XVIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
От устойчивой арки к устойчивому куполу
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Аннотация
В работе продолжается исследование устойчивых строительных сборок. Именно сборок, а не сварных конструкций или комплексов с множеством креплений деталей различными способами: сварка, заклёпки, винты и т.д. В устойчивой строительной сборке детали укладываются одна на другую и лежат под действием только вертикальных сил тяжести и вертикальных реакций опор. Такая сборка применена, например, в Египетских пирамидах. Такие сборки применял Гаспар Монж [1] в 18-19-х веках при строительстве каменных арок. Однако арки обязательно требуют боковых укреплений, обычно в виде контрарок. Нельзя ли создать арку без боковых напряжений, то есть без контрарок?
Ответу на этот вопрос была посвящена прошлая работа. Доказано, что такую арку изготовить можно из прямоугольных блоков. Авторская модель арки была изготовлена [2]. В работах Н.Н.Андреева на сайте «Математические этюды» такая арка тоже есть, но иллюстрирует другую цель – бесконечную лестницу, которая может быть любой ширины и высоты. Цель исследования в продолжающейся научной работе заключается в исключении боковых, касательных, сдвигающих напряжений, причём не только в двумерной конструкции арки, но и в более сложных трёхмерных конструкциях куполов.
Идея проектирования нового купольного перекрытия похожа на метод решения задачи для плоской безмоментной арки. Но форма деталей пространственной конструкции в принципе отличается от прямоугольных кирпичей или блоков. Предлагается блоки сделать в виде круговых секторов, а потом опорные секторы, кроме верхнего, сделать усечёнными. Усечённый круговой сектор получается после удаления от вершины меньшей подобной части. Круговые секторы можно уложить вплотную друг к другу, получится купол. Если угол круговых секторов маленький, то их можно рассматривать как равнобедренные треугольники. Центр тяжести равнобедренного треугольника находится на одной трети высоты от его основания. Это главный принцип расчёта. Но оказалось, что проще определить допустимые выступы экспериментальным методом, то есть выдвигать круговой сектор на краю стола, пока не будет опрокидывания. Отметка на детали показывает допустимый выступ безмоментной конструкции.
После получения экспериментальных исходных данных было выполнено компьютерное моделирование нового устойчивого купола и создана пенопластовая натурная модель. Теоретические, компьютерные и натурные данные совпали.
Как появилась тема работы?
Новая исследовательская задача стала продолжением темы устойчивых строительных конструкций [3]. В предыдущей работе было показано, как соорудить устойчивую арку без доковых распирающих напряжений. Это известная задача об укладке брусков один на другой. Задача решалась экспериментальным методом. Проектирование начинается сверху. Верхний брусок может выступать наполовину, чтобы не опрокинуться. Потом два бруска укладывались на третий. И так далее. В теоретической механике решение этой задачи есть. Выступы должны быть одна вторая, одна треть, одна четверть и так далее. Такая арка устойчивая, лежит под действием силы тяжести, сдвигающих напряжений нет, как в Египетских пирамидах. Общий вид устойчивой арки, спроектированной ранее, показан на рис.1.
Рис. 1. Общий вид устойчивой арки без боковых напряжений
Арка – это двумерная строительная конструкция. После её изучения появилась более сложная задача об аналогичном трёхмерном объекте. Нельзя ли создать строительный купол тоже без распирающих напряжений, как и арку? Такая задача не надумана, потому что купола применяют очень часто: атомные электростанции, храмы, множество зданий. Но обычно купола делают металлическими. Например, купол Исаакиевского собора состоит из каркаса и обшивок изнутри и снаружи. Можно ли сделать купол из кирпичей или цементных блоков. Такие конструкции тоже есть. Например, купол Богоявленского собора в Казани в начале улицы Баумана. Однако этот купол имеет распирающие напряжения, поэтому сбоку от него есть компенсаторы в виде контрарок.
Предлагаемая научно-исследовательская работа связана с устойчивостью зданий. Это важно для получения долговечных сооружений. Египетские пирамиды не разрушаются, потому что в них есть только напряжения сжатия, на которые камень работает отлично. Напротив, в современных зданиях, особенно необычной архитектуры, есть изгиб балок. Значит, есть растяжение. Требуется металл, железобетон, потому что бетон на растяжение не работает. Но металл не долговечен. Появилась задача проектирования купола, который будет работать только на сжатие, без напряжений изгиба, растяжения и сдвига. В отличие от предыдущей работы, теперь будет применён и экспериментальный метод исследования, и теоретический, основанный на расчётах центров масс блоков, и компьютерное моделирование.
Общая характеристика работы
Решаемая проблема – устойчивость зданий и сооружений.
Актуальность - долговечность новых сооружений, большая стоимость.
Цель работы – создание купола с напряжениями только сжатия.
Решаемая задача – исключение контрарок из конструкции купола.
Метод решения – эксперимент, теория, 3D-моделирование.
Появилась задача выбора формы блока. В предыдущем исследовании с кирпичами – это были прямоугольники. В этой задаче надо посмотреть на купол сверху, получается круг. Круг надо разделить на множество секторов. Если секторы сделать маленькими, то они почти не отличаются от треугольников. Значит, основным строительным блоком должен быть треугольник. Основные допущения расчётной схемы показаны на рис.2.
Рис. 2. Расчётная схема и основные допущения
Задача свелась к проектированию прежней безопорной арки, но только не из прямоугольных кирпичей, а из треугольников и трапеций, то есть усечённых треугольников. Таких арок надо сделать много, а потом состыковать их по кругу. Получится купол без распирающих напряжений, не требующий контрарок. Есть второй способ проектирования – из круга и колец, но это следствие состыковки секторов.
Отличительная особенность расчётной схемы
Отличие от прямоугольных кирпичей состоит только в положении центра тяжести равнобедренного треугольника. У кирпича посередине, у треугольника 1/3 от основания или 2/3 от вершины. Значит, выступ первого блока должен быть не больше 2/3 его высоты. Иначе бок опрокинется с любой подставки. На рис.3 показана схема расположения центра тяжести в треугольном блоке.
Рис. 3. Положение центра тяжести в треугольном блоке
При проектировании купола это означает, что опора для первого блока должна быть кольцом, у которого радиус внутреннего выреза не более 2/3 радиуса верхней круговой крышки.
Теоретический расчёт для первых трёх блоков
Теоретический расчёт долгий, но не сложный. Надо применить метод отрицательных площадей. Для первого блока известны площадь, центр тяжести и выступ. Второй блок предполагается такой же длины. Сначала удобно сделать его подобным треугольником. Длина известна, коэффициент подобия есть, значит, площадь и центр тяжести известны. Точно также известна длина, коэффициент подобия и площадь треугольника-выреза. По формуле для трёх фигур, одна отрицательная, определяется центр тяжести сборки. На рис.4 показана расчётная схема проектирования купола сверху вниз.
Рис. 4. Укладка двух верхних блоков и расчёт для третьей опоры
Иллюстрация устойчивой сборки из двух первых блоков купола имеет вид кольца-подставки и круга-крышки. Любой сектор крышки не опрокидывается на подставке. Значит, крышка лежит на подставке без изгиба и касательных напряжений, как блоки в Египетских пирамидах. Такая схема проектирования и укладки строительной сборки показана на рис.5.
Рис. 5. Схема укладки крышки на кольцевую опору
Изготовление модели купола из пенопласта
Теоретическое решение задачи о центре тяжести не очень сложное, но зато очень долгое. Два-три блока рассчитать не трудно, но чем дальше, тем больше данных надо обрабатывать. Намного проще оказалось решить задачу о сдвиге блоков экспериментально. Такой метод применялся при проектировании устойчивой арки, а теперь был перенесён на проектирование купола. Отличие заключается в форме блоков. В арке они были прямоугольные, а в куполе нужны круговые усечённые секторы. Верхний блок – это круговой неусечённый сектор. Следующие секторы надо обрезать так, чтобы при укладке сборка не опрокидывалась. Но всё равно сначала надо изготовить неусечённые секторы. Пенопласт легко разрезается пилкой. Надо только правильно разметить. В первом опыте радиус верхнего неусечённого сектора был выбран 200 мм, угол 30 градусов. Технология работы с пенопластом показана на рис.6.
Рис. 6. Технология работы с пенопластом
Все блоки решено было сделать одинаковой ширины 200 мм. Второй сверху и следующие блоки вырезались по одинаковой технологии. Сначала вырезался сектор с углом 30 градусов и заведомо большей длины. Верхний блок, который должен лежать на этом секторе, укладывался на край стола, потом сдвигался максимально без опрокидывания. На блок наносилась линия максимального выступа. Эта линия переносилась на нижний блок, отрезалась вершина, а потом от оставшейся части откладывалась ширина нижнего блока 200 мм. В результате получилась первая устойчивая сборка из двух блоков – сектора сверху и усечённого сектора снизу. На рис.7 показан экспериментальный метод проектирования круговых усечённых секторов.
Рис. 7. Проектирование усечённых круговых секторов
Ширина каждого блока выбрана 200 мм. Это условный размер. Его можно изменять, чтобы получить заданную форму купола. Одинаковая ширина блоков была выбрана для первого опыта как наиболее простая характеристика. Цель этого опыта заключалась в доказательстве, что устойчивые строительные сборки можно делать не только их кирпичей или прямоугольных блоков, но также из деталей более сложной формы. В этом опыте – из верхнего сектора и нижних усечённых секторов. В первом опыте была собрана сборка из восьми блоков. Эта сборка устойчивая, лежит только под действием силы тяжести. Реакции опор вертикальные, сдвигающих сил нет. Как в Египетских пирамидах, но форма купола более сложная. Эта сборка была изготовлена в качестве эталона. На всех блоках были замерены внешние и внутренние радиусы, на верхнем – только внешний. Это нужно для изготовления модели устойчивого купола. На рис.8 показан общий вид эталонной арки, необходимой для проектирования устойчивого купола.
Рис. 8. Принцип проектирования и общий вид эталонной сборки
Эталон нужен для определения внешних и внутренних радиусов кольцевых опорных блоков. Радиусы были измерены линейкой. Это исходные данные для деталей модели купола. Размеры эталона можно масштабировать. Например, во втором опыте для изготовления купола было решено уменьшить размеры в два раза. При этом внешний диаметр восьмого, самого нижнего кольца, будет равен 52 см. Такой размер был выбран из-за технологических причин, потому что ширина стандартных панелей утеплителя «Пеноплэкс» равна 60 см, круги большего диаметра изготовить из такого материала нельзя. Начался второй эксперимент – изготовление модели купола по эталонным размерам. На рис.9 показаны исходные данные, по которым началось проектирование нового устойчивого купола.
Рис. 9. Исходные данные для проектирования купола
3D-моделирование блока в программе GoogleSketchUp 8
Построение модели купола по найденным экспериментальным размерам удобно показать в программе Google SketchUp 8. Все кольца строятся по одинаковому алгоритму. Этот алгоритм подробно расписан для первого снизу, то есть восьмого сверху, блока. Это основание модели купола.
На рис.10 показана схема компьютерного моделирования кольца.
Рис. 10. Компьютерное моделирование опорного кольца
Рисуем внешний круг, задаём радиус R=520 мм.
Рисуем внутренний соосный круг, задаём радиус r=320 мм.
Выделяем внутренний круг r=320 мм.
Удаляем внутренний круг r=320 мм, получаем кольцо R-r=520-320 мм.
Применяем инструмент «тяни-толкай», задаём высоту блока 100 мм.
Нижний блок основания купола построен. Другие кольцевые блоки такие же, но верхний – это круговая крышка.
Построение 3D-модели купола как единой детали
Модель купола можно построить как единую 3D-деталь. Это рационально, когда не требуется проектировать отдельные кольца. Алгоритм построения единой детали следующий, иллюстрируется схемой на рис.11.
Рис. 11. Компьютерное проектирование купола как единой детали
Построить «лесенку» по заданным размерам радиусов колец, как прямоугольники, лежащие один на другом.
Построить окружность и круг ведения любого радиуса, на которой лежит нижний прямоугольник.
Выделить круг ведения.
Применить инструмент «Ведение» к «лесенке».
Особенность и трудность – много лишних отрезков. Лучше применить другую фигуру для ведения.
Для построения модели купола удобно оставить только две линии – «лесенки». Все лишние отрезки надо удалить. Если к такой фигуре применить инструмент «Ведение» по выделенному нижнему кругу, то получатся две поверхности вращения. Эти поверхности представляют собой внешнюю и внутреннюю опалубки. Например, между ними можно заложить стальную арматуру и залить раствор бетона. Арматура нужна только для усиления конструкции, потому что блоки в таком куполе лежат один на другом без напряжений сдвига, только под действием силы тяжести, как в Египетских пирамидах. Схема создания компьютерной модели опалубок показана на рис.12.
Рис. 12. Компьютерная модель опалубок купола
Для построения модели купола удобно оставить только две линии – «лесенки». Все лишние отрезки надо удалить. Если к такой фигуре применить инструмент «Ведение» по выделенному нижнему кругу, то получатся две поверхности вращения. Эти поверхности представляют собой внешнюю и внутреннюю опалубки. Например, между ними можно заложить стальную арматуру и залить раствор бетона. Арматура нужна только для усиления конструкции, потому что блоки в таком куполе лежат один на другом без напряжений сдвига, только под действием силы тяжести, как в Египетских пирамидах. Удаление лишних отрезков в компьютерной модели показано на рис.13.
Рис. 13. Удаление лишних отрезков на модели опалубок
Для окончательного формирования 3D-модели нового купола надо применить инструмент «Ведение». Алгоритм работы следующий.
Выделить круг вращения (ведения).
Применить инструмент «Ведение» по выделенному кругу к области вращаемого сечения.
Получить фигуру вращения.
3D-модель купола готова.
Иллюстрация заключительной компьютерной операции «Ведение» показана на рис.14.
Рис. 14. Иллюстрация действия инструмента «Ведение»
Пример 3D-модели опалубки для укладки стальной или углеволоконной арматуры и заливки раствора бетона показан на рис.15.
Рис. 15. Вид опалубки и GIF-картинка обзора купола
Выводы
1. Доказана правильность технического решения, связанного с переносом правил проектирования плоской строительной арки на трёхмерное купольное перекрытие.
2. В предлагаемом новом куполе, как и ранее в безмоментной арке, нет касательных, сдвигающих напряжений – все блоки лежат под действием только вертикальных сил тяжести и вертикальных сил реакций опор, то есть как Египетские пирамиды.
3. Экспериментальный метод определения выступов круговых секторов позволил упростить проектирование, заменить долгие математические расчёты с возможными ошибками более простой разметкой блоков.
4. Компьютерное моделирование значительно ускорило процесс создания чертежей, необходимых для выполнения натурного эксперимента.
Главный вывод заключается в доказательстве возможности создания устойчивых конструкций не только двумерных, но и трёхмерных. Это важно, прежде всего, для проектирования купольных перекрытий, например, на атомных электростанциях.
Список использованных источников
1. Боголюбов А.Н. Гаспар Монж, 1746—1818 / Под ред. акад. И.И.Артоболевского— М.: Наука, 1978. — 184 с.
2. Тимофей Мерзликин. Устойчивые строительные сборки. 09.02.2022. Электронный ресурс (видеоролик 6:12): https://youtu.be/hPPX5vYfAqM
3. Мерзликин Т.А. Устойчивые укладки строительных материалов / V Всероссийская с международным участием школа-конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Материалы и технологии XXI века». 30 ноября – 2 декабря 2022 г. - Отв. ред. А.В. Герасимов. [Электронный ресурс] – Казань.: КФУ, 2022. – С.287. - https://kpfu.ru/portal/docs/F2043986325/Book.of.abstracts.MT21_2022._1_.pdf