XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Введение:

Каждый день люди сталкиваются с картами в разных местах. Это может быть план местности, например, карта парка аттракционов, это может быть карта метро или навигатор, 3 карта на уроках географии. Но задумывался ли кто-то, что градусная сетка, где параллели и

меридианы перпендикулярны, это карта с искажениями, и она дает нам ложные показания по

некоторым параметрам? Многие карты в нашем мире искажают информацию о кратчайших

путях или площадях, о чем мы даже иногда и не догадываемся. В своем проекте мне хочется

связать математику и географию и все таки выявить, можно ли построить идеальную

географическую карту мира. Ранее было сделано столько географических открытий, но по

каким картам ориентировались путешественники? С чего это все началось? Кто вообще

придумал, что можно строить и использовать проекции на листе бумаги? Ведь не могла же

карта выглядеть также много веков назад, как выглядит сейчас.

1. Что такое географическая карта?

Географическая карта — изображение модели земной поверхности в уменьшенном виде,

содержащее координатную сетку с условными знаками на плоскости.

1.1. Что такое правильная географическая карта?

На протяжении всей истории картографы и математики работали над созданием идеальной

карты, пытаясь найти проекцию земной поверхности на плоскость, которая позволила бы

составить наиболее точную карту нашей планеты.

Карты нужны для расчета площади заданной местности, для определения направления ветра,

для анализа географической информации, представленной на карте (плотность населения,

уровень жизни, экономические данные и т.д.), для определения направления при

путешествии по открытому морю, по воздуху или по суше. Для этого важно, чтобы карта

сохраняла общий вид и площади отдельных территорий.

При работе с картой интересуют кратчайшие пути, измерение расстояний и длин кривых,

определение направлений, площадей, углов и форм. Поэтому при построении карты

необходимо сохранять эти параметры.

Есть 2 трудности, возникающие при составлении карт:

1. Различие между геометрической формой самой Земли и карты, на которой она

изображается.

4

2. В зависимости от задачи, карты должны иметь разные размеры и на них должны быть

изображены участки земли разной площади.

Теперь можно дать определение:

Правильная географическая карта — изображение модели земной поверхности в

уменьшенном виде, где сохранены площади, расстояния, геодезические линии, углы и

формы.

1.2. Искажения параметров в атласах.

Перед тем, как перейти к выбору масштаба, проанализируем искажения в атласах, картах, на

глобусах. Возьмем физическую карту Евразии из атласа за 7 класс (рис.1). Я измерила

расстояние по прямой от Москвы до Екатеринбурга, оно составило 1409км, однако по

официальным данным расстояние по прямой оказалось 1417км, то есть погрешность

большая, она составила около 8км. Возьмем глобус диаметром 15см (рис.2), ничего не

измеряя, можно сказать, что искажения есть, так как глобус - идеальный шар, а вот Земля -

геоид модели EGM96 ( более идеализированной моделью можно считать элипсоид WGS84)

(рис.3). И для третьего примера возьмем карту мира (рис.4), где искажения есть практически

везде, что можно увидеть по отсутствию меридианов.

2. Выбор масштаба.

Сначала земной шар проецируется на сферу, уменьшенную до выбранного размера. Мы

также проецируем это изображение на плоскость, в результате чего получается нужная нам

карта.

Шкала показывает разницу в размерах между сферой и Землей. Возьмите глобус с R=50 см.

Мы будем использовать размеры эллипсоида WGS84 для радиуса Земли. Тогда

RЗемли=6371км=637.100.000см.

Чтобы определить масштаб, нужно разделить Rсферы на RЗемли.

=

50см 1 637.100.000см 12.742.000

Масштаб 1:12.742.000 означает, что 1см глобуса равен 127,42км земной поверхности.

Если же мы хотим узнать расстояние от Москвы до Владивостока, нужно на сфере 5

измерить расстояние, а затем результат в сантиметрах умножить на 254,84. Площадь

1см2=254,842=64943,4256км2.

Преобразование, заключающееся в уменьшении размеров Земли, не изменяет

метрические параметры, масштаб в любой точке сферической модели остается

неизменным.

3. Выбор картографической проекции.

В течение веков люди пытались построить карту мира, придумывая все новые

способы, проекции. Чтобы выбрать наиболее точную проекцию, рассмотрим

некоторые варианты, а затем посмотрим на их искажения.

3.1. Проекция Архимеда, или равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта.

Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта при проецировании сферического тела на

цилиндр, который ее касается, определяется так: проекция любой точки сферы А — это точка

цилиндра А' такая, что она является точкой пересечения поверхности цилиндра с прямой,

проходящей через точку А и перпендикулярной оси цилиндра (рис. 4) . Эта проекция

является геометрической. Проекция земной поверхности на поверхность цилиндра создается

размещением источника света вдоль всей оси цилиндра, если он окружен линзой,

пропускающей световые лучи в горизонтальной плоскости, т. е. перпендикулярно цилиндру.

оси цилиндра. Эта развертка цилиндра изометрична в плоскости и сохраняет метрические

свойства. Иоганн Генрих Ламберт составил первую карту мира в этой проекции в 1772 году

(рис. 5).

Свойства:

1. Прямоугольная форма.

2. Параллели и меридианы проецируются как прямые, они имеют одинаковую длину и

перпендикулярны относительно друг друга.

3. Меридианы распределены равномерно, потому что масштаб постоянный во всех точках

всех параллелей, но масштаб различен на разных параллелях. Параллели неравномерно

распределены и сближаются с приближением к полюсам.

6

4. Так как проекция равновеликая, она сохраняет площади. Этот коэффициент появляется,

если уменьшить размеры земной сферы, он неизменяемый в любой точке карты.

Геодезические линии и величины углов не сохраняются.

5. Искажение расстояний, форм и углов и очень мало вблизи экватора, и растет с

приближением к полюсам.

3.2. Центральная, или гномоническая проекция.

Если рассматривать сферу и касательную к ней плоскость, то представлением точки А на

поверхности сферического тела будет точка А’ на плоскости, которая определяется как

пересечение прямой, которая проходит через центр и точку А. сфера с этой плоскостью.Это

геометрическая проекция. Если точкой касания шара и плоскости будет один из полюсов,

меридианы будут выглядеть как радиально равномерно расположенные прямые линии,

начинающиеся из центра карты, где будет виден полюс. Экватор был удален и не может быть

представлен на карте. На этой нескончаемой карте невозможно изобразить все полушарие.

Другие параллели выглядят как концентрические окружности, центр которых соответствует с

полюсу.

Если точка касания плоскости и шара находится на экваторе, то меридианы будут

проецироваться в виде параллельных прямых, но неравномерно распределенных. Экватор в

этой проекции будет выглядеть подобно прямой, которая перпендикулярна меридианам, а все

оставшиеся параллели будут выглядеть в форме гипербол.

Если мы выберем любую произвольную точку на сфере в качестве точки касания между

сферой и плоскостью, то меридианы предстанут в виде радиальных, неравномерно

расположенных прямых линий, которые будут указывать на полюс. Экватор выглядит как

прямая линия, перпендикулярная только меридиану, который проходит через точку касания.

Дополнительные параллели, близкие к полюсу, представляют собой эллипсы, а параллель,

которая проходит через точку касания, представляет собой параболу, а остальные параллели

представляют собой гиперболу (рис. 6)

Свойства:

7

1. Круглая форма, карта охватывает фрагмент одного из полушарий.

2. Окружности с большим диаметром, которые проходят через точку касания, выглядят как

радиально равномерно расположенные прямые линии, а точки, равноудаленные от точки

контакта, выглядят как круги с центром в этой точке.

3. Искажение в направлении меридианов - µ= 1/sin2 φ, в направлении параллелей — λ = 1/sin

φ .

4. Геодезические линии гномоническая проекция сохраняет, однако не сохраняет величины

углов, расстояния и площади.

5. Искажение форм, площадей и углов, наименьшее в точке касания, будет увеличиваться с

удалением от этой точки.

3.3. Стереографическая проекция.

Стереографическая проекция — это графический метод, который позволяет представить

трехмерную геометрическую информацию в двух измерениях и решить задачи по

стереометрии. Построение стереографической проекции состоит из следующих этапов:

берем сферу и плоскость, касающуюся сферы в точке S (например, Южный полюс), и делаем

проекцию из точки N напротив диаметра (в нашем случае Северного полюса).

Стереографическим представлением точки А на поверхности сферического тела будет точка

А' на плоскости, определяемой как пересечение линии, которая проходит через точки А и N,

с этой плоскостью (рис. 7). фигура. Иными словами, если представить Землю в виде

пластикового шара, лежащего на столе, а точкой соприкосновения шара и стола является

Южный полюс, то эта проекция будет являться тенью точки, освещенной источником света.

на Северном полюсе.

Свойства:

1. Она является азимутальной, поэтому карта в этой проекции имеет форму в виде круга и

охватывает лишь одно полушарие. Если изобразить в этой проекции большие участки земной

поверхности, то искажения будут очень большими.

8

2. Искажение на параллелях и меридианах можно выразить формулой (рис. 8).

3.Эта проекция сохраняет величины углов, но не сохраняет площади, расстояния и

геодезические линии.

4. Из-за того, что эта проекция азимутальная, она сохраняет геодезические линии, которые

проходят через точку касания сферического тела и плоскости.

5. Все меридианы и параллели изображаются на плоскости окружностями, кроме

окружностей, которые проходят через точку касания, - они изображаются прямыми линиями.

6. Локсодромы изображаются в логарифмическими спиралями.

7. Вблизи точки касания искажение форм, размеров и площадей невелико, оно увеличивается

с расстоянием. Если выйти за пределы полушария, где находится точка контакта, то

искажение будет слишком велико.

3.4. Проекция Меркатора.

В XVI веке, в эпоху великих географических открытий, мореплавателям и купцам нужна

была карта, которую они могли бы использовать для навигации. Именно такую карту создал

фламандский картограф и ученый Герард Меркатор. Проекция, которую он создал, остается

самой популярной и удобной и в наши дни, именно поэтому она стала в основой системы

UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция

Меркатора).Для построения нужно было решить одну задачу: меридианы и параллели нужно

было представить прямыми линиями, перпендикулярными друг другу, а локсодромы —

прямыми линиями на плоскости. Карту пришлось доработать, чтобы совпали искажения по

меридианам и параллелям. Если выразить искажение математически, то получим формулу

(рис. 9).

Свойства:

1. Прямоугольная форма, построена в цилиндрической проекции (рис.10).

2. Параллели и меридианы перпендикулярны друг относительно друга.

3. Карта построена в конформной проекции, она не сохраняет геодезические линии,

расстояния, формы протяженных участков и площади. 9

4. Искажения форм, расстояний и площадей около экватора довольно незначительны, но

увеличиваются по мере приближения к углам, что делает проекцию Меркатора удобной для

картирования областей вблизи экватора.

5. Локсодромы изображаются прямыми линиями (рис. 11).

3.5. Проекция Винкеля Ⅲ.

Проекция Винкеля тройная – это произвольная псевдоцилиндрическая проекция для карт

мира. (Рис. 12).

Свойства:

1. Проекция Винкеля III не является равноугольной или равновеликой, она искажает

расстояния, формы, направления, площади и углы.

2. Вдоль экватора и центрального меридиана масштаб не изменяется, проекция

преувеличивает полярные области.

3. Центральный меридиан и экватор являются прямыми линиями. Остальные меридианы

представлены сложными кривыми, отходящими от центрального меридиана и

расположенными через одинаковые промежутки вдоль экватора.

4. Что должна сохранять проекция для меньшего искажения географических карт?

Рассмотрим все пункты, которые необходимо соблюдать в проекции помимо масштаба.

4.1. Сохранение расстояний и кратчайших путей.

Каждая проекция сферического тела на плоскость, которая сохраняет расстояния, сохраняет

кратчайшие пути, то есть проекцией окружностей с большим диаметром сферы будут

являться прямыми на плоскости.

Метод от противного: предположим, что в проекции кратчайшие пути не остаются в

прежнем положении. Следовательно, существуют две точки сферического тела А и В и точка

С, которая лежит на кратчайшем пути промеж них таким образом, что проекция С' на

10

плоскость не лежит на прямой, связывающей проекции точек А и B. - А' и B’(рис.13). Из-за

того, что проекция, взятая в рассмотрение, сохраняет расстояния, расстояние между

проекциями А' и В' будет равняться расстоянию между начальными точками А и В:

d(A, B) = d(A', B’).

Точка С лежит на кратчайшем пути промеж А и В, расстояние промеж этих точек будет такое

же, как сумма расстояний между А и С и между С и В:

d(A, B) = d(A, C) + d(C, B).

Но точка С не лежит на прямой, которая соединяет А' и В', поэтому:

d(A', B') < d(A', C') + d(C', B').

Так как проекция, взятая в рассмотрение, сохраняет расстояния, то крайняя сумма будет

равна d(A, С) + d(С, В). Итак, получаем противоречие, что d(A, B) < d(A, B). Делаем вывод,

что проекция, которая сохраняет расстояния, сохраняет кратчайшие пути.

4.2. Сохранение длин кривых.

Проекции, которые сохраняют расстояния, сохраняют и кратчайшие пути. Это утверждение

можно использовать, чтобы доказать, что кривые на сферическом теле преобразуются в

кривые на плоскости, которые имеют ту же длину.

1. Любую кривую на сферическом теле можно примерно представить в виде конечного (но

очень большого) числа дуг больших окружностей. Концы этих дуг р0, р1, р2, …, pn-1, pn

лежат на кривой (рис.14).

2. Тогда длину кривой можно представить как сумму длин этих дуг или как сумму

расстояний между их концами. Мы говорим о дугах больших окружностей, поэтому это

будут кратчайшие расстояния, соединяющие концы дуг:

l(ɑ) = d(р0, р1) + d(р1, p2) + …+ d(рn-1, рn).

1. Кривая на плоскости, являющаяся отражением исходной кривой на сфере, может быть

приближенно представлена набором отрезков, которые будут картами дуг больших

окружностей, а длина плоской кривой может быть представлена как сумма длин

расстояний между концами этих отрезков р'0, р'?, р'2, …, p'n :

11

l(ɑ') = d(р'0, р'1) + d(р'1, p'2) + … + d(р'n-1, р'n).

2. Рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, поэтому расстояние между концами

отрезков, образующих исходную кривую на поверхности сферы, будет равно

расстоянию между отсчетами этих точек, которые будут концами сферы. отрезки,

образующие проекцию этой кривой: d(pi, pi+1) = d(pi, pi+1), i = 0, …, n-1.

Итак, можно сделать вывод, что проекция сохраняет длины кривых.

4.3. Сохранение величин углов.

Как проекция сферического тела на плоскость изменяют углы? Рассмотрим произвольную

точку сферы р, два направления, проходящие через эту точку, то есть два касательных

вектора v1 и v2 а также угол ɵ между ними. Чтобы рассчитать, как изменятся касательные

векторы и величина угла, рассмотрим две кривые на поверхности сферы, ɑ1: (—ε, ε) —> S2 и

ɑ2: (—ε, ε) —> S2, они проходят через точку р. Их касательными векторами в этой точке

будут v1 и v2 (ɑ1'(0) = v1, ɑ2'(0) = v2 ). Теперь возьмем на рассмотрение плоские кривые, они

будут отображениями этих кривых:β1=φ * ɑ1: (-ε, ε) = R2 и β2= φ * ɑ2: (-ε, ε) = R2, также

касательные векторы этих кривых в точке пересечения (p) R2 , получается, что w1 = β1’(0)=

(ɸ * ɑ1)’(0) и w2 = β2’(0) = (ɸ * ɑ2)’(0) (рис.15). Эти векторы будут отображениями векторов

v1 и v2, полученными проекцией φ. Угол между w1 и w2 опять будет равен ɵ, тогда проекция

φ между векторами сохранит углы v1 и v2. Векторы w1 и w2 являются отображениями

векторов v1 и v2, полученными проекцией φ, они независимы от исходных кривых а1 и а2 ,

получается, что они точно также не зависят от угла между этими кривыми. Следовательно,

изометрические преобразования сохраняют величину углов. Если две большие окружности

сферы пересекаются в точке, а в центре этой точки мы возьмем на рассмотрение окружность

небольшого радиуса r, то угол ɵ между двумя большими окружностями будет примерно равен

отношению длин круг. дуга, определяемая двумя большими кругами, и ее радиус,

умноженный на 2π (рис.16). Если учесть проекцию, сохраняющую расстояние, то проекции

больших кругов будут прямыми, а окружность радиуса r на сферическом теле превратится в

окружность радиуса r с центром в точке, пересечения прямых, которые мы получим, на

плоскости. Поскольку проекция сохраняет расстояния, а формула выполняется на плоскости,

сохраняется и угол между большими окружностями, проекции, которые сохраняют величины

углов, называются изогональными, равноугольными или конформными. термин

12

"изогональная" говорит о том, что проекция делает величины углов неизменными, а термин

«конформный» имеет значение «имеющий правильную форму».Итак, проекции,

сохраняющие углы, сохраняют и формы, однако лишь для достаточно малых областей, что

можно увидеть на картах в проекции Меркатора. На них по мере приближения к полюсам

искажения становятся очень заметными.

4.4. Сохранение площадей.

Любая ограниченная область на поверхности сферического тела может быть покрыта

конечным числом областей, их границами являются параллели и меридианы. Эти области

можно считать ортогональными, и их количество будет достаточно большим, тогда их размер

будет небольшим. Площадь первоначальной области можно отразить как сумму площадей

этих «прямоугольников». Представление этой области будет прямоугольником на плоскости,

покрытым множеством прямоугольников (рис. 17). Рассматриваемая проекция сохраняет

расстояния, поэтому площадь этого прямоугольника равна площади исходной площади.Такие

проекции, которые сохраняют площади, называются гомолографическими, или

равновеликими. Поэтому проекции сферы на плоскость, которые сохраняют длины кривых,

не изменяют величины углов, площади и геодезические линии, то есть метрические

параметры.

5. Исследовательская часть.

Часть 1. Практика построения проекций.

Чтобы понять, как менялась карта с появлением проекций, построим 2 материка в 4

проекциях. Я решила взять Африку, так как ее пересекает экватор, и Северную Америку. Все

не просто так: на некоторых проекциях, чем дальше от экватора, то есть ближе к полюсам,

тем больше искажения.

Соблюдая масштаб и все остальные нюансы строим проекции Африки. Как мы можем

заметить, проекция Архимеда не доставила проблем, так как здесь все, что находится вблизи

экватора, не имеет особых искажений. Центр гномонической проекции сделан на

пересечении Гринвичского меридиана и экватора, вблизи центра мы вновь не наблюдаем

искажений, однако чем дальше мы удаляемся от этого центра, тем больше искажений видим.

В стереографической проекции искажения наблюдаются практически везде, материк не

похож сам на себя. В проекции Меркатора параллели расположены неравномерно, поэтому 13

10 градусов от экватора будут без особых искажений, а вот дальше искажения естественно

будут.

По аналогии строим проекции Северной Америки. На всех проекциях видны более сильные

искажения, нежели на проекциях Африки, так как Африку пересекает экватор.

Из этого мы можем сделать вывод, что с приближением к полюсам проекции все больше

искажают материковый контур, а следовательно и площади материков, кратчайшие пути и

расстояния.

Часть 2. Опрос.

Я решила провести опрос по теме своей исследовательской работы, чтобы узнать мнение

окружающих по поводу удобства карт, осведомленности в этой теме и возможности решения

проблемы (рис. 18-20).

В итоге я получила следующие ответы (диаграммы 1-8).

Часть 3. Опыт с глобусом.

Проведем опыт. Разрезаем глобус пополам по экватору и проделываем отверстия на

пересечениях параллелей и меридиан. Я проделала 63 отверстия, чтобы наглядно показать,

как эти отверстия будут проецироваться на будущую карту. На другом конце глобуса

вставляем фонарик так, чтобы его центр находился на экваторе, а луч фонаря светил строго

перпендикулярно экватору. Закрепляем конструкцию и собираем глобуса обратно (учтите,

что нужно сделать так, чтобы фонарик можно было включить тогда, когда глобус полностью

собран. Далее берем лист бумаги, но не А4, а делаем тот размер листа, который будет

соответствовать размеру нашей будущей карты (у меня глобус диаметром 150мм), лист

должен по длине полностью охватывать экватор глобуса, а по высоте быть как его диаметр.

Теперь ставим лист перпендикулярно столу ( можно закрепить на стене). Ставим глобус

напротив нашей будущей карты и включаем фонарик ( глобус должен стоять так, чтобы

фонарик светил на лист через отверстия глобуса ). Теперь на лист проецируются лучи света.

Вот так постепенно меридианы и параллели, а затем и материковый контур проецируются на

карту.

Вывод:

14