состоящего из 8 цифр, если цифры не повторяются?

Решение: Количество вариантов P₈ = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40 320

В данной задаче важным фактором являлось то, что цифры не повторяются.

Эксперимент 1:

Так как задача 1 довольна простая, мы (я и мой руководитель) решили провести опыт, кто из наших знакомых (50 человек) без математического образования сможет её решить, не зная комбинаторики. Практически моментально решили 75%, немного задумались – 15%, не смогли решить – 2%, и целых 8% - смогли найти взаимосвязь в решении похожих задач, и смогли вывести формулу факториала.

Вывод: из опыта видно, что данную задачу легко решит практически любой человек, так как она понимается на ментальном уровне, даже 8%, не зная формулы факториала, смогли её вывести.

Сочетания

В комбинаторике сочетанием из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k} называется набор из k{\displaystyle k} элементов, выбранных из {\displaystyle n} n-элементного множества, в котором не учитывается порядок элементов.

Соответственно, сочетания, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми — этим сочетания отличаются от размещений. Так, например, 3-элементные сочетания 2 и 3 ((нестрогие) подмножества, для которых k = 3{\displaystyle k=3}) из 6-элементного множества 1 (n = 6{\displaystyle n=6}) являются одинаковыми (в то время как размещения были бы разными) и состоят из одних и тех же элементов 1. Сочетания задаются формулой

Задача 2:

Сколько будет сочетаний из 3 элементов a, b, c (n=3) по 2 (k=2)?

Подставив в формулу наши значения, получим - = = 3. То есть у нас есть 3 возможных элемента по 2 из заданных 3 – ab, bc, ac. Однако же, данную задачу легко можно решить и методом подбора, и ответ совпадёт. Если же в задаче поменять условие, например, сколько будет сочетаний из 3 элементов a, b, c (n=3) по 3 (k=3), то даже без вычислений сразу же очевидно, что будет всего лишь 1 вариант - abc, так как в сочетаниях элементы abc, acb, bac, bca, cab, cba являются одинаковыми.

Эксперимент 2:

Мы решили задать вышеприведённую задачу нашим знакомым (50 человек) без математического образования, и результаты снова оказались положительными, но немного ниже, чем в 1 эксперименте:

70% решили её без особых сложностей, 20% решили с немалым трудом и 10% не справились с этой задачей.

Вывод:

Эту задачу на сочетания большинство людей решает её без особых проблем, как и задачу на перестановки из эксперимента 1. Все понимают, как её решать интуитивно, на ментальном уровне, с помощью подбора вариантов ответа.

Размещения

Пусть имеется nразличных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно

Пример всех размещений из n=3объектов (различных фигур) по m=2 - на картинке. Согласно формуле, их должно быть ровно = 3⋅ (3−2+1) = 3⋅2 = 6.

Рисунок 5. Размещения

https://www.matburo.ru/tv_komb.php

Для наглядности различия размещений от сочетаний приведу похожий пример из эксперимента 2.

Задача 3:

Сколько существует размещений из 3 элементов a, b, c (n=3) по 2 (m=2)?

Подставляем в формулу: 3! / (3 – 2)! = 6 / 1 = 6, получаем 6 вариантов – ab, bc, ac, ba, cb, ca. Этот пример чётко показывает разницу сочетаний и размещений, так как в сочетаниях у нас получалось 3 элемента ab, bc, ac, а в размещениях ровно в 2 раза больше, так как, например ab и ba – разные элементы.

Эксперимент 3:

Мы решили узнать, как наши знакомые (50 человек) без математического образования решат вышеприведённую задачу на размещения. Так как задача 3 простая, результат снова оказался достаточно неплохим, однако ниже, чем в эксперименте 2:

60% решили эту задачу, немного подумав, 15% путём долгих раздумий всё-таки смогли найти ответ и 25% не смогли её решить.

Вывод:

Задача на размещения оказалась самой трудной из 3 задач из 3 экспериментов. Однако большинство справилось с этим заданием. Многие люди не понимали, почему, например, ab и ba это разные элементы и воспринимали задачу, как задачу на сочетания. Именно поэтому крайне важно понимать разницу между сочетаниями и размещениями.

Сложные задачи на комбинаторику

После того, что мы описывали ранее, может показаться, что комбинаторика очень лёгкая в понимании. Однако, это абсолютно неверно. Комбинаторика очень сложная наука, но и очень интересная. Все задачи и способы решения, приведённые ранее, были лишь основой основ. Для того, чтобы это доказать, приведу пример сложной задачи.

Задача 4:

Из 3 баскетболистов и 20 футболистов нужно составить спортивную команду из 20 человек. Сколько есть способов сделать это при условии, что в команде должен участвовать хотя бы 1 баскетболист?

Решение:

Так как в этой задаче написано «хотя бы 1 баскетболист», то мы должны рассмотреть количество вариантов для всех возможных количеств баскетболистов (то есть для 1, для 2, и для 3) и сложить их.

1 баскетболист:

Существует три способа выбрать 1 баскетболиста из 3 (т. к. сочетание из 3 по 1 = 3). Тогда получается, чтобы в спортивной команде был 1 баскетболист, нужно взять 19 футболистов. То есть из всех 20 человек по 19 футболистов. Очевидно, что это будет сочетание из 20 по 19.

= = = 20

Но так как есть три варианта выбрать 1 баскетболиста из 3, мы должны полученное количество способов умножить на 3:

20 * 3 = 60

2 баскетболиста:

Существует три варианта выбрать 2 баскетболистов из 3 (т. к. сочетание из 3 по 2 = 3). Тогда получается, что нужно выбрать ещё 18 футболистов. То есть это сочетание из 20 по 18:

= = = 190

Так как есть 3 варианта выбрать 2 баскетболистов из 3, то мы должны умножить это число вариантов на 3:

190 * 3 = 570

3 баскетболиста:

Существует один вариант выбрать 3 баскетболиста из 3 (т. к. сочетание из 3 по 3 = 1). Тогда получается, что нужно выбрать ещё 17 футболистов. То есть это сочетание из 20 по 17:

= = = 1140

В последнем шаге для решения этой задачи, нам нужно просто сложить все количества получившихся вариантов для 1, 2 и 3 баскетболистов:

60 + 570 + 1140 = 1770 варианта.

Ответ: 1770 вариантов

В этой задаче уже никак не обойдёшься без понимания комбинаторики, знания её формул.

Эксперимент 4:

Однако мы решили узнать, смогут ли решить эту задачу уже мои другие знакомые (20 человек), которые хорошо знают математику, но ещё не изучали комбинаторику.

Результат оказался очень низкий, что логично, но тем не менее, не нулевой:

10% очень долгими вычислениями и логическими связями, смогли решить задачу верно, 40% дали почти верный ответ, 50% не смогли решить эту задачу.

Вывод:

Из этого эксперимента видно, что комбинаторика крайне сложная наука, и без её знаний очень сложно решить какую-либо сложную задачу. И всё же человек с большими знаниями математики и логики, может хотя бы примерно понять, что нужно делать.

Теория вероятностей

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Рисунок 6. Орел или решка?

https://skysmart.ru/articles/mathematic/teoriya-veroyatnostej-formuly-i-primery

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Событие и виды событий

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдет. Например, камень упадет вниз.

Невозможным является событие, которое заведомо не произойдет в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх.

Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, из колоды карт вытащили туза.

Обычно события обозначают большими латинскими буквами. Например, А — событие, при котором из колоды вытащили туза, D — событие, при котором из колоды вытащили семерку.

Несовместными называются события, в которых появление одного из событий исключает появление другого (при условии одного и того же испытания). Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с черточкой вверху. Например:

A₀ — в результате броска монеты выпадет орел;

Ā₀ — в результате броска монеты выпадет решка.

Полная группа событий — это множество несовместных событий, среди которых в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий.

Алгебра событий

Операция сложения событий означает логическую связку ИЛИ, а операция умножения событий — логическую связку И.

Сложение событий

Суммой двух событий A и B называется событие A+B, которое состоит в том, что наступит или событие A, или событие B, или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие A, или событие B.

Правило распространяется и на большее количество слагаемых, например, событие A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ состоит в том, что произойдет хотя бы одно из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, а если события несовместны — то одно и только одно событие из этой суммы: или событие A₁, или событие A₂, или событие A₃, или событие A₄, или событие A₅.

Примеров масса:

Событие B = В₁+ B₂​+B₃​+ В₄​ + В₆

(при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие B_1,2 = B₁ + B₂ (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка.

Событие B_Ч = B₂ + B₄ + B₆ (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2, или 4, или 6 очков.

Умножение событий

Произведением двух событий A И B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий. Иными словами, умножение AB означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие A, и событие B. Аналогичное утверждение справедливо и для большего количества событий: например, произведение A₁A₂A₃ … A₁₀ подразумевает, что при определенных условиях произойдет и событие A₁, и событие A₂, и событие A₃,..., и событие A₁₀.

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты, и следующие события:

A₁ — на 1-й монете выпадет орел;

Ā₁ — на 1-й монете выпадет решка;

A₂ — на 2-й монете выпадет орел;

Ā₂ — на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:

событие A₁A₂ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет орел;

событие Ā₁Ā₂ состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;

событие A₁Ā₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет орел и на 2-й монете решка;

событие Ā₁A₂ состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орел.

Классическое определение и формула вероятности: вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Свойства вероятности:

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Задача 5:

Какова вероятность того, что из 8 красных, 7 жёлтых и 5 зелёных карандашей, человек вытащит красный?

Решение:

В данном случае n – это общее количество карандашей, a m – количество красных карандашей:

n = 8 + 7 + 5 = 20, m = 8

Подставив в формулу, получаем:

P (A) = m/n = 8/20 = 0,4

Ответ: P (A) = 0,4

Этой задаче присуще некоторые элементы комбинаторики. Вышеперечисленные пункты используются и в комбинаторике.

Эксперимент 5:

На этот раз мы снова задали нашим знакомым (50 человек) без математического образования задачу 5. Результаты оказались неплохими:

54% решили её немного подумав, 26% решили её за более длительное время, 20% не смогли её решить.

Вывод:

Такую простую задачу люди легко решают, только у некоторых возникли сложности с ней. Её понимают без формул, но всё равно без знаний математики тут не обойтись.

Криптография

Криптография («криптос» - тайна, «графэйн» - писать) - наука о методах обеспечения:

Конфиденциальности (невозможности прочтения информации посторонним)

Аутентичности (целостности и подлинности авторства, а также невозможности отказа от авторства) информации.

В криптографии используются многие элементы комбинаторики, например, перестановки. В криптографии есть один элемент, присущий комбинаторике, и называется он выборки с возвращением.

Выборки с возвращением

Количество вариантов можно вычислить с помощью выборок с возвращением.

Рассмотрим случай, когда выборка может содержать какой-либо элемент более одного раза. Это - выборка с возвращением.

Задача 6:

Пусть имеется n- буквенный алфавит. Сколько m-буквенных слов можно получить в этом алфавите?

Ответ очевиден, . Например, из пяти первых букв русского алфавита необходимо составить все трехбуквенные слова. Первую букву слова можно выбрать пятью способами, вторую и третью - тоже пятью, так как буква может быть выбрана повторно. Всего вариантов 5 × 5 × 5 = = 125.

Эксперимент 6:

На этот раз мы задали задачу на выборки с возвращением нашим знакомым (20 человек), которые хорошо знают математику, но ещё не изучали комбинаторику и криптографию. Результат оказался низким, что логично:

30% решили эту задачу, 40% долго думали, но нашли решение и 30% не смогли решить эту задачу.

Вывод:

Выборки с возвращением оказались достаточно трудными даже для людей, любящих математику. Без знаний криптографии и комбинаторики довольно тяжело решить эту, казалось бы, простую задачу. Однако, некоторые всё равно смогли справиться с ней.

Эксперимент 7:

В своем последнем эксперименте мы решили опросить сразу и своих знакомых (50 человек) без математического образования, и своих других знакомых (20 человек), хорошо знающих математику. Вопрос был следующим: «видите ли вы смысл в покупке лотерейных билетов, и считаете ли вы возможным выиграть какой-то существенный приз?». Для начала мы спросили это у людей без математического образования. Результаты оказались следующими:

65% сказали: «да, я вижу смысл в их покупке, и считаю, что я могу выиграть какой-нибудь существенный приз, так как меня может посетить “удача”, а остальные 35% сказали: «я не вижу особого смысла покупать их, потому что считаю, что ничего не выиграю, максимум можно купить 1 лотерейный билет для веселья».

Затем мы спросили наших знакомых, разбирающихся в математике. И тут результат оказался довольно очевидным:

Все 20 опрашиваемых, ответили: «нет, я не вижу никакого смысла в покупке лотерейных билетов, и не считаю возможным выиграть какой-угодно существенный приз, потому что вероятность этого крайне мала.

Вывод:

Как показали результаты, большинство людей без математического образования видят смысл в покупке лотерейных билетов, и полагаются на “удачу”. А люди, которые хорошо понимают математику, сразу осознают, что это бесполезная трата денег. Это очевидно: если взять, например, лотерею, где есть 1000000 лотерейных билетов, выигрыш составляет 1000000 рублей, то, даже если купить 100 лотерейных билетов (это приблизительно 10000 рублей), вероятность того, что вы выиграете составляет - 100/1000000 = 0,0001, а это очень низкая вероятность.

Заключение

В процессе разработки проекта гипотеза нашла своё подтверждение, что отчётливо видно из проведённых экспериментов. Актуальность была подтверждена. Были использованы объекты исследования - человек и информация. Были использованы предметы исследования - комбинаторика, теория вероятностей, криптография. Мы добились нашей цели. Все 4 задачи были достигнуты. В ходе работы мы выяснили, как люди понимают комбинаторику и используют её в жизни. Большинство людей осознаёт, что комбинаторика достаточно логическая наука, и простые задачи легко понимают и решают их без особых проблем. Но комбинаторика очень сложная наука, в которой есть такие задачи, где без её знаний никак не обойдёшься. Это доказывает эксперимент 4, где мы опрашивали людей, знающих математику, но не изучавших комбинаторику, и даже они с большим трудом решали ту задачу. Комбинаторика используется практически везде. Мы выяснили, что благодаря ей существует теория вероятностей, с помощью которой можно рассчитывать благоприятные исходы (идти на риск или нет). Без теории вероятностей все люди полагались бы только на “удачу”, не рассматривали бы все возможные варианты, это доказывает эксперимент 7. Также благодаря комбинаторике существует криптография, без которой у нас бы не было никакой конфиденциальности, шифрования и секретов. Если бы не существовало комбинаторики, наша жизнь была бы намного труднее.

Список рисунков

Комбинаторика, Статистика, Вероятность / А.Х Шахмейстер – М.: Петроголиф, Виктория плюс, МЦНМО

История комбинаторики / https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B8

Теория вероятностей, формулы и примеры / https://skysmart.ru/articles/mathematic/teoriya-veroyatnostej-formuly-i-primery

Размещения, сочетания, перестановки / https://www.matburo.ru/tv_komb.php