XVII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Тайны чисел
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В современном мире человек постоянно пользуется натуральными числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее.
Математика может рассматриваться как наука о мышлении. Точность причинно – следственных математических отношений является практической основой для освоения логики. Но математика обладает потенциалом и для формирования таких видов мышления, как конструкторское, пространственное, парадоксальное, творческое.
Цель: исследование истории возникновения натуральных чисел и какие чудеса таят в себе они?
Задачи: -выяснить, почему и зачем люди впервые начали считать.
- узнать, как считали люди разных культур и почему их цифрами не пользуются в наши дни.
- выяснить, как и кем изобретены цифры, которыми пользуемся.
- познакомить с разными математическими фокусами.
Объект: натуральные числа
Предмет: числа и действия с числами. Математические фокусы с числами.
Методы исследования: изучение литературы по предмету исследования, опрос, наблюдение, анализ и обобщение.
Источники информации: -интернет;
- энциклопедии;
- мнения других людей;
- литература по предмету.
История натуральных чисел
У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Постепенно они стали приручать
скот, возделывать поля и собирать урожай; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись.
Сначала считали на пальцах, когда пальцы на одной руке заканчивались, переходили на другую. А если на двух руках не хватало, переходили на ноги.
Но как запомнить, кто кому сколько должен, сколько народилось жеребят и сколько теперь в стаде лошадей, сколько мешков кукурузы собрано?
Вот тогда люди и придумали числа…
Счет у первобытных людей. Подсчитывать числа люди научились еще в каменном веке – палеолите, десятки тысяч лет назад. Сначала люди на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли назвать число предметов, дней. Например, у племени реки Мурей в Австралии было два простых числительных:
1 – «энза»
2 – «петчевал».
Другие числа они выражали составными числительными.
3 – «петчевал-энза»,
4 – «петчевал-петчевал».
Даже сейчас в Папуа-Новой Гвинее многие племена считают по пальцам рук и ног (основание 20, т.е. двадцатками) Число 10 обозначается как 2 руки, 15 – 2 руки и нога, 20 – один человек.
Другие племена начинают счет с мизинца, доходят до большого пальца, затем идет ладонь, вся рука, туловище и лишь потом вторая рука. Племя файвол (Африка) насчитывает 27 частей тела и использует их названия как числа. Например, 14 – это нос, для чисел больше 27 добавляется 1 человек, 40 – это 1 человек и правый глаз.
Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Мы и сейчас используем разные числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча» и т.д.
Пальцы помогли людям найти очень удобный способ счета еще до того, как они придумали названия цифрам.
Название чисел от одного до десяти запомнить легко, ведь у нас на руках десять пальцев, а это своеобразная система памяти.
Самую первую систему счисления изобрели, видимо, на Древнем Востоке (в Египте или Месопотамии).Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов.
Какой-то человек воздел обе руки кверху. Ему было чему удивляться. Ведь он обозначал целый миллион. И это не шутка. Рисовали такого человечка древние египтяне, когда хотели изобразить миллион. Человечек исполнял обязанности числа.
Древние египтяне на очень длинных и дорогих папирусах писали вместо цифр очень сложные, громоздкие знаки.
Вот, например, как выглядело число 5656.
Сейчас нам, привыкшим к начертанию цифр, даже не верится, что была какая-то другая система записи чисел.
Древний народ майя вместо самих цифр рисовал страшные головы, как у пришельцев, и отличить одну голову от другой было очень трудно.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Индийцы и народы древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета. У некоторых богатеев скапливались по несколько метров этой веревочной «счетной книги», поди вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли почетным званием «вспоминатель».
Веревочные счеты с узелками были также в ходу в России. До сих пор иногда завязывают узелки на носовых платках на память.
Было очень неудобно хранить хрупкие и тяжелые глиняные таблички, веревки с узелками, рулоны папируса. И это продолжалось до тех пор, пока древние индийцы не изобрели для каждой цифры свой знак.
Вот так они выглядели:
Однако Индия была оторвана от других стран, -на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так:
Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталась нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто» называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи натуральных чисел, которыми мы пользуемся:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Древнеримскими цифрами мы продолжаем пользоваться. «Пальцевое» происхождение десятичной системы подтверждается формой латинских цифр: латинская цифра V – ладонь с оттопыренным большим пальцем, а римская цифра Х – две скрещенные руки
Римское обозначение чисел:
I 5 – V 10 – X 50 – L 100 – C 500 – D 1000 - M
Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило: Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх. Соответственно M, D, C, L, X, V, I.
А вот в России цифры появились только при Петре 1, до этого же каждой цифре соответствовала своя буква алфавита.
Древние ученые считали, что цифры имеют таинственный, магический смысл и влияют на человека и на все, что он делает.
Можно по дню, месяцу и году своего рождения вычислить свое главное число.
Например, я родился 19 ноября (11-ый месяц) 2005 года. Складываем между собой все цифры: 1+9+1+1+2+0+0+5=19. Две эти цифры тоже надо сложить между собой:1+9=10, затем и эти числа : 1+0=1.
1 – это и есть мое главное число.
Математические фокусы
Каждый из нас, несомненно, встречался с различными «фокусами» -искусством по отгадыванию чего-то.
Математические фокусы – очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей. Именно поэтому вместо отвлечённых чисел используются различные предметы или наборы предметов, связанные с числами: домино, спички, часы, календарь, шахматы, монеты и др. Математические чудеса, подобно шахматам, имеют свою особую прелесть. В шахматах объединено изящество математических построений с удовольствием, которое может доставить игра. В математических же фокусах изящество математических построений соединяется с занимательностью.
В любой творческой деятельности (в учёбе, в труде, в игре) внимание, смекалка, умение логически и неформально мыслить, необходимы человеку, ибо помогают находить выход из сложных ситуаций.
«Мир построен на силе чисел» - сказал Пифагор. Вот я и хочу познакомить Вас с некоторыми тайнами чисел, загадками и диковинками в мире математике, которые для меня стали открытиями.
Вот мои математические фокусы.
Свойства 9 движением пальца «Счетная машина»
Я таблицу умножения не знаю, потому что учусь только во 2-ом классе, но могу предложить самый простой способ умножения на 9 при помощи пальцев своих рук.
Положите обе руки рядом на стол и протяните пальцы. Каждый палец слева направо будет означать соответствующее порядковое число: первый слева-1, второй-2, третий-3, четвертый-4 и т.д. до десятого, который будет обозначать число 10. Пусть требуется умножить теперь любое число из первого десятка на 9. Для этого вам стоит только, не сдвигая рук со стола, приподнять вверх тот палец, который обозначает множимое. Тогда число остальных пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, будет числом десятков произведения, а число пальцев направо -числом единиц.
Например: умножить 7 на 9.
-кладите руки на стол и поднимите седьмой палец;
-налево от поднятого пальца лежат 6 пальцев, а направо -3;
-значит, результат умножения 7*9=63.
Это удивительное на первый взгляд механическое умножение тотчас же станет понятным, если вспомнить, что сумма цифр в каждом произведении чисел таблицы умножения на 9 равна 9, а число десятков в произведении всегда меньше на 1 того числа, которое мы умножаем на 9. Поднятием соответствующего пальца это мы и отмечаем, а следовательно, и … умножаем.
Человеческая рука есть одна из первых счетных машин!
Сколько вам лет?
- Не хотите сказать? Ну, хорошо, скажите мне только сколько получится, если от числа, в 10 раз большего, чем число ваших лет, вычесть произведение какого-то однозначного числа на 9. Благодарю вас, теперь я знаю, сколько вам лет.
Способ отгадывания. Отделить от объявленного результата число единиц и сложить его с оставшимся числом.
Например: Человек, который согласился на эксперимент, решает про себя: 31*10=310-27 и говорит результат: 283.
Определяем возраст: от числа 283 отделяем единицы, тогда получится 28 десятков и 3 единицы. Мы их складываем: 28+3=31 и получаем возраст вам же 31 лет.
Легко и эффектно, мы проверяли на родителях на родительском собрании.
В какой руке? ( 2 монеты)
Я дал своему другу две монеты: одну с четным числом рублей, а в другую – с нечетным ( например, 2-рублевую и 5-рублевую). Пусть он, не показывая мне, одну из монет (любую) возьмет в правую руку, а вторую - в левую. Я могу легко угадать, в какой руке у него какая монета.
Предлагаю ему утроить число рублей, содержащихся в монете, зажатой в правой руке, и удвоить число рублей, содержащихся в монете, зажатой в левой руке. Полученные результаты пусть он слоит и скажет мне только образовавшуюся сумму.
Если названная сумма четная, то в правой руке 2 рубля, если – нечетная, то 2 рубля в левой руке.
Объяснение: пусть монета с четным числом рублей (например, 2-рублевая) – в правой руке, а монета с нечетным числом (5-рублевая)- в левой. Тогда утроенное четное число останется числом четным и удвоенное нечетное число будет тоже четным, а сумма четных чисел тоже обязательно четная. И наоборот с нечетным числом.
Исправь ошибку.
Возьмем 12 спичек и выложим из них «равенства», которое показано на рисунке
Равенство, как видите, неверное, так как получается, что 6 – 4 = 9.
Не прибавляя ни одной спички, переложите одну спичку так, чтобы получилось правильное равенство.
Исправление: Да! 6+4 =10.
Кто взял резинку, а кто карандаш?
Отвернулся и предложил двум участникам фокуса Дарису и Алтане, взять одной резинку, а другой карандаш. Говорю:
- Обладателю карандаша назначаю число 7, обладателю резинки –число 9 (числа могут быть и иными, причем обязательно одно простое, а другое составное, но не делящееся на первое).
- Дарису, умножь свое число на 2, а Алтана на 3 (одно из этих чисел должно целое число раз содержаться в назначенном вами составном числе, как, например, 3 в 9, а другое должно быть с ним взаимно простым, как например, 3 и 2).
- Сложите результаты и скажите мне сумму или скажите, делится ли эта сумма без остатка на 3 (на то данное вами число, которое содержится множителем в назначенном составном числе). Узнав это, я тотчас могу определить, кто взял карандаш, а кто резинку.
В самом деле, если полученная сумма делится на 3, -это значит, что на 3 умножено число, не делящееся на 3, то есть 7. Зная, кто умножил свое число на 3 и что число назначено обладателю карандаша, вы заключаете, что карандаш у Дарису. Наоборот, если полученная сумма не делится на 3, то это значит, что на 3 было умножено число, делящееся на 3, то есть 9. В этом случае у Алтаны – резинка.
В какой руке? ( 2 монеты)
Я дал своему другу две монеты: одну с четным числом рублей, а в другую – с нечетным ( например, 2-рублевую и 5-рублевую). Пусть он, не показывая мне, одну из монет (любую) возьмет в правую руку, а вторую - в левую. Я могу легко угадать, в какой руке у него какая монета.
Предлагаю ему утроить число рублей, содержащихся в монете, зажатой в правой руке, и удвоить число рублей, содержащихся в монете, зажатой в левой руке. Полученные результаты пусть он слоит и скажет мне только образовавшуюся сумму.
Если названная сумма четная, то в правой руке 2 рубля, если – нечетная, то 2 рубля в левой руке.
Объяснение: пусть монета с четным числом рублей (например, 2-рублевая) – в правой руке, а монета с нечетным числом (5-рублевая)- в левой. Тогда утроенное четное число останется числом четным и удвоенное нечетное число будет тоже четным, а сумма четных чисел тоже обязательно четная. И наоборот с нечетным числом.
Спички вокруг монеты.
Требуется все спички, кроме той, которая обращена к монете, соблюдая следующее условие:
- сначала снять одну спичку
-затем, двигаясь по кругу, снимать каждую 13-ую спичку.
Сообразите, какую спичку надо снять первой.
Объяснение: надо в первую очередь снять 5-ую спичку вправо от той, которая повернута головкой к монете (ее не считать)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В результате исследования мы узнали много интересного по истории натуральных чисел; выявили, что оказывается пользуемся все мы арабскими цифрами. Прежде чем стать такими как сейчас эти цифры прошли через много преобразований, через разные культуры и народности.
Мир математики таит в себе чудесные тайны, парадоксы.
Чем больше я знакомлюсь с натуральными числами, тем больше для себя делаю открытия в области математики.
Как же много таинственности в математике. И меня всё больше и больше привлекает её загадочность. И мне бы хотелось, чтоб и вас заинтересовали мои маленькие открытия.
Литература:
Математика. Энциклопедия для детей. Том 2. «Аванта». 1998 г.
Я познаю мир. Математика: энциклопедия.\ авт. сост. А.П. Савин и др. М., 2006 г..
Болл Д. Задумайся о числах. 2006 г.
Большая книга знаний. /авт. У. Мадгуик и др. «Махаон», М., 2007 г.
Интернет.
Б.А.Кордемский. Математическая смекалка. 1955г.